Réduction des endomorphismes et Intégration sur un segment

Flashcards de vocabulaire mathématique basées sur les cours de réduction des endomorphismes et d'intégration sur un segment.

Valeur propre d'un endomorphisme

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$. Scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ pour lequel il existe un vecteur non nul $x \in E$ tel que $u(x) = \lambda x$.

Vecteur propre d'un endomorphisme

Vecteur non nul $x \in E$ associé à une valeur propre $\lambda \in \mathbb{K}$ d'un endomorphisme $u$ tel que $u(x) = \lambda x$.

Spectre d'un endomorphisme

Ensemble de toutes les valeurs propres d'un endomorphisme $u$, noté $\text{Sp}(u)$.

Sous-espace propre

Pour un endomorphisme $u$ et une valeur propre $\lambda$, sous-espace vectoriel noté $E_\lambda(u) = \text{Ker}(u - \lambda \text{id}_E) = \{x \in E \mid u(x) = \lambda x\}$.

Polynôme caractéristique d'un endomorphisme

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie, unique polynôme noté $\chi_u$ tel que $\chi_u(\lambda) = \det(\lambda \text{id}_E - u)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$.

Polynôme caractéristique d'une matrice

Pour $A \in M_n(\mathbb{K})$, unique polynôme noté $\chi_A$ vérifiant $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$.

Ordre de multiplicité d'une valeur propre

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ et $\lambda \in \text{Sp}(u)$, ordre de multiplicité de $\lambda$ en tant que racine du polynôme caractéristique $\chi_u$, noté $m_\lambda$.

Matrice compagnon

Pour $(a_0, \dots, a_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$, matrice $A \in M_n(\mathbb{C})$ de taille $n$ avec des $1$ sur la sous-diagonale, $-a_0, \dots, -a_{n-1}$ dans la dernière colonne, et $0$ ailleurs.

Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème affirmant que le polynôme caractéristique d'un endomorphisme $u$ (ou d'une matrice $A$) annule cet endomorphisme (ou cette matrice), soit $\chi_u(u) = 0$ et $\chi_A(A) = 0$.

Endomorphisme diagonalisable

Endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ où $E$ est de dimension finie s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale.

Matrice diagonalisable

Matrice $A \in M_n(\mathbb{K})$ semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire s'il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A = P^{-1} D P$.

Endomorphisme trigonalisable

Endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ en dimension finie s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.

Théorème de séparation

Théorème selon lequel pour $f$ continue et positive sur $[a,b]$, $f$ est nulle sur $[a,b]$ si et seulement si $\int_a^b f = 0$.

Valeur moyenne d'une fonction

Nombre réel défini par $\frac{1}{b-a} \int_a^b f$, représentant la largeur d'un rectangle dont l'aire égale celle donnée par l'intégrale de $f$ sur la longueur $b-a$.

Théorème fondamental de l'analyse

Soient $I$ un intervalle, $f \in \mathcal{C}(I, \mathbb{R})$ et $a \in I$. La fonction $F: x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$.

Subdivision d'un segment

Famille finie $\sigma = (x_i)_{0 \le i \le n}$ de $[a,b]$ ordonnée telle que $a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$.

Subdivision régulière

Subdivision $\sigma = (x_i)_{0 \le i \le n}$ de $[a,b]$ pour laquelle les différences $x_{i+1} - x_i$ sont constantes pour tout $i \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$.

Pas d'une subdivision régulière

Valeur constante $x_{i+1} - x_i = \frac{b-a}{n}$ pour tout $i \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$ dans une subdivision régulière de $[a,b]$.

Subdivision plus fine

Relation entre deux subdivisions $\sigma$ et $\sigma'$ de $[a,b]$ signifiant que $\sigma \subset \sigma'$, c'est-à-dire que tous les points de $\sigma$ appartiennent à $\sigma'$.

Somme de Riemann à gauche

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x_k = a + k \frac{b-a}{n}$, la somme $S_n(f) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)$.

Somme de Riemann à droite

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x_k = a + k \frac{b-a}{n}$, la somme $S_n^*(f) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k)$.

Intégrale de Wallis

Intégrale définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $W_n = \int_0^{\pi/2} (\sin(t))^n\,dt$.

Fonction continue par morceaux

Fonction $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ pour laquelle il existe une subdivision subordonnée $\sigma = (x_i)_{0 \le i \le n}$ telle que $f_{|]x_i, x_{i+1}[}$ soit continue avec des limites finies en $x_i^+$ et $x_{i+1}^-$.