automatique 5- REVISION A DONF

Pourquoi linéariser ?

Laplace, fonction de transfert et PID ne marchent que pour des systèmes linéaires. On approxime donc localement autour d'un point d'équilibre.

Point de fonctionnement = point d'équilibre = ?

Même chose (= point stationnaire) : toutes les dérivées sont nulles, ẋ = f(x0,u0) = 0.

Recette de linéarisation en 4 étapes

1) Forme d'état. 2) Équilibre (tous les ẋ = 0). 3) Dérivées partielles évaluées à l'équilibre. 4) Taylor, puis retour à y.

Forme d'état d'un système d'ordre 2 (avec ÿ)

x1 = y, x2 = ẏ ; ligne 1 : ẋ1 = x2 ; ligne 2 : ẋ2 = ÿ isolé (attention aux signes).

Pourquoi x20 = 0 à l'équilibre ?

Ligne 1 : ẋ1 = x2, et à l'équilibre ẋ1 = 0, donc x2 = 0.

Formule de Taylor, ligne i, 2 états

ẋi ≈ 0 + ∂ẋi/∂x1|0 (x1−x10) + ∂ẋi/∂x2|0 (x2−x20) + ∂ẋi/∂u|0 (u−u0)

Que signifie |0 après une dérivée partielle ?

On remplace x1, x2, u par leurs valeurs à l'équilibre : les coefficients deviennent des nombres.

Dérivée partielle d'un terme déjà linéaire (3x2, 2y, u)

Son coefficient : on le recopie.

Dérivées de x², x³, √x, 1/x

2x ; 3x² ; 1/(2√x) ; −1/x²

Dérivées de sin x, cos x, e^x

cos x ; −sin x ; e^x

Dérivées partielles de x1·x2

∂/∂x1 = x2 ; ∂/∂x2 = x1. Le produit disparaît si une des variables est nulle à l'équilibre.

Approximation des petits angles

sin θ ≈ θ autour de θ0 = 0, car la dérivée cos 0 = 1.

Équilibre différent de 0 : que garder dans Taylor ?

Les écarts (x1−x10), (u−u0), pas x1 ni u seuls.

Dernière étape de la linéarisation

Revenir à y : x1 = y, x2 = ẏ, ẋ2 = ÿ.

Équilibre de ẋ = −x + e^u

x0 = e^u0, point (x0,u0) = (e^u0, u0).

Linéarisation de ẋ = −x + e^u

ẋ ≈ −(x − e^u0) + e^u0 (u − u0)

Pendule : condition et valeur d'équilibre

sin θ0 = Te0/(mgl), donc θ0 = arcsin(Te0/(mgl)). Existe si |Te0| ≤ mgl.

Pendule linéarisé autour de θ0 = 0

θ̈ ≈ −(g/l)θ − (b/ml²)θ̇ + (1/ml²)Te

Van der Pol linéarisé en (0,0)

ẋ1 = x2 ; ẋ2 ≈ −x1 + x2 (le terme θ²θ̇ disparaît).

Quand la linéarisation est-elle valable ?

Seulement près du point d'équilibre (l'erreur grandit en s'en éloignant).

Laplace : δ(t), u(t), t, tⁿ

1 ; 1/p ; 1/p² ; n!/p^(n+1)

Laplace : e^(−at) et t·e^(−at)

1/(p+a) ; 1/(p+a)²

Laplace : cos ωt et sin ωt

p/(p²+ω²) ; ω/(p²+ω²)

Laplace : e^(−at)cos ωt et e^(−at)sin ωt

(p+a)/((p+a)²+ω²) ; ω/((p+a)²+ω²)

Propriété de la dérivée (conditions initiales nulles)

Dériver = multiplier par p : ẏ → pY(p) ; ÿ → p²Y(p).

Propriété du retard

f(t−T)u(t−T) → e^(−Tp)·F(p). Exemple : u(t−2) → e^(−2p)/p.

Théorèmes de la valeur initiale et finale

f(0+) = lim p→∞ pF(p) ; f(∞) = lim p→0 pF(p) (si le système est stable).

