Mathématiques 1 - UE 3 : Calcul vectoriel et Géométrie analytique dans l'espace

Flashcards de vocabulaire couvrant les notions fondamentales du calcul vectoriel (géométrique et algébrique) ainsi que la géométrie analytique dans l'espace (droites, plans, distances et angles).

Scalaire

Grandeur physique ou mathématique représentée par un nombre réel.

Vecteur géométrique

Objet de l'espace géométrique $\bar{R}^2$ ou $\bar{R}^3$ caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme), et représenté par un segment de droite orienté.

Vecteur algébrique

Groupement ordonné de $n$ nombres réels $(x_1, \bar{\text{...}}, x_n)$ appartenant à $\bar{R}^n$, où les $x_i$ sont appelés les composantes du vecteur.

Vecteur nul

D'un point de vue géométrique, tout vecteur de longueur nulle noté $\bar{AA}$. D'un point de vue algébrique, le vecteur $\bar{0} = (0, \bar{\text{...}}, 0)$ dont toutes les composantes sont nulles.

Égalité de vecteurs

Géométriquement, deux vecteurs $\bar{AB}$ et $\bar{CD}$ sont égaux si $ABDC$ est un parallélogramme. Algébriquement, deux vecteurs de $\bar{R}^n$ sont égaux si leurs composantes correspondantes sont toutes égales.

Opposé d'un vecteur

Pour un vecteur géométrique $\bar{v} = \bar{AB}$, son opposé est le vecteur $-\bar{v} = \bar{BA}$. Algébriquement, pour $\bar{x} = (x_1, \bar{\text{...}}, x_n)$, son opposé est $-\bar{x} = (-x_1, \bar{\text{...}}, -x_n)$.

Relation de Chasles

Propriété de l'addition géométrique vectorielle stipulant que pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a $\bar{AB} + \bar{BC} = \bar{AC}$.

Multiplication d'un vecteur par un scalaire

Opération associant à un vecteur $\bar{v} = \bar{AB}$ et un scalaire \bar{\text{\textlambda}} \bar{\text{\textin}} \bar{R} le vecteur \bar{\text{\textlambda}} \bar{v} = \bar{AC}, de longueur |\bar{\text{\textlambda}}| \bar{\text{\texttimes}} |AB|, parallèle à $\bar{v}$, de même sens si \bar{\text{\textlambda}} > 0 et de sens opposé si \bar{\text{\textlambda}} < 0.

Produit scalaire (géométrique)

Nombre réel associant deux vecteurs $\bar{v} = \bar{AB}$ et $\bar{w} = \bar{AC}$ défini par \bar{v} \bar{\text{\textcdot}} \bar{w} = |AB| \bar{\text{\texttimes}} |AC| \bar{\text{\texttimes}} \bar{\text{\textcos}}(\bar{v}, \bar{w}), où $(\bar{v}, \bar{w})$ désigne le plus petit angle formé par les demi-droites $[AB$ et $[AC$.

Produit scalaire (algébrique)

Nombre réel égal à la somme des produits des composantes correspondantes de deux vecteurs $\bar{x} = (x_1, \bar{\text{...}}, x_n)$ et $\bar{y} = (y_1, \bar{\text{...}}, y_n)$ de $\bar{R}^n$, soit \bar{x} \bar{\text{\textcdot}} \bar{y} = \bar{\text{\textsum}}_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \bar{\text{...}} + x_n y_n.

Norme d'un vecteur

Réel positif mesurant la longueur d'un vecteur $\bar{x}$, défini par \bar{\text{\textVert}}\bar{x}\bar{\text{\textVert}} = \bar{\text{\textsqrt}}{\bar{x} \bar{\text{\textcdot}} \bar{x}}. En composantes dans $\bar{R}^n$, \bar{\text{\textVert}}\bar{x}\bar{\text{\textVert}} = \bar{\text{\textsqrt}}{x_1^2 + \bar{\text{...}} + x_n^2}.

Inégalité de Schwarz

Propriété reliant le produit scalaire de deux vecteurs à leurs normes : |\bar{x} \bar{\text{\textcdot}} \bar{y}| \bar{\text{\textle}} \bar{\text{\textVert}}\bar{x}\bar{\text{\textVert}} \bar{\text{\texttimes}} \bar{\text{\textVert}}\bar{y}\bar{\text{\textVert}}.

