Vorkurs Mathematik - Vokabular & Begriffe

Karteikarten mit allen zentralen mathematischen Begriffen und Definitionen aus dem Vorkurs Mathematik von Georg Hoever.

Term

Sinnvolle Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen.

Binomische Formeln

Standard-Formeln zur Termumformung: 1) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, 2) $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, 3) $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$.

Summensymbol

Eine Kurzschreibweise ($\sum$) für die Summe gleichartiger Summanden in Abhängigkeit von einer Laufvariablen zwischen einem Start- und einem Endwert.

Aussage

Ein mathematischer Sachverhalt, dem man eindeutig einen Wahrheitswert (wahr oder falsch) zuordnen kann.

Aussageform

Ein Ausdruck, in dem noch Variablen vorkommen, sodass er erst nach dem Einsetzen von Werten für diese Variablen zu einer Aussage mit einem Wahrheitswert wird.

Äquivalenz ($\iff$)

Kennzeichnet eine Umformung von Aussagen oder Aussageformen $A$ und $B$, die stets den gleichen Wahrheitswert besitzen (»$A$ gilt genau dann, wenn $B$ gilt«).

Folgerung ($\implies$)

Eine Implikation zwischen Aussagen: Immer wenn die Aussage $A$ wahr ist, gilt auch die Aussage $B$.

Menge

Eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden.

Schnittmenge ($\cap$)

Die Schnittmenge zweier Mengen $M_1 \cap M_2 = \{x \mid x \in M_1 \text{ und } x \in M_2\}$ enthält alle Elemente, die sowohl in $M_1$ als auch in $M_2$ vorkommen.

Vereinigungsmenge ($\cup$)

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen $M_1 \cup M_2 = \{x \mid x \in M_1 \text{ oder } x \in M_2\}$ enthält alle Elemente, die in $M_1$ oder $M_2$ liegen.

Mengendifferenz ($\setminus$)

Die Differenzmenge $M_1 \setminus M_2 = \{x \mid x \in M_1 \text{ und } x \notin M_2\}$ enthält alle Elemente der ersten Menge, die nicht in der zweiten Menge sind.

Teilmenge ($\subseteq$)

Kennzeichnet eine Relation $M_1 \subseteq M_2$, bei der alle Elemente der Menge $M_1$ auch in der Menge $M_2$ enthalten sind.

Lineare Funktion (Gerade)

Eine Funktion der Form $f(x) = m \cdot x + a$, wobei $m$ die Steigung und $a$ den $y$-Achsenabschnitt angibt.

Punkt-Steigungs-Formel

Formel zur Bestimmung einer Geradengleichung durch den Punkt $(x_0, y_0)$ mit vorgegebener Steigung $m$: $f(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0$.

Quadratische Funktion (Parabel)

Eine Funktion der Form $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ mit $a \neq 0$, bei der $a$ den führenden Koeffizienten und $c$ den $y$-Achsenabschnitt bezeichnet.

Scheitelpunktform

Darstellung einer Parabel der Form $f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e$, aus der sich der Scheitelpunkt $P = (d, e)$ direkt ablesen lässt.

p-q-Formel

Formel zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion $f(x) = x^2 + p \cdot x + q$: $x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$.

abc-Formel

Lösungsformel für die Nullstellen einer allgemeinen quadratischen Funktion $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$: $x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Satz von Vieta

Beziehung zwischen den Nullstellen $x_1, x_2$ und den Koeffizienten einer quadratischen Funktion $f(x) = x^2 + p \cdot x + q$: $x_1 + x_2 = -p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$.

Faktorisierung durch Nullstellen

Darstellung einer quadratischen Funktion $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ mit den bekannten Nullstellen $x_1$ und $x_2$ als Produkt $f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$.

Polynom

Eine Funktion der Form $f(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \dots + a_1 \cdot x + a_0$ mit Reellkoeffizienten $a_k$.

Horner-Schema

Ein tabellarisches Rechenverfahren zur effizienten Auswertung von Polynomfunktionswerten $f(a)$ sowie zur Durchführung von Polynomdivisionen.

Linearfaktor

Ein Term der Form $(x - a)$, der bei Kenntnis einer Nullstelle $a$ aus einem Polynom $p(x)$ abgespalten werden kann.

Mehrfache Nullstelle

Eine Stelle $a$, an der $p(x) = (x - a)^k \cdot q(x)$ mit $q(a) \neq 0$ gilt; $k$ heißt Vielfachheit der Nullstelle.

Gebrochen rationale Funktion

Eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen dargestellt werden kann.

Wurzelfunktion

Die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion $f(x) = x^n$ ($x \ge 0$), notiert als $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$.

Exponentialfunktion

Eine Funktion der Form $f(x) = a^x$ mit reeller Basis $a > 0$ ($a \neq 1$); im Speziellen die e-Funktion $\exp(x) = e^x$ mit der Eulerschen Zahl $e \approx 2{,}718282$.

Logarithmus

Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion $a^x$; $x = \log_a(c)$ ist genau diejenige Zahl $x$, für die $a^x = c$ gilt.

Trigonometrische Funktionen im Dreieck

Verhältnisdefinitionen im rechtwinkligen Dreieck mit Winkel $\alpha$: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$, $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$, $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$.

Trigonometrischer Pythagoras

Die grundlegende Identität für Winkelfunktionen: $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.

Bogenmaß

Das Winkelmaß, das der Bogenlänge des ausgeschnittenen Kreisbogens im Einheitskreis (Radius $1$) entspricht ($x = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha$).

Ableitung

Eine Funktion $f'(x)$, die die momentane Steigung bzw. Änderungsrate der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x$ angibt.

Monotonie

Eigenschaft einer Funktion, bei der die Funktionswerte für größere Argumente nicht kleiner (monoton wachsend, $f'(x) \ge 0$) bzw. nicht größer (monoton fallend, $f'(x) \le 0$) werden.

Lokale Extremstelle

Eine Stelle $x_0$ im Innern des Definitionsbereichs mit $f'(x_0) = 0$; sie ist ein lokales Maximum bei $f''(x_0) < 0$ bzw. ein lokales Minimum bei $f''(x_0) > 0$.

Wendestelle

Eine Stelle $x_0$, an der sich das Krümmungsverhalten des Funktionsgrafen ändert ($f''(x_0) = 0$ mit Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung).

Stammfunktion

Eine Funktion $F$, deren Ableitung gleich der gegebenen Funktion $f$ ist ($F' = f$).

Bestimmtes Integral

Ausdruck $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$, der die vorzeichenbehaftete Fläche unter dem Grafen der Funktion $f$ zwischen den Grenzen $a$ und $b$ angibt.

Skalarprodukt

Ein Produkt zweier Vektoren, definiert als $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\| \cdot \cos(\phi)$, wobei $\phi$ der eingeschlossene Winkel ist.

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Ein Produkt zweier Vektoren im $\mathbb{R}^3$, das einen Vektor $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ liefert, der orthogonal auf $\mathbf{a}$ und $\mathbf{b}$ steht und dessen Länge der Fläche des aufgespannten Parallelogramms entspricht.

Orthogonale Vektoren

Zwei Vektoren $\mathbf{a}$ und $\mathbf{b}$, die genau dann senkrecht aufeinander stehen ($\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$), wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$).