Vorlesung Lineare Algebra I und II – Grundlagen

Vokabel-Lernkarten zur Einführung in die Aussagenlogik, Mengenlehre, Abbildungen, Zahlbereiche und elementare Zahlentheorie aus der Vorlesung Lineare Algebra I und II.

Mathematische Aussage

Eine sprachlich oder symbolisch formulierte Behauptung, der auf eindeutige und objektive Weise ein Wahrheitswert, nämlich wahr (w) oder falsch (f), zugeordnet werden kann.

Negation ($\neg A$)

Logische Operation für eine Aussage $A$, die wahr ist, wenn $A$ falsch ist, und falsch, wenn $A$ wahr ist (gesprochen: "nicht $A$").

Disjunktion ($A \lor B$)

Logische Verknüpfung zweier Aussagen $A$ und $B$, die genau dann wahr ist, wenn mindestens eine der beiden Aussagen $A$ oder $B$ wahr ist, und falsch, wenn beide falsch sind (gesprochen: "$A$ oder $B$").

Konjunktion ($A \land B$)

Logische Verknüpfung zweier Aussagen $A$ und $B$, die genau dann wahr ist, wenn sowohl $A$ als auch $B$ wahr sind (gesprochen: "$A$ und $B$").

Wahrheitstafel der Negation und doppelten Negation

Tabellarische Darstellung, die zeigt, dass $\neg A$ den invertierten Wahrheitswert von $A$ annimmt und dass die doppelte Negation $\neg(\neg A)$ logisch gleichwertig zu $A$ ist.

Wahrheitstafel von Disjunktion und Konjunktion

Tabellarische Übersicht, die zeigt, dass $A \lor B$ nur bei zwei falschen Aussagen falsch ist, während $A \land B$ nur bei zwei wahren Aussagen wahr ist.

De-Morgansche Gesetze (Wahrheitstafel)

Wahrheitstabelle, welche die Gleichwertigkeit von $\neg(A \lor B)$ mit $(\neg A) \land (\neg B)$ sowie von $\neg(A \land B)$ mit $(\neg A) \lor (\neg B)$ belegt.

Exklusives Oder ($(A \lor B) \land (\neg(A \land B))$)

Aussagenlogischer Ausdruck für das umgangssprachliche "entweder $A$ oder $B$", der genau dann wahr ist, wenn eine und nur eine der beiden Aussagen wahr ist.

Implikation ($A \Rightarrow B$)

Aussage, die per Definition genau dann wahr ist, wenn $B \lor (\neg A)$ wahr ist (gesprochen: "$A$ impliziert $B$" oder "aus $A$ folgt $B$"). Sie ist nur dann falsch, wenn $A$ wahr und $B$ falsch ist.

Kontraposition

Die zu einer Implikation $A \Rightarrow B$ logisch äquivalente Aussage $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$.

Wahrheitstafel von Implikation und Kontraposition

Tabellarischer Nachweis, dass die Implikation $A \Rightarrow B$ und ihre Kontraposition $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$ denselben Wahrheitswertverlauf haben und damit logisch äquivalent sind.

Logische Äquivalenz ($A \Leftrightarrow B$)

Aussagenlogische Verknüpfung definiert durch $(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)$, die genau dann wahr ist, wenn $A$ und $B$ denselben Wahrheitswert besitzen.

Menge

Ein abstraktes Objekt, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte (den Elementen der Menge) hervorgeht.

Teilmenge ($Y \subset X$)

Beziehung zwischen Mengen, bei der jedes Element von $Y$ auch in $X$ enthalten ist, formal: $(x \in Y) \Rightarrow (x \in X)$.

Leere Menge ($\emptyset$)

Die eindeutige Menge, die kein einziges Element enthält. Für jede Menge $X$ gilt $\emptyset \subset X$.

Russell-Paradoxon

Antinomie der naiven Mengenlehre: Bildet man aus der hypothetischen Menge aller Mengen die Teilmenge $Y := \{S \in X \mid S \notin S\}$, folgt der logische Widerspruch $(Y \in Y) \Leftrightarrow \neg(Y \in Y)$.

Produktmenge ($X \times Y$)

Die Menge aller geordneten Paare $(x, y)$ mit $x \in X$ und $y \in Y$, wobei $((x, y) = (x', y')) \Leftrightarrow (x = x' \land y = y')$.

Potenzmenge ($P(X)$)

Die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge $X$.

Schnittmenge (Durchschnitt)

Für eine Teilmengenfamilie $X_i \subset Y$ die Menge $\bigcap_{i \in I} X_i := \{x \in Y \mid \forall i \in I : x \in X_i\}$.

Disjunkte Mengen

Zwei Mengen $X_1, X_2 \subset Y$, deren gemeinsame Schnittmenge leer ist, d. h. $X_1 \cap X_2 = \emptyset$.

