Monotonie et continuité sur un intervalle

Flashcards de vocabulaire mathématique portant sur la monotonie, la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection sur un intervalle.

Théorème de la limite monotone (cas croissant)

Soit $f$ une fonction croissante sur $]a, b[ \subset \mathbb{R}$. Si $f$ est minorée, $\lim_{x \to a^+} f(x) = \inf_{x \in ]a,b[} f$ ; si $f$ n'est pas minorée, $\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty$. Si $f$ est majorée, $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup_{x \in ]a,b[} f$ ; si $f$ n'est pas majorée, $\lim_{x \to b^-} f(x) = +\infty$.

Théorème de la limite monotone (cas décroissant)

Soit $f$ une fonction décroissante sur $]a, b[ \subset \mathbb{R}$. Si $f$ est majorée, $\lim_{x \to a^+} f(x) = \sup_{x \in ]a,b[} f$ ; si $f$ n'est pas majorée, $\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$. Si $f$ est minorée, $\lim_{x \to b^-} f(x) = \inf_{x \in ]a,b[} f$ ; si $f$ n'est pas minorée, $\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$.

Limites d'une fonction monotone en un point intérieur

Pour toute fonction $f$ monotone sur $]a, b[ \subset \mathbb{R}$ et tout point $x_0 \in ]a, b[$, $f$ admet une limite à gauche et à droite en $x_0$. Si $f$ est croissante : $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \le f(x_0) \le \lim_{x \to x_0^+} f(x)$. Si $f$ est décroissante : $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \ge f(x_0) \ge \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.

Injectivité d'une fonction strictement monotone

Propriété affirmant que si une fonction $f$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ est injective sur $I$.

Fonction continue sur un intervalle

Fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ qui est continue en tout réel de $I$.

$C(I, \mathbb{R})$ (ou $C^0(I, \mathbb{R})$, $C(I)$)

Ensemble des fonctions continues sur l'intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.

$$C(I, \mathbb{C})$$

Ensemble des fonctions définies sur l'intervalle $I$ à valeurs complexes et continues sur $I$.

Stabilité par opérations algébriques de la continuité

Propriété selon laquelle si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$, alors $\lambda f$, $f + g$ et $fg$ sont continues sur $I$. Si de plus $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$.

Composition de fonctions continues

Théorème énonçant que si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $g$ est une fonction continue sur un intervalle $J$ contenant $f(I)$, alors la fonction composée $g \circ f$ est continue sur $I$.

Continuité des fonctions usuelles

Règle stipulant que les fonctions polynomiales, rationnelles, radicales, trigonométriques ($\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$), exponentielles, puissances et logarithmes sont continues en tout réel de leur ensemble de définition.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème affirmant que pour toute fonction $f$ continue sur un segment $[a, b]$ avec $a < b$, et pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Image d'un intervalle par une fonction continue

Propriété géométrique et analytique établissant que l'image $f(I)$ d'un intervalle quelconque $I$ par une fonction $f$ continue sur $I$ est un intervalle.

Théorème de la bijection

Théorème assurant que toute fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ est une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$, sa fonction réciproque étant continue et strictement monotone de même variation que $f$ sur $f(I)$.

Image d'un segment par une fonction continue

Théorème établissant que l'image d'un segment $[a, b]$ par une fonction continue est un segment ; $f([a, b])$ est bornée et atteint sa borne supérieure (maximum noté $\max_{[a,b]} f$) ainsi que sa borne inférieure (minimum noté $\min_{[a,b]} f$).