Vorlesung Math 4

Kapital Symbol

K, K₀ , K_t

Zins/Zinssatz Symbol

in %

→ i

Zinzeszinsformel

K_n= K₀ * qⁿ

q = 1 +i

Anfangskapital Formel

K₀ = K_n / qⁿ

Berechnung Zinssatz

Berechnung Laufzeit

Wie entscheidet man beim Ziehen von k aus n Elementen ?

1. Wie viele Elemente gibt es (𝑛), wie oft wird gewählt (𝑘)?

2. Darf ein Element mehrfach vorkommen?

3. Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

4. Formel aus der Tabelle wählen.

Wann ist ein angeordneter Körper vollständig ?

• wenn jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein supremum oder infimum innerhalb des Körpers besitzt

→ muss nicht zur Teilmenge gehören, sondern zum Körper

Aufteilung der irrationalen Zahlen

• algebraische irrationale Zahlen (z.B. Wurzel 2)

• transzendente Zahlen (z.B. pi, e)

Was sind Intervalle ?

Teilmengen der Reelen Zahlen

Endliche Intervalle Arten

a, b → Randpunkte des Intervalls

b-a =| I |→ Länge

supI= b

infI = a

Einseitige begrenzte Intervalle

Erkläre mir die Intervallschachtelung

Immer weitere Eingrenzung von Teilintervallen im Gesamtintervall (bsp: Annäherung einer Zahl)

• Dabei wird der Abstand immer weiter halbiert, also geht gegen 0, erreicht die 0 aber nie

Was bedeutet Q liegt dicht in R ?

Zu jeder Reellen Zahl x gibt es eine rationale Zahl r, die beliebig nahe an x liegt

Dichtigkeit → Eine Zahl kann beliebig genau angenähert werden.

Bsp: Wurzel 2

→ Obwohl Wurzel 2 kein Element von Q ist, können wir uns mithilfe rationaler Zahlen ihrer Zahl beliebig annähern

Wann haben wir ein Zufallsexperiment ?

Ein Vorgang, wo man das Ergebnis nicht vorhersagen kann (Münzwurf, Würfeln)

Was ist ein Ergebnisraum ?

• Menge aller möglichen Ausgänge

Was ist ein Ereignis ?

Teilmenge von 𝛺, also eine Zusammenfassung von Ergebnissen.

Wann trifft die LaPlace Warscheinlichkeit zu ?

• Wenn alle Ergebnisse gleich warscheinlich sind

Rechenregeln bei Wahrscheinlichkeiten

▪ Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1: 0≤𝑃(𝐸) ≤1

▪ Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: 𝑃(𝛺) =1

▪ Gegenereignis: 𝑃(𝐸_Strich) =1−𝑃(𝐸)

▪ Additionssatz: 𝑃(𝐸∪𝐹) =𝑃(𝐸)+𝑃(𝐹)−𝑃(𝐸∩𝐹)

(schließen sich 𝐸und 𝐹aus, fällt der letzte Summand weg)

Bei “mind ein…” mit Gegenereignis rechnen

Bedingte Wahrscheinlichkeit / Stochastische Unabhängigkeit

P_B(A) = P(AnB) / P(B)

→ Wahrscheinlichkeit von A, wenn schon B eingetreten ist

stochastisch unabhängig, wenn P(AnB) = P(A) * P(B)

Pfadregel

Entlang des Pfades : Multiplizieren

Mehrere Pfade zum gleichen Ergebnis: Addieren

E(X) ?

Erwartungswert: Den Wert, den man auf lange Sicht erhält

Was ist die Bernoulli-Kette ?

Arithmetische Summenformel

Geometrische Summenformel

Summenformel 2.te Ordnung

Summenformel 3.te Ordnung

Wie stelle ich eine Teilbarkeit dar?

a teilt 𝑏 (geschrieben 𝑎∣𝑏), wenn 𝑏ein Vielfaches von 𝑎 ist, also 𝑏=𝑘⋅𝑎mit einer ganzen Zahl 𝑘. Beispiele: 3∣12, aber 5∤12.

Was ist eine Primzahl ?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl 𝑝≥2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,

Modulo darstellung und Regeln

a = q * b + r mit 0 kleiner gleich r < b

q = Quotient

r = Rest

→ r = a mod b

Wie funktioniert eine Primfaktorzerlegung

Zahl nehmen → kleinstmögliche Primzahl als teiler nehmen → immer höhere Primzahl nehmen, wenn beim Teilen keine ganze Zahl rauskommt

Bsp:

360 durch Primzahl 2

180 / 2

90/2

45/3

15/3

5/5

→ 2³ × 3² × 5

Wann ist eine Zahl durch 2,3,5,9 und 10 teilbar ?