L3P physique quantique

Réduction du paquet d'onde

Changement brutal et irréversible de la fonction d'onde $|\psi\rangle$ lors d'une mesure, perturbant intrinsèquement le système physique mesuré.

Comportement du quanton

Comportement quantique aléatoire qui ne peut pas être décrit par la physique classique. La répartition des impacts (ex. expérience des fentes de Young) suit une loi de probabilité $|\psi(x,t)|^2$.

Fonction d'onde $\psi(\vec{r},t)$

Objet mathématique complexe associé à chaque quanton. Elle contient toute l'information accessible sur le quanton à l'instant $t$.

Densité de probabilité de présence

Définie par $P(x,t) = |\psi(x,t)|^2$. La probabilité de trouver le quanton dans l'intervalle $[a,b]$ est $P_{ab}(t) = \int_{a}^{b} |\psi(x,t)|^2 dx$.

Condition de normalisation

Condition exprimant la certitude de trouver le quanton quelque part dans tout l'espace : $\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = 1$. Impose $\lim_{x \to \pm\infty} |\psi(x,t)|^2 = 0$.

Position moyenne $\langle x \rangle_{t}$

Valeur moyenne de la position à l'instant $t$ : $\langle x \rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi(x,t)|^2 dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x,t) x \psi(x,t) dx$.

Équation de Schrödinger dépendant du temps (1D)

Équation différentielle du 1er ordre par rapport au temps décrivant l'évolution déterministe de $\psi$ en l'absence de mesure : $i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\psi(x,t)$.

Opérateur Hamiltonien $\hat{H}$ (1D)

Opérateur d'énergie totale du système : $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)$. L'équation de Schrödinger s'écrit $\hat{H}\psi(x,t) = i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(x,t)$.

Opérateur impulsion $\hat{p}$

Opérateur associé à la quantité de mouvement / impulsion : $\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}$. Sa valeur moyenne est $\langle p \rangle_t = m \frac{d}{dt}\langle x \rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x,t) \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi(x,t) dx$.

Équation de Schrödinger stationnaire

Si le potentiel $V(x)$ ne dépend pas du temps, la solution s'écrit $\psi(x,t) = f(x) e^{-iEt/\hbar}$ où $f(x)$ vérifie l'équation aux valeurs propres $\hat{H}f(x) = E f(x)$, avec $E$ l'énergie du quanton.

Onde plane quantique

Solution de l'équation de Schrödinger pour un quanton libre ($V(x)=0$) : $\psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$. Non normalisable dans tout l'espace ($\int |\psi|^2 dx = \infty$), donc non physique seule.

Relations d'Einstein-de Broglie

Relations reliant l'aspect corpusculaire (énergie $E$, impulsion $p$) à l'aspect ondulatoire (pulsation $\omega$, vecteur d'onde $k$) : $p = \hbar k$ et $E = \hbar \omega$.

Vitesse de phase vs Vitesse de groupe

Pour un quanton libre, la vitesse de phase est $v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2}$, tandis que la vitesse de groupe est $v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} = v$.

Paquet d'onde

Superposition continue d'une infinité d'ondes planes : $\psi(x,t) = \int a(k) e^{i(kx - \omega(k)t)} dk$. Représente une particule localisée de manière physique dans l'espace.

Inégalités d'Heisenberg

Relation d'incertitude fondamentale liant la dispersion en position $\Delta x$ et en impulsion $\Delta p$ : $\Delta x \cdot \Delta k \approx 2\pi \implies \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$.

Postulat 1 : État d'un système quantique

Tout état physique d'un système est représenté par un vecteur normé $|\psi\rangle$ appartenant à un espace de Hilbert $\mathcal{E}$. Principe de superposition : toute combinaison linéaire de kets est un état possible.

Ket et Bra

Ket $|\psi\rangle$ : vecteur de l'espace des états. Bra $\langle\psi|$ : vecteur de l'espace dual. Le produit scalaire est noté $\langle\psi_1|\psi_2\rangle$, et la condition de normalisation est $\langle\psi|\psi\rangle = 1$.

Postulat 2 : Grandeur physique et Observables

Toute grandeur physique mesurable est associée à un opérateur linéaire hermitien $\hat{A}$ agissant sur $\mathcal{E}$ ($\hat{A}^\dagger = \hat{A}$). Ses valeurs propres sont réelles.