Relation entrée-sortie dans Laplace

Y(p) = H(p)·U(p)

Transformée de l'impulsion, de l'échelon u0, de la rampe de pente a

1 ; u0/p ; a/p²

Méthode d'une transformée inverse

Factoriser le dénominateur, décomposer en éléments simples A/(p−p1) + B/(p−p2)…, lire la table terme à terme.

Inverse de 3/(p³+5p²+6p)

½ − (3/2)e^(−2t) + e^(−3t)

Inverse de (1 − 2e^(−p) + e^(−2p))/p

u(t) − 2u(t−1) + u(t−2) : vaut 1 sur [0,1[, −1 sur [1,2[, 0 ensuite.

Fonction de transfert H(p)

H(p) = Y(p)/U(p), conditions initiales nulles, système linéaire.

Ordre d'un système

= nombre d'états = plus haute dérivée de y = degré du dénominateur de H(p).

Classe d'un système

Nombre de p en facteur au dénominateur (0 = pas d'intégrateur).

Gain statique K

Si classe 0 : K = H(0). Valeur finale à un échelon u0 : K·u0.

Pôles et zéros

Pôles = racines du dénominateur ; zéros = racines du numérateur.

H(p) de d³x/dt³+3ẍ+3ẋ+x = 2u̇+u

H(p) = (2p+1)/(p+1)³ : ordre 3, K = 1, zéro −1/2, pôle triple −1.

Forme canonique du 1er ordre

H(p) = K/(1+τp) : K gain statique, τ constante de temps (s).

Réponse à l'échelon u0 d'un 1er ordre

y(t) = K·u0·(1 − e^(−t/τ)) : part de 0, tend vers K·u0.

Réponse à l'impulsion d'un 1er ordre

y(t) = (K/τ)·e^(−t/τ)

Réponse à la rampe unitaire d'un 1er ordre

y(t) = K(t−τ) + Kτ·e^(−t/τ) : asymptote décalée de τ (retard).

Repères du 1er ordre à l'échelon

63 % de la valeur finale à t = τ ; 95 % à 3τ ; tr5% = 3τ.

Temps de montée d'un 1er ordre

tm (de 10 % à 90 %) = τ·ln9 ≈ 2,2τ.

1er ordre généralisé et λ

H = K(1+τ1p)/(1+τ2p), λ = τ1/τ2.

Réponse à l'échelon du 1er ordre généralisé

y = K·u0·[1 + (λ−1)·e^(−t/τ2)] ; y(0+) = K·u0·λ ; y(∞) = K·u0.

Avance ou retard de phase ?

λ > 1 : avance (démarre au-dessus, saut initial) ; λ < 1 : retard (démarre en dessous).

Circuit RC passe-bas (sortie sur C)

H = 1/(1+RCp), K = 1, τ = RC.

Système m·v̇ + b·v = u

H = (1/b)/(1+(m/b)p) : K = 1/b, τ = m/b.

Forme canonique du 2nd ordre

H(p) = K·ωn²/(p² + 2ξωn·p + ωn²). Sur p²+bp+c : ωn = √c, ξ = b/(2ωn).

Régime selon ξ

ξ > 1 : apériodique (pôles réels) ; ξ = 1 : critique ; 0 < ξ < 1 : oscillatoire (pôles complexes).

Pôles du 2nd ordre oscillatoire

p = −ξωn ± j·ωn√(1−ξ²)

Pseudo-pulsation et pseudo-période

ωp = ωn√(1−ξ²) ; Tp = 2π/ωp

Instant du premier dépassement

Tpic = π/ωp = π/(ωn√(1−ξ²))

Dépassement relatif D%

D% = 100·exp(−πξ/√(1−ξ²)). Valeur au pic : K·u0·(1+D).

D% pour ξ = 0,1 ; 0,35 ; 0,5 ; 0,7

73 % ; 31 % ; 16 % ; 4,6 %

Temps de réponse à 5 % du 2nd ordre (ξ < 0,7)

tr5% ≈ 3/(ξωn) (ordre de grandeur). Pour ξ = 1 : ωn·tr5% ≈ 4,74.

Quel ξ donne la réponse la plus rapide ?

Sans dépassement : ξ = 1. Avec petit dépassement : ξ ≈ 0,7.