Differenzmenge ($X \setminus Y$)

Die Menge aller Elemente aus $X$, die nicht zu $Y$ gehören: $X \setminus Y := \{x \in X \mid x \notin Y\}$.

Abbildung (Funktion)

Eine Beziehung $f: X \rightarrow Y$, welche jedem Element $x \in X$ des Definitionsbereichs eindeutig ein Element $f(x) \in Y$ des Wertebereichs zuordnet.

Graph einer Abbildung

Die Teilmenge $\text{gra}(f) := \{(x, f(x)) \mid x \in X\} \subset X \times Y$.

Komposition ($g \circ f$)

Die Hintereinanderausführung zweier Abbildungen $f: X \rightarrow Y$ und $g: Y \rightarrow Z$, definiert durch $(g \circ f)(x) := g(f(x))$.

Einschränkung ($f|_Y$)

Für $Y \subset X$ und $f: X \rightarrow Z$ die Komposition $f \circ j_Y^X: Y \rightarrow Z$, wobei $j_Y^X: Y \rightarrow X$ die Inklusionsabbildung bezeichnet.

Bild einer Teilmenge ($f(S)$)

Für $f: X \rightarrow Y$ und $S \subset X$ die Menge $f(S) := \{f(s) \mid s \in S\} \subset Y$. Das Bild der gesamten Menge $X$ wird mit $\text{im}(f) := f(X)$ bezeichnet.

Urbild einer Teilmenge ($f^{-1}(T)$)

Für $f: X \rightarrow Y$ und $T \subset Y$ die Teilmenge $f^{-1}(T) := \{x \in X \mid f(x) \in T\} \subset X$.

Injektive Abbildung

Eine Abbildung $f: X \rightarrow Y$, für die gilt: $(f(x) = f(y)) \Rightarrow x = y$. Das bedeutet, dass jedes Element in $Y$ höchstens ein Urbild hat.

Surjektive Abbildung

Eine Abbildung $f: X \rightarrow Y$, bei der zu jedem $y \in Y$ mindestens ein $x \in X$ mit $f(x) = y$ existiert, d. h. $\text{im}(f) = Y$.

Bijektive Abbildung

Eine Abbildung $f: X \rightarrow Y$, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Zu jedem $y \in Y$ existiert genau ein $x \in X$ mit $f(x) = y$.

Umkehrabbildung ($f^{-1}$)

Die zu einer bijektiven Abbildung $f: X \rightarrow Y$ eindeutig bestimmte Abbildung $g: Y \rightarrow X$, die $f \circ g = \text{id}_Y$ und $g \circ f = \text{id}_X$ erfüllt.

Induktionsprinzip

Axiom/Beweisprinzip für $\mathbb{N}_0$: Ist $S \subset \mathbb{N}_0$ mit $0 \in S$ und gilt $(n \in S) \Rightarrow (n + 1 \in S)$, so gilt $S = \mathbb{N}_0$.

Gleichmächtigkeit

Zwei Mengen $X$ und $Y$ heißen gleichmächtig ($|X| = |Y|$), falls eine bijektive Abbildung $f: X \rightarrow Y$ existiert.

Endliche Menge

Eine Menge $X$, für die ein $n \in \mathbb{N}_0$ existiert, sodass $X$ gleichmächtig zu der Menge $\{1, \dots, n\}$ ist; man schreibt dann $|X| := n$.

Schubfachprinzip

Satz, nach dem für eine endliche Menge $X$ und eine injektive Abbildung $f: Y \rightarrow X$ stets $Y$ endlich mit $|Y| \le |X|$ ist. Bei gleichmächtigen endlichen Mengen $|X| = |Y|$ ist eine Abbildung genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist.

Abzählbare Menge

Eine Menge $X$, die dieselbe Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen besitzt ($|X| = |\mathbb{N}|$).

Teilbarkeit ($n \mid m$)

Für $n, m \in \mathbb{Z}$ gilt: $n$ teilt $m$ ($n \mid m$), falls ein $k \in \mathbb{Z}$ existiert mit $m = nk$.

Primzahl

Eine natürliche Zahl $p \ge 2$, deren einzige positive Teiler $1$ und $p$ sind.

Division mit Rest

Satz, wonach es zu $n \in \mathbb{N}$ und $m \in \mathbb{Z}$ eindeutig bestimmte Zahlen $a \in \mathbb{Z}$ und $0 \le r \le n - 1$ gibt mit $m = an + r$.

Lemma von Euklid

Charakterisierung von Primzahlen: Eine natürliche Zahl $p \ge 2$ ist genau dann prim, wenn für alle $m, n \in \mathbb{Z}$ gilt: Falls $p \mid (mn)$, so gilt $p \mid m$ oder $p \mid n$.

Fundamentalsatz der Arithmetik

Jede natürliche Zahl $n \ge 2$ lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.