Postulat 3 : Résultats de mesure

Le seul résultat possible de la mesure d'une grandeur physique $A$ est l'une des valeurs propres $\lambda$ de l'opérateur hermitien $\hat{A}$ associé, c'est-à-dire $\hat{A}|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle$.

Postulat 4 : Règle de Born (Cas non dégénéré)

La probabilité d'obtenir la valeur propre non dégénérée $\lambda$ lors de la mesure de $A$ sur l'état $|\psi\rangle$ juste avant la mesure est $P(\lambda) = |\langle\lambda|\psi\rangle|^2$.

Postulat 4 : Règle de Born (Cas dégénéré)

Si la valeur propre $\lambda$ est de degré de dégénérescence $g_\lambda$, la probabilité est $P(\lambda) = \sum_{i=1}^{g_\lambda} |\langle e_\lambda^{(i)}|\psi\rangle|^2 = \langle\psi|\hat{\Pi}_\lambda|\psi\rangle$, où $\hat{\Pi}_\lambda$ est le projecteur sur le sous-espace propre.

Projecteur $\hat{\Pi}_\lambda$

Opérateur de projection sur le sous-espace associé à la valeur propre $\lambda$ : $\hat{\Pi}_\lambda = \sum_{i=1}^{g_\lambda} |e_\lambda^{(i)}\rangle\langle e_\lambda^{(i)}|$. Idempotent ($\hat{\Pi}_\lambda^2 = \hat{\Pi}_\lambda$) et hermitien.

Relation de fermeture

Pour toute base orthonormée $\{|e_i\rangle\}$ de l'espace des états : $\sum_{i=1}^{N} |e_i\rangle\langle e_i| = \hat{I}_d$.

Postulat 5 : Réduction du paquet d'onde (Postulat de la mesure)

Si la mesure de $A$ donne la valeur propre $\lambda$, l'état du système immédiatement après la mesure devient $|\psi\rangle_{\text{après}} = \frac{\hat{\Pi}_\lambda|\psi\rangle_{\text{avant}}}{\sqrt{P(\lambda)}}$.

ECOC (Ensemble Complet d'Opérateurs qui Commutent)

Ensemble d'opérateurs $\{\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, ...\}$ qui commutent deux à deux ($[\hat{A},\hat{B}]=0$) et possédant une base commune unique de kets propres, levant ainsi toutes les dégénérescences.

Évolution dynamique de la valeur moyenne (Théorème d'Ehrenfest)

Pour un opérateur $\hat{A}$, la dérivée temporelle de sa valeur moyenne est donnée par : $\frac{d\langle\hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle + \left\langle\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle$. Si $[\hat{A},\hat{H}]=0$ et $\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}=0$, $A$ est une constante du mouvement.

Opérateur d'évolution unitaire $\hat{U}(t)$

Opérateur unitaire ($\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$) décrivant l'évolution temporelle hors mesure : $|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t)|\psi(0)\rangle$. Si $\hat{H}$ ne dépend pas du temps, $\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}$.

Opérateur Position $\hat{X}$

Opérateur continu dont les kets propres $\{|x\rangle\}$ forment une base orthonormée : $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$. Relation de fermeture : $\int_{-\infty}^{+\infty} dx |x\rangle\langle x| = \hat{I}_d$. La fonction d'onde s'exprime par $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$.

Opérateur Translation $\hat{T}_a$

Opérateur déplaçant le système d'une distance $a$ : $\hat{T}_a|x\rangle = |x+a\rangle$. Il s'exprime à partir de l'opérateur impulsion : $\hat{T}_a = e^{-\frac{i\hat{P}a}{\hbar}}$.

Commutateur canonique $[\hat{X}, \hat{P}]$

Relation de commutation fondamentale entre la position et l'impulsion : $[\hat{X}, \hat{P}] = \hat{X}\hat{P} - \hat{P}\hat{X} = i\hbar \hat{I}_d$.

Changement de représentation (Espace $x$ $\leftrightarrow$ Espace $p$)

Produit scalaire entre états propres de position et d'impulsion : $\langle x|p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{\frac{ipx}{\hbar}}$. La fonction d'onde en impulsion $\psi(p)$ est la transformée de Fourier de $\psi(x)$ : $\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dp e^{\frac{ipx}{\hbar}} \psi(p)$.