Inégalité de Minkowski

Inégalité triangulaire appliquée aux normes vectorielles : \bar{\text{\textVert}}\bar{x} + \bar{y}\bar{\text{\textVert}} \bar{\text{\textle}} \bar{\text{\textVert}}\bar{x}\bar{\text{\textVert}} + \bar{\text{\textVert}}\bar{y}\bar{\text{\textVert}}.

Vecteur unitaire (ou normé)

Vecteur dont la norme est égale à $1$, c'est-à-dire \bar{\text{\textVert}}\bar{x}\bar{\text{\textVert}} = 1. Normer un vecteur non nul $\bar{x}$ consiste à calculer \bar{\text{\textfrac}}{\bar{x}}{\bar{\text{\textVert}}\bar{x}\bar{\text{\textVert}}}.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $\bar{x}$ et $\bar{y}$ sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire \bar{x} \bar{\text{\textcdot}} \bar{y} = 0.

Projection orthogonale vectorielle

Vecteur projection $\bar{v}'$ d'un vecteur $\bar{v}$ sur une droite dirigée par un vecteur unitaire $\bar{e}$, donné par \bar{v}' = (\bar{v} \bar{\text{\textcdot}} \bar{e}) \bar{e}. Le scalaire \bar{v} \bar{\text{\textcdot}} \bar{e} est la projection orthogonale scalaire.

Repère orthonormé

Repère $(O, \bar{e}_x, \bar{e}_y, \bar{e}_z)$ de l'espace dont les trois axes sont orthogonaux deux à deux et dont les vecteurs directeurs sont normés (\bar{\text{\textVert}}\bar{e}_x\bar{\text{\textVert}} = \bar{\text{\textVert}}\bar{e}_y\bar{\text{\textVert}} = \bar{\text{\textVert}}\bar{e}_z\bar{\text{\textVert}} = 1).

Repère droit et repère gauche

Classification de l'orientation trièdre d'un repère de l'espace. Un repère est droit (dextorsum) s'il suit la règle de la main droite (ou de la vis), sinon il est dit gauche.

Produit vectoriel

Opération entre deux vecteurs $\bar{a} = (a_1, a_2, a_3)$ et $\bar{b} = (b_1, b_2, b_3)$ de $\bar{R}^3$ produisant un vecteur \bar{a} \bar{\text{\textwedge}} \bar{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1) orthogonal à la fois à $\bar{a}$ et $\bar{b}$.

Aire d'un parallélogramme (via produit vectoriel)

Mesure de la surface du parallélogramme construit sur deux vecteurs non nuls $\bar{a}$ et $\bar{b}$, égale à la norme de leur produit vectoriel : \bar{\text{\textVert}}\bar{a} \bar{\text{\textwedge}} \bar{b}\bar{\text{\textVert}} = \bar{\text{\textVert}}\bar{a}\bar{\text{\textVert}} \bar{\text{\texttimes}} \bar{\text{\textVert}}\bar{b}\bar{\text{\textVert}} \bar{\text{\texttimes}} \bar{\text{\textsin}}(\bar{\text{\texttheta}}), où \bar{\text{\texttheta}} = (\bar{a}, \bar{b}).

Produit mixte

Nombre réel associant trois vecteurs $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ de $\bar{R}^3$, défini par (\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}) = (\bar{a} \bar{\text{\textwedge}} \bar{b}) \bar{\text{\textcdot}} \bar{c}, correspondant au déterminant de la matrice formée par leurs composantes.

Volume d'un parallélépipède (via produit mixte)

Valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$, égale à $|(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})|$, représentant le volume du parallélépipède construit sur ces vecteurs.

Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ sont dits coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul, c'est-à-dire $(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}) = 0$.

Vecteur directeur d'une droite

Tout vecteur non nul $\bar{v}$ dont la direction est parallèle à la droite $d$.

Équations paramétriques d'une droite dans l'espace

Système d'équations décrivant une droite $d$ passant par $A(a_1, a_2, a_3)$ et dirigée par $\bar{v} = (v_1, v_2, v_3)$ : x = a_1 + \bar{\text{\textlambda}} v_1, y = a_2 + \bar{\text{\textlambda}} v_2, z = a_3 + \bar{\text{\textlambda}} v_3 avec \bar{\text{\textlambda}} \bar{\text{\textin}} \bar{R}.

