(P): ARGOMENTO 1: Fondamenti di Teoria della Misura e Spazi di Probabilità

(D1) Definizione di algebra e sigma algebra

Sia Ω un insieme non vuoto e F⊆P(Ω) una famiglia di sottoinsiemi di Ω.

1. Algebra: F è un'algebra su Ω se soddisfa le seguenti tre proprietà:

   • Contiene l'insieme globale: Ω∈F (oppure ∅∈F).

   • Chiusura rispetto al complemento: Se A∈F, allora Ac=Ω∖A∈F.

   • Chiusura rispetto all'unione finita: Se A,B∈F, allora A∪B∈F (e per induzione, per ogni unione finita di insiemi).

2. σ-Algebra: F è una σ-algebra su Ω se, oltre alle prime due proprietà delle algebriche, soddisfa la chiusura rispetto all'unione numerabile:

   • Se {An​}n=1∞​ è una successione di insiemi in F, allora ⋃n=1∞​An​∈F.

(D2) Definizione assiomatica di Misura di Probabilità

Sia (Ω,F) uno spazio misurabile. Una misura di probabilità è una funzione d'insieme P:F→R+ che soddisfa i tre assiomi di Kolmogorov:

1. (Non-negatività:

   P(A)≥0∀A∈F. ps, l’ho gia assunto mettendo R+)

2. Normalizzazione:

   P(Ω)=1.

3. σ-additività (o additività numerabile):

   Per ogni successione {An​}n=1∞​ di eventi in F a due a due disgiunti (cioè Ai​∩Aj​=∅ per ogni i≠j), si ha:

   P(n=1⋃∞​An​)=n=1∑∞​P(An​)

(D8) Definizione di Spazio Misurabile e di Funzione Misurabile

• Spazio Misurabile:

  È una coppia (Ω,F), dove Ω è un insieme non vuoto e F è una σ-algebra di sottoinsiemi di Ω. Gli elementi di F sono detti insiemi misurabili (o eventi in ambito probabilistico).

• Funzione Misurabile:

  Siano (Ω1​,F1​) e (Ω2​,F2​) due spazi misurabili. Una funzione X:Ω1​→Ω2​ si dice (F1​,F2​)-misurabile se la controimmagine di ogni insieme misurabile di Ω2​ appartiene a F1​:

  X^-1(B) = {ω∈Ω_1​:X(ω)∈B}∈F₁​ ∀B∈F_2​

T1- Spiegare l'utilizzo del calcolo combinatorio nel calcolo delle probabilità e fare un esempio

Nella probabilità classica P(E)=∣ΩE​∣/∣Ω∣​, il calcolo combinatorio serve a contare rapidamente i casi favorevoli e possibili (usando Disposizioni/Permutazioni se l'ordine conta, Combinazioni se non conta).

Esempio: Probabilità di avere 3 Assi serviti in 5 carte da un mazzo di 52

T3- Proprietà dedotte dalla definizione di misura di probabilità

0. Probabilità dell'insieme vuoto

P(∅)=0

Dimostrazione: Poiché Ω=Ω∪∅ con Ω∩∅=∅, per il 3° assioma P(Ω)=P(Ω)+P(∅)⟹1=1+P(∅)⟹P(∅)=0.

1. Formula di Disintegrazione (o Partizione)

P(B)=P(B∩A)+P(B∩Ac)∀A,B∈F

Dimostrazione: Si scompone B=(B∩A)∪(B∩Ac); poiché gli eventi sono disgiunti, per il 3° assioma si ha P(B)=P(B∩A)+P(B∩Ac).

2. Probabilità dell'evento complementare

P(Ac)=1−P(A)

Dimostrazione: Applicando la proprietà (2) ponendo B=Ω, si ha P(Ω)=P(Ω∩A)+P(Ω∩Ac)⟹1=P(A)+P(Ac)⟹P(Ac)=1−P(A).

3. Probabilità dell'evento complementare

P(Ac)=1−P(A)

Dimostrazione: Applicando la proprietà (2) ponendo B=Ω, si ha P(Ω)=P(Ω∩A)+P(Ω∩Ac)⟹1=P(A)+P(Ac)⟹P(Ac)=1−P(A).

4. Monotonia della probabilità

Se A⊆B⟹P(A)≤P(B)

Dimostrazione: Se A⊆B, allora B∩A=A; dalla proprietà (2) si ha P(B)=P(A)+P(B∩Ac)≥P(A)poiché P(B∩Ac)≥0 (per il 1° assioma).

