Analyse S1 - Fonctions réelles : Notions de base, Limites, Comparaisons et Continuité

Fiches de vocabulaire couvrant les notions fondamentales de l'analyse réelle : ensembles de définition, graphes, parité, monotonie, limites, relations de comparaison, continuité, TVI et bijections.

Fonction numérique d'une variable réelle

Application $f : D_f \rightarrow \mathbb{R},\, x \mapsto f(x)$, où $D_f$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$, qui associe à chaque élément $x \in D_f$ une unique image $f(x)$.

Domaine naturel de définition

Ensemble des nombres réels pour lesquels l'expression algébrique d'une fonction a un sens mathématique.

Graphe d'une fonction

Ensemble des couples $(x, f(x))$ pour $x \in A$, dont la représentation dans un plan muni d'un repère constitue la courbe représentative notée $C_f$.

Graphe d'une fonction réciproque

Courbe représentative de $f^{-1}$ obtenue par symétrie axiale de la courbe $C_f$ par rapport à la première bissectrice d'équation $y = x$.

Fonction composée ($g \circ f$)

Application définie de $A$ dans $\mathbb{R}$ par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ pour tout $x \in A$, sous la condition que $f(A) \subset B$.

Fonction paire

Fonction définie sur un domaine $A$ symétrique par rapport à $0$ vérifiant $\forall x \in A,\, f(-x) = f(x)$, dont le graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction impaire

Fonction définie sur un domaine $A$ symétrique par rapport à $0$ vérifiant $\forall x \in A,\, f(-x) = -f(x)$, dont le graphe est symétrique par rapport à l'origine.

Fonction $T$-périodique

Fonction définie sur $A$ vérifiant $A + T = A$ et $\forall x \in A,\, f(x + T) = f(x)$, pour une constante strictement positive $T > 0$.

Fonction croissante

Fonction $f$ sur un ensemble $A$ telle que pour tout $(x, y) \in A^2$, $x \le y \implies f(x) \le f(y)$.

Fonction strictement décroissante

Fonction $f$ sur un ensemble $A$ telle que pour tout $(x, y) \in A^2$, $x < y \implies f(x) > f(y)$.

Fonction bornée

Fonction $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ pour laquelle il existe un réel $M \ge 0$ tel que $\forall x \in A,\, |f(x)| \le M$, c'est-à-dire qu'elle est à la fois majorée et minorée.

Borne supérieure d'une fonction ($\sup_{A} f$)

Borne supérieure de l'ensemble des images $f(A)$ dans $\mathbb{R}$, définie lorsque la fonction $f$ est majorée sur $A$.

Limite finie en un point ($\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$)

Propriété exprimée par : $\forall \varepsilon > 0,\, \exists \eta > 0,\, \forall x \in D_f,\, 0 < |x - x_0| < \eta \implies |f(x) - l| < \varepsilon$, où $x_0$ est un point d'accumulation de $D_f$.

Limite infinie en un point ($\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = +\infty$)

Propriété formelle s'écrivant : $\forall A > 0,\, \exists \eta > 0,\, \forall x \in D_f,\, 0 < |x - x_0| < \eta \implies f(x) > A$.

Proposition du contrôle de l'erreur

Résultat stipulant que si $|f(x) - l| \le g(x)$ au voisinage pointé de $a$ avec $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$, alors $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$.

Théorème des gendarmes

Théorème assurant que si $f \le h \le g$ au voisinage d'un point $a$ et si $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = l \in \mathbb{R}$, alors $\lim_{x \rightarrow a} h(x) = l$.

Caractérisation séquentielle de la limite

Énoncé selon lequel $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ à valeurs dans $D_f \setminus \{a\}$ convergeant vers $a$, la suite image $(f(u_n))$ converge vers $l$.

Négligeabilité ($f = o(g)$ au voisinage de $a$)

Relation indiquant qu'il existe une fonction $\varepsilon$ telle que $f(x) = \varepsilon(x)g(x)$ au voisinage pointé de $a$, avec $\lim_{x \rightarrow a} \varepsilon(x) = 0$.

Équivalence de fonctions ($f \sim g$ au voisinage de $a$)

Relation signifiant qu'il existe une fonction $\varepsilon$ telle que $f(x) = (1 + \varepsilon(x))g(x)$ au voisinage pointé de $a$, avec $\lim_{x \rightarrow a} \varepsilon(x) = 0$.

Continuité en un point

Propriété d'une fonction $f$ définie en $x_0$ vérifiant $\forall \varepsilon > 0,\, \exists \eta > 0,\, \forall x \in D_f,\, |x - x_0| < \eta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$, équivalant à $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$.

Prolongement par continuité

Nouvelle fonction $\tilde{f}$ définie en un point singulier $x_0$ où $f$ n'était pas définie en posant $\tilde{f}(x_0) = l$, dès lors que $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l \in \mathbb{R}$.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème affirmant que pour toute fonction $f$ continue sur un intervalle fermé $[a, b]$, toute valeur $m$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ admet au moins un antécédent $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = m$.

Méthode de dichotomie

Procédé algorithmique qui encadre une solution de $f(x) = 0$ sur $[a, b]$ en calculant le milieu et en réduisant à chaque étape la taille de l'intervalle d'un facteur $2$, avec une erreur d'au plus $\frac{b - a}{2^{n+1}}$.

Théorème des bornes atteintes (sur un segment)

Résultat établissant que toute fonction continue sur un segment fermé et borné $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes, de sorte que $f([a, b]) = [m, M]$.

Théorème de la bijection

Théorème affirmant que si une fonction $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$, et sa réciproque $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J$ de même sens.