Équations cartésiennes canoniques d'une droite

Équations de la droite $d(A, \bar{v})$ lorsque v_1, v_2, v_3 \bar{\text{\textneq}} 0, données par \bar{\text{\textfrac}}{x - a_1}{v_1} = \bar{\text{\textfrac}}{y - a_2}{v_2} = \bar{\text{\textfrac}}{z - a_3}{v_3}.

Droites gauches

Deux droites $d(A, \bar{v})$ et $d'(A', \bar{v}')$ de l'espace qui ne sont ni parallèles ni sécantes (non coplanaires), vérifiant (\bar{AA}', \bar{v}, \bar{v}') \bar{\text{\textneq}} 0.

Distance d'un point à une droite dans l'espace

Longueur du segment $[PQ]$, où $Q$ est la projection orthogonale du point $P$ sur la droite $d(A, \bar{v})$, calculée par \bar{\text{\texttext}}{dist}(P, d) = \bar{\text{\textfrac}}{\bar{\text{\textVert}}\bar{PA} \bar{\text{\textwedge}} \bar{v}\bar{\text{\textVert}}}{\bar{\text{\textVert}}\bar{v}\bar{\text{\textVert}}}.

Distance entre deux droites gauches

Longueur de la perpendiculaire commune reliant deux droites gauches $d(A, \bar{v})$ et $d'(A', \bar{v}')$, donnée par \bar{\text{\texttext}}{dist}(d, d') = \bar{\text{\textfrac}}{|(\bar{AA}', \bar{v}, \bar{v}')|}{\bar{\text{\textVert}}\bar{v} \bar{\text{\textwedge}} \bar{v}'\bar{\text{\textVert}}}.

Vecteur normal d'un plan

Tout vecteur non nul $\bar{n}$ dont la direction est orthogonale au plan \bar{\text{\textpi}}.

Équation cartésienne d'un plan

Équation algébrique de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec (a, b, c) \bar{\text{\textneq}} (0, 0, 0), où le vecteur $\bar{n} = (a, b, c)$ est un vecteur normal au plan.

Faisceau de plans

Ensemble de tous les plans contenant la droite d'intersection de deux plans sécants \bar{\text{\textpi}} \bar{\text{\textequiv}} ax+by+cz+d=0 et \bar{\text{\textpi}}' \bar{\text{\textequiv}} a'x+b'y+c'z+d'=0, exprimé par \bar{\text{\textlambda}} (ax+by+cz+d) + \bar{\text{\textlambda}}' (a'x+b'y+c'z+d') = 0 avec (\bar{\text{\textlambda}}, \bar{\text{\textlambda}}') \bar{\text{\textneq}} (0, 0).

Distance d'un point à un plan

Longueur du segment perpendiculaire abaissé du point $P(x_0, y_0, z_0)$ sur le plan \bar{\text{\textpi}} \bar{\text{\textequiv}} ax+by+cz+d=0, égale à \bar{\text{\texttext}}{dist}(P, \bar{\text{\textpi}}) = \bar{\text{\textfrac}}{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\bar{\text{\textsqrt}}{a^2 + b^2 + c^2}}.

Angle entre deux plans

Le plus petit des angles \bar{\text{\texttheta}} formés par les vecteurs normaux $\bar{n}$ et $\bar{n}'$ des plans \bar{\text{\textpi}} et \bar{\text{\textpi}}', défini par \bar{\text{\textcos}}(\bar{\text{\texttheta}}) = \bar{\text{\textfrac}}{|\bar{n} \bar{\text{\textcdot}} \bar{n}'|}{\bar{\text{\textVert}}\bar{n}\bar{\text{\textVert}} \bar{\text{\texttimes}} \bar{\text{\textVert}}\bar{n}'\bar{\text{\textVert}}}.

Angle entre une droite et un plan

Le plus petit des angles \bar{\text{\texttheta}} formés par la droite $d(B, \bar{v})$ et sa projection orthogonale sur le plan \bar{\text{\textpi}}(A, \bar{n}), vérifiant \bar{\text{\textsin}}(\bar{\text{\texttheta}}) = \bar{\text{\textfrac}}{|\bar{v} \bar{\text{\textcdot}} \bar{n}|}{\bar{\text{\textVert}}\bar{v}\bar{\text{\textVert}} \bar{\text{\texttimes}} \bar{\text{\textVert}}\bar{n}\bar{\text{\textVert}}}.