somme direct etc ..

Quelles opérations définissent l’espace produit E₁ × ⋯ × Eₖ ?

(u₁,…,uₖ) + (v₁,…,vₖ) = (u₁+v₁,…,uₖ+vₖ) et λ(u₁,…,uₖ) = (λu₁,…,λuₖ).

Quelle est la dimension d’un produit fini d’espaces vectoriels de dimension finie ?

dim(E₁ × ⋯ × Eₖ) = ∑ᵢ₌₁ᵏ dim(Eᵢ).

Comment définir la somme F₁ + ⋯ + Fₖ de sous-espaces de E ?

F₁ + ⋯ + Fₖ = {u₁ + ⋯ + uₖ | uᵢ ∈ Fᵢ pour tout i}.

Pourquoi F₁ + ⋯ + Fₖ est-il un sous-espace vectoriel de E ?

C’est l’image de l’application linéaire φ : F₁ × ⋯ × Fₖ → E, (u₁,…,uₖ) ↦ u₁ + ⋯ + uₖ.

Quel est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F₁,…,Fₖ ?

Leur somme F₁ + ⋯ + Fₖ.

Que signifie « décomposer u selon F₁ + ⋯ + Fₖ » ?

Écrire u = u₁ + ⋯ + uₖ avec uᵢ ∈ Fᵢ pour tout i.

Quand dit-on que F₁ + ⋯ + Fₖ est une somme directe ?

Quand le vecteur nul admet une seule décomposition selon cette somme : 0_E = 0_E + ⋯ + 0_E.

Quel critère caractérise une somme directe avec une combinaison nulle ?

F₁ + ⋯ + Fₖ est directe si et seulement si, pour tous uᵢ ∈ Fᵢ, u₁ + ⋯ + uₖ = 0_E implique uᵢ = 0_E pour tout i.

Que signifie la notation F₁ ⊕ ⋯ ⊕ Fₖ ?

La somme F₁ + ⋯ + Fₖ est directe.

Quel critère exprime l’unicité de toute décomposition ?

La somme F₁ + ⋯ + Fₖ est directe si et seulement si tout vecteur de F₁ + ⋯ + Fₖ admet une unique décomposition selon cette somme.

Que signifie que F₁ et F₂ sont supplémentaires dans E ?

F₁ + F₂ = E et cette somme est directe. On note alors E = F₁ ⊕ F₂.

Quel critère donne la somme directe de deux sous-espaces ?

F₁ + F₂ est directe si et seulement si F₁ ∩ F₂ = {0_E}.

Le critère F₁ ∩ F₂ = {0_E} se généralise-t-il directement à k ≥ 3 sous-espaces ?

Non. Pour k ≥ 3, il ne suffit pas de vérifier séparément les intersections deux à deux.

Comment ramener le critère de somme directe à deux sous-espaces ?

F₁ + ⋯ + Fₖ est directe si et seulement si F₁ + ⋯ + Fₖ₋₁ est directe et (F₁ + ⋯ + Fₖ₋₁) ∩ Fₖ = {0_E}.

Quelle inégalité relie la dimension d’une somme aux dimensions de ses termes ?

Si les Fᵢ sont de dimension finie, dim(F₁ + ⋯ + Fₖ) ≤ ∑ᵢ₌₁ᵏ dim(Fᵢ).

Quand la dimension de la somme est-elle égale à la somme des dimensions ?

La somme F₁ + ⋯ + Fₖ est directe si et seulement si dim(F₁ + ⋯ + Fₖ) = ∑ᵢ₌₁ᵏ dim(Fᵢ).

À quelle condition E est-il la somme directe des Fᵢ, lorsque E est de dimension finie ?

E = F₁ ⊕ ⋯ ⊕ Fₖ si et seulement si la somme est directe et dim(E) = ∑ᵢ₌₁ᵏ dim(Fᵢ).

Que peut-on conclure si F₁ + ⋯ + Fₖ est directe dans un espace E de dimension finie ?

∑ᵢ₌₁ᵏ dim(Fᵢ) ≤ dim(E).

Que peut-on conclure si ∑ᵢ₌₁ᵏ dim(Fᵢ) > dim(E) ?

La somme F₁ + ⋯ + Fₖ n’est pas directe.

Quelle est la formule de Grassmann pour deux sous-espaces de dimension finie ?

dim(F₁ + F₂) = dim(F₁) + dim(F₂) − dim(F₁ ∩ F₂).

Qu’est-ce que la juxtaposition de familles de vecteurs ?

C’est la famille formée en plaçant successivement les vecteurs de chaque famille, dans l’ordre.

Si chaque famille ℱᵢ engendre Fᵢ, que peut-on dire de leur juxtaposition ?

Elle engendre F₁ + ⋯ + Fₖ.

Si chaque famille ℱᵢ est libre et que F₁ + ⋯ + Fₖ est directe, que peut-on dire de leur juxtaposition ?

La famille obtenue par juxtaposition est libre.

Quel critère caractérise une base obtenue par juxtaposition de bases ?

Si ℬᵢ est une base de Fᵢ pour tout i, alors F₁ + ⋯ + Fₖ est directe si et seulement si la juxtaposition des ℬᵢ est une base de F₁ + ⋯ + Fₖ.