Allure de la réponse à l'échelon (oscillatoire)

Démarre à plat (tangente nulle), dépasse K·u0 au pic Tpic, oscille et converge vers K·u0.

Tracer la réponse du 2nd ordre : étapes

Calculer ωn, ξ, K ; asymptote K·u0 ; D, Tpic, tr5% ; placer le 1er pic (Tpic, K·u0·(1+D)) ; partir à plat et converger.

H = 36/(p²+4,2p+36)

ωn = 6, ξ = 0,35, K = 1 ; D ≈ 31 % ; Tpic ≈ 0,56 s ; tr5% ≈ 1,4 s.

FTBO (boucle ouverte)

FTBO = FTCD × FTCR (chaîne directe × chaîne de retour).

FTBF (boucle fermée)

FTBF = FTCD/(1 + FTCD·FTCR) = FTCD/(1 + FTBO)

FTBF à retour unitaire (FTCR = 1)

FTBF = FTBO/(1 + FTBO), avec FTBO = FTCD.

Se ramener à un retour unitaire

Boucle unitaire de FTCD·FTCR, suivie d'un bloc 1/FTCR.

Blocs en série / en parallèle

Série : H = H1·H2·H3 ; parallèle : H = H1 + H2.

Déplacer un point de prélèvement après un bloc H

Ajouter un bloc 1/H sur la branche déplacée.

Principe de superposition

On calcule l'effet de chaque entrée (U puis P) l'autre étant à 0, puis on additionne : Y = FH/(1+FHR)·U + GH/(1+FHR)·P.

Réduire un schéma compliqué

Partir des boucles les plus internes ; chaque boucle = directe/(1 + boucle) ; les blocs en série se multiplient.

Les 3 critères d'un système asservi

Stabilité, rapidité, précision.

Condition de stabilité

Tous les pôles de la FTBF ont une partie réelle strictement négative.

Rapidité : critères

Temps de réponse à 5 % (entrée en échelon) et temps de montée (10 % à 90 %).

Précision statique et dynamique

Statique : écart consigne − sortie en régime permanent. Dynamique : dépassement D1 pendant le transitoire.

Régulateur proportionnel P

u(t) = Kp·e(t), soit U(p) = Kp·E(p) ; FTBO = Kp·H(p) ; HBF = Kp·H/(1+Kp·H).

1er ordre + P : gain et constante de temps bouclés

KBF = Kp·K/(1+Kp·K) ; τBF = τ/(1+Kp·K) (plus rapide) ; tr5% = 3τBF.

1er ordre + P : stabilité

Pôle −1/τBF toujours négatif : stable pour tout Kp > 0.

Erreur statique à un échelon R0 (retour unitaire)

ε∞ = lim p→0 p·R(p)/(1+FTBO) = R0/(1+Kp·K). Elle diminue quand Kp augmente.

Un P peut-il annuler l'erreur statique d'un 1er ordre ?

Non : il faudrait Kp → ∞, donc une commande infinie (irréalisable).

2nd ordre + P : paramètres bouclés

KBF = Kp·K/(1+Kp·K) ; ξBF = ξ/√(1+Kp·K) ; ωnBF = ωn·√(1+Kp·K).

2nd ordre + P : effet d'un Kp croissant

ωn augmente (plus rapide, montée plus courte) mais ξ diminue (dépassement plus grand). Erreur statique plus faible mais jamais nulle.

2nd ordre + P : pourquoi tr5% varie peu ?

ξBF·ωnBF = ξ·ωn : la partie réelle des pôles ne change pas.

Méthode pour dimensionner Kp

1) Écrire HBF, la mettre sous forme canonique. 2) Lire KBF, τBF (ou ξBF, ωnBF) en fonction de Kp. 3) Imposer le critère (tr5% = 3τBF, ou D%). 4) Résoudre en Kp. 5) Vérifier l'erreur statique.

1er ordre, K = 0,2, τ = 80 ms : Kp pour tr5% = 30 ms ?

τBF = 10 ms = 0,08/(1+0,2Kp), donc 1+0,2Kp = 8 et Kp = 35 ; KBF = 0,875 ; ε∞ = 12,5 %.