La valeur et le temps - Calcul actuariel

Liste de cartes mémoires de vocabulaire et concepts clés issus du cours sur la valeur temps de l'argent, la capitalisation, l'actualisation et les taux d'intérêt.

Actualisation

Processus financier consistant à convertir une somme future ($V_n$) en une valeur actuelle ($V_0$), afin de tenir compte de la valeur temps de l'argent.

Capitalisation

Processus financier consistant à convertir une somme actuelle ($V_0$) en une valeur acquise ou donnée future ($V_n$) après $n$ périodes.

Valeur future ($V_n$)

Valeur acquise à l'issue de $n$ périodes par une somme $V_0$ placée ou empruntée aujourd'hui à un taux d'intérêt $R$, calculée selon la formule $V_n = V_0 \times (1 + R)^n$.

Valeur actuelle ($V_0$)

Valeur d'aujourd'hui d'une ou plusieurs sommes futures déterminées, tenant compte du taux d'actualisation ou du coût d'opportunité.

Coût d'opportunité

Rémunération associée au fait qu'un agent économique renonce à sa consommation actuelle dans l'espoir de disposer d'un montant plus important dans le futur.

Intérêts composés

Principe financier selon lequel les intérêts générés au cours d'une période sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts lors des périodes suivantes.

Calcul du taux d'intérêt ($R$)

Formule permettant d'isoler le taux $R$ à partir de la valeur actuelle $V_0$ et de la valeur future $V_n$ sur $n$ périodes : $R = \tbinom{V_n}{V_0}^{1/n} - 1$.

Calcul de la durée ($n$)

Formule utilisant le logarithme népérien pour calculer le nombre de périodes $n$ nécessaires à l'obtention d'une valeur future $V_n$ : $n = \tfrac{\ln(\frac{V_n}{V_0})}{\ln(1 + R)}$.

Actualisation de flux multiples

Méthode consistant à calculer la somme des valeurs actuelles de chaque flux futur $F_t$ sur $n$ périodes : $V_0 = \sum_{t=1}^n F_t (1 + R)^{-t}$.

Capitalisation de flux multiples

Méthode consistant à déterminer la valeur future totale à la date $n$ en capitalisant chaque flux $F_t$ : $V_n = \sum_{t=1}^n F_t (1 + R)^{n-t}$.

Valeur actuelle d'une suite de flux constants (horizon fini)

Formule simplifiée permettant de calculer la valeur actuelle $V_0$ d'une suite de $n$ flux identiques $F$ au taux $R$ : $V_0 = F \times \frac{1 - (1 + R)^{-n}}{R}$.

Valeur future d'une suite de flux constants (horizon fini)

Formule simplifiée de la valeur acquise $V_n$ pour une suite de $n$ flux identiques $F$ versés au taux $R$ : $V_n = F \times \frac{(1 + R)^n - 1}{R}$.

Rente perpétuelle à flux constants

Série infinie de flux constants $F$ pour laquelle la valeur future ne peut être calculée, mais dont la valeur actuelle est $V_0 = \frac{F}{R}$.

Rente perpétuelle à flux croissants

Série infinie de flux augmentant au taux constant $g$ (avec $g < R$), dont la valeur actuelle est estimée à $V_0 = \frac{F_1}{R - g}$.

Taux proportionnel

Taux affiché obtenu en divisant le taux annuel $R_a$ par le nombre de périodes $p$ dans l'année ($R_p = \frac{R_a}{p}$), sans inclure l'effet des intérêts composés.

Taux équivalent

Taux effectif garantissant qu'une même somme placée sur des périodicités différentes aura la même valeur future à une date donnée, selon la relation $1 + R_a = (1 + R_p)^p$.

Capitalisation en temps continu

Modèle d'actualisation où la durée d'une période tend vers zéro, ce qui implique que les intérêts génèrent des intérêts instantanément à tout moment.

Équivalence entre taux continu et taux discret

Relation vérifiée lorsque la valeur future en temps continu égale celle en temps discret, menant à $R_{ac} = \ln(1 + R_{ad})$ et $R_{ad} = e^{R_{ac}} - 1$.

Synthèse des formules actuarielles

Tableau récapitulatif des expressions de la valeur actuelle $V_0$ et de la valeur future $V_n$ pour des flux constants ou croissants à un rythme constant $g$, selon un horizon fini ou infini.