MA111 - Algèbre : Outils fondamentaux, logique, ensembles, applications, dénombrement, réels, complexes et polynômes

Fiches de vocabulaire et définitions mathématiques fondamentales du cours d'Algèbre MA111 de l'IPSA, couvrant la logique, les ensembles, les applications, le dénombrement, les nombres réels, les nombres complexes et les polynômes.

Proposition

Énoncé mathématique qui a une unique valeur de vérité : il est soit vrai ($V$), soit faux ($F$).

Négation ($\neg P$)

Proposition qui est vraie lorsque $P$ est fausse, et fausse lorsque $P$ est vraie.

Conjonction ($P \wedge Q$)

Proposition qui est vraie si et seulement si les deux propositions $P$ et $Q$ sont vraies simultanément.

Disjonction ($P \vee Q$)

Proposition qui est vraie si au moins l'une des deux propositions $P$ ou $Q$ est vraie.

Implication ($P \Rightarrow Q$)

Proposition qui est fausse uniquement lorsque $P$ est vraie et $Q$ est fausse ; elle équivaut logiquement à $\neg P \vee Q$.

Équivalence logique ($P \Leftrightarrow Q$)

Proposition qui est vraie lorsque $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire $(P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow P)$.

Quantificateur universel ($\forall$)

Symbole signifiant « pour tout » ou « quel que soit », indiquant qu'une propriété $P(x)$ est vraie pour tous les éléments $x$ d'un ensemble $E$.

Quantificateur existentiel ($\exists$)

Symbole signifiant « il existe », indiquant qu'il existe au moins un élément $x$ de l'ensemble $E$ pour lequel la propriété $P(x)$ est vraie.

Quantificateur d'unicité ($\exists!$)

Symbole signifiant « il existe un unique », indiquant qu'il existe un et un seul élément $x$ de l'ensemble $E$ vérifiant la propriété $P(x)$.

Réciproque d'une implication

Pour une implication $P \Rightarrow Q$, implication définie par $Q \Rightarrow P$.

Contraposée d'une implication

Pour une implication $P \Rightarrow Q$, implication logiquement équivalente définie par $\neg Q \Rightarrow \neg P$.

Démonstration mathématique

Démarche consistant à établir la vérité d'une proposition à partir de définitions, de propriétés connues et d'arguments logiques rigoureusement rédigés.

Raisonnement direct

Méthode pour établir $P \Rightarrow Q$ consistant à supposer que $P$ est vraie et à déduire par étapes logiques successives que $Q$ est vraie.

Raisonnement par disjonction de cas

Méthode consistant à partitionner l'ensemble $E$ en plusieurs sous-ensembles $E = E_1 \cup \dots \cup E_n$ et à démontrer la propriété $P(x)$ séparément sur chaque sous-ensemble.

Raisonnement par contraposition

Méthode consistant à démontrer une implication $P \Rightarrow Q$ en démontrant sa forme contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$.

Raisonnement par l'absurde

Méthode consistant à supposer que la négation d'une proposition $\neg P$ est vraie et à aboutir à une contradiction, ce qui prouve que $P$ est vraie.

Raisonnement par contre-exemple

Méthode permettant de prouver qu'une proposition universelle $\forall x \in E,\, P(x)$ est fausse en exhibant un élément $a \in E$ tel que $P(a)$ est faux.

Raisonnement par récurrence

Méthode pour prouver qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$, reposant sur l'initialisation ($P(n_0)$ vraie) et l'hérédité ($P(n) \Rightarrow P(n+1)$).

Raisonnement par récurrence forte

Variante de récurrence où, après l'initialisation, l'hérédité consiste à supposer que $P(n_0), P(n_0+1), \dots, P(n)$ sont toutes vraies pour en déduire $P(n+1)$.

Ensemble vide ($\emptyset$)

Ensemble qui ne contient aucun élément, vérifiant $\text{Card}(\emptyset) = 0$ et $\emptyset \subset A$ pour tout ensemble $A$.

Inclusion ($A \subset B$)

Relation entre deux ensembles signifiant que tout élément de $A$ est aussi un élément de $B$ ($\forall x \in A,\, x \in B$).

Égalité de deux ensembles

Propriété de deux ensembles $A$ et $B$ qui contiennent les mêmes éléments, caractérisée par la double inclusion $A \subset B$ et $B \subset A$.

Réunion de deux ensembles ($A \cup B$)

Ensemble formé par les éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ ($x \in A \cup B \Leftrightarrow (x \in A) \vee (x \in B)$).