5. Formula di De Morgan per la Probabilità dell'Unione

P(n=1⋃∞​An​)=1−P(n=1⋂∞​Anc​)

Dimostrazione: Per la legge di De Morgan (⋃n=1∞​An​)c=⋂n=1∞​Anc​; applicando la probabilità del complementare (prop. 3) all'evento E=⋃n=1∞​An​, si ottiene P(E)=1−P(Ec)=1−P(⋂n=1∞​Anc​).

6. Teorema della Somma (Unione di due eventi generici)

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Dimostrazione: Si scrive A∪B=A∪(B∩Ac) con eventi disgiunti ⟹P(A∪B)=P(A)+P(B∩Ac); sostituendo P(B∩Ac)=P(B)−P(A∩B) dalla prop. (2), si ottiene la tesi.

T5- Principio di inclusione-esclusione

Enunciato: P(⋃i=1n​Ai​)=∑P(Ai​)−∑P(Ai1​​∩Ai2​​)+⋯+(−1)n+1P(A1​∩⋯∩An​)

Dimostrazione (Induzione):

1. Base n=2: P(A1​∪A2​)=P(A1​)+P(A2​∩A1^c​)=P(A1​)+P(A2​)−P(A1​∩A2​).

2. Passo n+1: Ponendo B=⋃i=1n​Ai​, si usa P(B∪An+1​)=P(B)+P(An+1​)−P(B∩An+1​).

3. Si applica l'ipotesi induttiva a P(B) e a P(B∩An+1​)=P(⋃i=1n​(Ai​∩An+1​)), ricombinando le intersezioni col segno (−1)^k+1 corretto.

(T2) Sigma-algebra dei Boreliani e dimostrazione che è generata dagli aperti o dalle semirette

Sia Ω=R. La σ-algebra dei Boreliani B(R) è la σ-algebra generata dalla famiglia degli intervalli aperti G={(a,b):a<b}:

B(R):=σ(G)

Dimostrazione dell'Equivalenza:

1. σ(G1​)⊆σ(G):

   • Prese bn​↑+∞, la semiretta destra è unione numerabile di aperti: ⋃n∈N​(a,bn​)=(a,+∞)∈σ(G).

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   • Il complementare include l'estremo: (a,+∞)c=(−∞,a]∈σ(G).

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   • Prese bn​↑b, l'unione dà la semiretta aperta: ⋃n∈N​(−∞,bn​]=(−∞,b)∈σ(G).

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2. σ(G)⊆σ(G1​):

   • Ogni intervallo aperto si ottiene per intersezione: (a,b)=(−∞,a]c∩(−∞,b)∈σ(G1​).

(T7) Teorema di continuità della probabilità per successioni di eventi crescenti e decrescenti

Ecco la Flashcard (T7) in formato super sintetico per il ripasso rapido:

FLASHCARD: (T7) Teorema di Continuità della Probabilità

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(T7) Teorema di Continuità della Probabilità (An​↑A e An​↓A)

Enunciato, costruzione degli eventi disgiunti Bn​, dimostrazione An​=⋃k=1n​Bk​ e passaggio al limite.

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1. Enunciato

• Crescente: An​↑A⟹limn→∞​P(An​)=P(A)

  
  

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• Decrescente: An​↓A⟹limn→∞​P(An​)=P(A)

  
  

  JPG+ 1

  
  

2. Dimostrazione (An​↑A)

1. Definizione "Anelli" Disgiunti Bn​:

   B1​=A1​ e Bn​=An​∖An−1​=An​∩An−1c​ per n>1 (disgiunti a due a due).

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2. Lemma (An​=⋃k=1n​Bk​):

   • (⊆): Bk​⊆Ak​⊆An​⟹⋃k=1n​Bk​⊆An​.

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   • (⊇): Per ω∈An​, sia k il minimo indice (1≤k≤n) per cui ω∈Ak​. Se k>1⟹ω∈/Ak−1​, dunque ω∈Ak​∖Ak−1​=Bk​⊆⋃k=1n​Bk​.

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3. Calcolo Probabilità P(A):

   Poiché A=⋃n=1∞​Bn​:

   JPG+ 1

   
   

   P(A)=σ-add.n=1∑∞​P(Bn​)=n→∞lim​k=1∑n​P(Bk​)=finita add.n→∞lim​P(k=1⋃n​Bk​)=n→∞lim​P(An​)■

   
   

   JPG

   
   

3. Caso Decrescente (An​↓A)

Anc​↑Ac⟹limn→∞​P(Anc​)=P(Ac)⟹1−limn→∞​P(An​)=1−P(A)⟹limn→∞​P(An​)=P(A)■