Qu’appelle-t-on une base adaptée à E = F₁ ⊕ ⋯ ⊕ Fₖ ?

Une base obtenue en juxtaposant une base de chacun des sous-espaces Fᵢ.

Comment fractionner une base (e₁,…,eₙ) en sous-espaces en somme directe ?

Pour 0 = n₀ ≤ n₁ ≤ ⋯ ≤ nₖ = n, poser Fᵢ = vect(eₙᵢ₋₁₊₁,…,eₙᵢ). Alors E = F₁ ⊕ ⋯ ⊕ Fₖ.

Si E = F₁ ⊕ ⋯ ⊕ Fₖ, comment construire une application linéaire à partir de ses restrictions ?

Pour des applications linéaires fᵢ : Fᵢ → F, il existe une unique application linéaire f : E → F dont la restriction à Fᵢ est fᵢ pour tout i.

Quels sont les projecteurs associés à une décomposition E = F₁ ⊕ ⋯ ⊕ Fₖ ?

Pour chaque i, pᵢ est la projection sur Fᵢ parallèlement à la somme des autres sous-espaces.

Quelles relations vérifient les projecteurs associés à une somme directe ?

Si i ≠ j, pᵢ ∘ pⱼ = 0, et p₁ + ⋯ + pₖ = id_E.

Quand une partie B d’un ensemble A est-elle stable par une application g : A → A ?

Quand g(B) ⊂ B, c’est-à-dire quand g(x) ∈ B pour tout x ∈ B.

Que signifie qu’un sous-espace F est stable par un endomorphisme f ?

f(F) ⊂ F.

Qu’est-ce que l’endomorphisme induit par f sur un sous-espace stable F ?

C’est la restriction f|F : F → F définie par f|F(x) = f(x) pour tout x ∈ F.

Pourquoi chercher un sous-espace stable peut-il simplifier l’étude d’un endomorphisme ?

On peut étudier l’endomorphisme induit sur un espace de dimension plus petite, notamment pour faire une récurrence sur la dimension.

Quand un vecteur x est-il un vecteur propre de f associé à λ ?

Quand x ≠ 0_E et f(x) = λx.

Quel lien existe entre une droite vectorielle stable et un vecteur propre ?

Pour e ≠ 0_E, la droite vect(e) est stable par f si et seulement si e est un vecteur propre de f.

Comment vérifier la stabilité d’un sous-espace F = vect(e₁,…,eₖ) ?

Il suffit de vérifier que f(eᵢ) ∈ F pour tout i ∈ {1,…,k}.

Quelle différence y a-t-il entre F stable par f et F globalement invariant par f ?

Stable signifie f(F) ⊂ F ; globalement invariant signifie f(F) = F.

Si deux endomorphismes u et v commutent, quels sous-espaces liés à u sont stables par v ?

Si u ∘ v = v ∘ u, alors ker(u) et Im(u) sont stables par v.

Quelles sont les tailles des blocs dans M = ((A, C), (B, D)) ?

Si M a n₁+n₂ lignes et p₁+p₂ colonnes, alors A est n₁×p₁, C est n₁×p₂, B est n₂×p₁ et D est n₂×p₂.

Quand une matrice carrée est-elle triangulaire par blocs ?

Lorsqu’elle s’écrit par blocs sous la forme ((A, B), (0, C)), où A et C sont carrées.

Quel lien existe entre la stabilité de F = vect(e₁,…,eₙ₁) et la matrice de f dans la base (e₁,…,eₙ) ?

F est stable par f si et seulement si la matrice de f a la forme par blocs ((A, C), (0, D)). Le bloc A représente l’endomorphisme induit sur F.

Comment calculer le produit de deux matrices par blocs ?

((A, C), (B, D)) × ((A′, C′), (B′, D′)) = ((AA′+CB′, AC′+CD′), (BA′+DB′, BC′+DD′)), lorsque les produits sont définis.

Que peut-on dire du produit de deux matrices triangulaires par blocs de même forme ?

Il est triangulaire par blocs.

Que peut-on dire du produit de deux matrices diagonales par blocs ?

Il est diagonal par blocs.

Quel est l’inverse d’une matrice diagonale par blocs P = ((P₁, 0), (0, P₂)) si P₁ et P₂ sont inversibles ?

P⁻¹ = ((P₁⁻¹, 0), (0, P₂⁻¹)).

Quel est le déterminant d’une matrice triangulaire par blocs M = ((A, C), (0, D)) ?

det(M) = det(A) det(D).

Comment est définie la matrice de Vandermonde associée à (a₀,…,aₙ) ?

C’est la matrice carrée de taille n+1 dont l’entrée de ligne i+1 et de colonne j+1 vaut aⱼⁱ, pour 0 ≤ i,j ≤ n. Ses colonnes sont (1,aⱼ,…,aⱼⁿ).

Quand le déterminant de Vandermonde est-il nul ?

Si et seulement si deux scalaires de la famille (a₀,…,aₙ) sont égaux.

Quelle est la formule du déterminant de Vandermonde avec les colonnes (1,aⱼ,…,aⱼⁿ) ?

V(a₀,…,aₙ) = ∏₀≤ᵢ<ⱼ≤ₙ (aⱼ − aᵢ).