Intersection de deux ensembles ($A \cap B$)

Ensemble formé par les éléments qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ ($x \in A \cap B \Leftrightarrow (x \in A) \wedge (x \in B)$).

Ensembles disjoints

Deux ensembles dont l'intersection est vide ($A \cap B = \emptyset$).

Différence de deux ensembles ($A \setminus B$)

Ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ mais qui n'appartiennent pas à $B$ ($x \in A \setminus B \Leftrightarrow (x \in A) \wedge (x \notin B)$).

Complémentaire d'une partie ($A^c$ ou $\overline{A}$)

Pour une partie $A$ d'un ensemble $E$, ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$ ($x \in \overline{A} \Leftrightarrow (x \in E) \wedge (x \notin A)$).

Produit cartésien ($E \times F$)

Ensemble des couples $(x, y)$ formés d'un élément $x \in E$ et d'un élément $y \in F$.

Application ($f: E \to F$)

Relation qui associe à chaque élément $x$ de l'ensemble de départ $E$ un unique élément $y$ de l'ensemble d'arrivée $F$, noté $y = f(x)$.

Image directe ($f(A)$)

Pour une partie $A \subset E$, ensemble des images des éléments de $A$ par $f$, défini par $f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}$.

Image réciproque ($f^{-1}(B)$)

Pour une partie $B \subset F$, ensemble des éléments de $E$ dont l'image appartient à $B$, défini par $f^{-1}(B) = \{x \in E \mid f(x) \in B\}$.

Application injective

Application $f: E \to F$ telle que deux éléments distincts de départ ont toujours des images distinctes ($\forall x_1, x_2 \in E,\, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$).

Application surjective

Application $f: E \to F$ telle que tout élément de $F$ admet au moins un antécédent dans $E$ ($\forall y \in F,\, \exists x \in E,\, f(x) = y$), soit $f(E) = F$.

Application bijective

Application qui est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire telle que tout élément de l'arrivée admet un unique antécédent ($\forall y \in F,\, \exists! x \in E,\, f(x) = y$).

Bijection réciproque ($f^{-1}$)

Pour une bijection $f: E \to F$, unique application $f^{-1}: F \to E$ qui associe à chaque $y \in F$ son unique antécédent, vérifiant $f^{-1} \circ f = \text{Id}_E$ et $f \circ f^{-1} = \text{Id}_F$.

Symbole somme ($\sum$)

Notation concise et rigoureuse servant à désigner l'addition d'un nombre déterminé de termes : $\sum_{k=p}^n u_k = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$.

Symbole produit ($\prod$)

Notation concise et rigoureuse servant à désigner la multiplication d'un nombre déterminé de termes : $\prod_{k=p}^n u_k = u_p \times u_{p+1} \times \dots \times u_n$.

Factorielle ($n!$)

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, produit de tous les entiers de $1$ à $n$ ($n! = \prod_{k=1}^n k$), avec la convention $0! = 1$.

Somme télescopique

Somme dont le terme général s'écrit sous la forme $a_k = b_{k+1} - b_k$, se simplifiant selon l'égalité $\sum_{k=m}^n (b_{k+1} - b_k) = b_{n+1} - b_m$.

Cardinal d'un ensemble fini ($|E|$ ou $\text{Card}(E)$)

Nombre entier naturel représentant le nombre d'éléments distincts que contient l'ensemble fini $E$.

$p$-liste ($p$-uplet)

Suite ordonnée de $p$ éléments $(x_1, x_2, \dots, x_p)$ choisis dans un ensemble $E$ avec répétition autorisée ; un ensemble à $n$ éléments en compte $n^p$.

Arrangement ($A_n^p$)

Suite ordonnée de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$, dont le nombre est donné par $A_n^p = \frac{n!}{(n - p)!}$.

Permutation ($P_n$)

Arrangement de la totalité des $n$ éléments d'un ensemble fini $E$, c'est-à-dire une bijection de $E$ dans lui-même, au nombre de $P_n = n!$.

Combinaison ($\binom{n}{p}$)

Sous-ensemble non ordonné de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$, dont le nombre est $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n - p)!}$.

Ensemble des parties ($\mathcal{P}(E)$)

Ensemble formé de tous les sous-ensembles possibles d'un ensemble $E$ ; si $|E| = n$, son cardinal vaut $|\mathcal{P}(E)| = 2^n$.

Valeur absolue ($|x|$)

Distance d'un réel $x$ à l'origine, définie par $|x| = x$ si $x \ge 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.

Inégalité triangulaire

Propriété affirmant que pour tous réels $x, y$, $|x + y| \le |x| + |y|$, et pour tous complexes $z, z'$, $|z + z'| \le |z| + |z'|$.

Partie entière ($E(x)$)

Unique entier relatif vérifiant l'encadrement $E(x) \le x < E(x) + 1$, représentant le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

Majorant

Nombre réel $M$ tel que pour tout élément $x$ d'une partie $A \subset \mathbb{R}$, on a $x \le M$.

Minorant

Nombre réel $m$ tel que pour tout élément $x$ d'une partie $A \subset \mathbb{R}$, on a $m \le x$.

Ensemble borné

Partie de $\mathbb{R}$ qui est à la fois majorée et minorée.

Plus grand élément / Maximum ($\max(A)$)

Majorant d'un ensemble $A \subset \mathbb{R}$ qui appartient lui-même à cet ensemble.

Plus petit élément / Minimum ($\min(A)$)

Minorant d'un ensemble $A \subset \mathbb{R}$ qui appartient lui-même à cet ensemble.

Borne supérieure ($\sup(A)$)

Plus petit des majorants d'une partie non vide et majorée $A$ de $\mathbb{R}$.

Borne inférieure ($\inf(A)$)

Plus grand des minorants d'une partie non vide et minorée $A$ de $\mathbb{R}$.

Forme algébrique d'un nombre complexe

Écriture unique d'un complexe sous la forme $z = a + ib$, où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.

Partie réelle et partie imaginaire

Pour $z = a + ib$, $a$ est la partie réelle notée $\text{Re}(z)$ et $b$ est la partie imaginaire notée $\text{Im}(z)$.

Imaginaire pur

Nombre complexe dont la partie réelle est nulle ($\text{Re}(z) = 0$), c'est-à-dire de la forme $z = ib$ avec $b \in \mathbb{R}$.

Conjugué d'un nombre complexe ($\overline{z}$)

Pour un nombre complexe $z = a + ib$, le complexe défini par $\overline{z} = a - ib$.

Affixe

Nombre complexe $z = a + ib$ associé de manière biunivoque au point $M(a, b)$ dans le plan complexe.

Module d'un nombre complexe ($|z|$)

Nombre réel positif défini par $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\overline{z}}$, correspondant à la distance $OM$ dans le plan complexe.

Argument d'un nombre complexe ($\arg(z)$)

Pour tout $z \in \mathbb{C}^*$, mesure de l'angle orienté entre l'axe réel et le vecteur $\mathbf{OM}$, définie modulo $2\pi$.

Forme trigonométrique

Écriture d'un complexe non nul sous la forme $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, où $r = |z| > 0$ et $\theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}$.

Formule de Moivre

Relation valide pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ : $(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.

Forme exponentielle

Écriture d'un complexe non nul sous la forme $z = r e^{i\theta}$, utilisant la notation d'Euler $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$.

Formules d'Euler

Relations exprimant les fonctions trigonométriques à l'aide de l'exponentielle complexe : $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

Racines $n$-ièmes de l'unité

Solutions complexes de l'équation $z^n = 1$, au nombre de $n$, données par $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$.

Polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$

Expression formelle de la forme $P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, où les coefficients $a_k$ appartiennent au corps $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

Degré d'un polynôme ($\deg(P)$)

Plus grand entier $k$ tel que le coefficient $a_k$ soit non nul ; par convention, $\deg(0) = -\infty$.

Division euclidienne de polynômes

Théorème affirmant que pour $P, D \in \mathbb{K}[X]$ avec $D \ne 0$, il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P = DQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(D)$ ou $R = 0$.

Divisibilité polynomiale ($D \mid P$)

Propriété indiquant qu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P = DQ$, c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne de $P$ par $D$ est nul.

Racine d'un polynôme

Élément $a \in \mathbb{K}$ tel que $P(a) = 0$, ce qui équivaut à la factorisation de $P$ par $X - a$.

Ordre de multiplicité d'une racine

Plus grand entier $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $(X - a)^m$ divise $P$, caractérisé par $P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0$ et $P^{(m)}(a) \ne 0$.

Polynôme irréductible

Polynôme non constant dont les seuls diviseurs sont les constantes non nulles et ses multiples scalaires ; dans $\mathbb{C}[X]$, ce sont exactement les polynômes de degré $1$.