Cours de Rhéologie des Fluides Complexes

Flashcards de révision basées sur le cours magistral de rhéologie des fluides complexes, couvrant les définitions, lois de comportement, modèles viscoélastiques, rhéométrie et écoulements en conduites.

Qui a introduit le terme « rhéologie » et en quelle année ?

Le terme a été créé aux États-Unis en $1928$ par Eugène Cook Bingham ($1878$-$1945$).

Quelle est la définition générale de la rhéologie ?

C'est la science, située à la frontière entre la physique, la mécanique des fluides et la mécanique des solides, qui étudie l'écoulement et les déformations de la matière sous l'action des contraintes appliquées compte tenu du temps.

Quel est l'objectif principal de la rhéologie ?

Déterminer l'équation d'état rhéologique du fluide en réalisant des mesures relatives de forces et de déplacements, puis en exploitant ces résultats à l'aide des équations de mouvement.

Comment s'écrit la relation de Newton pour un écoulement unidirectionnel et quelle est la signification de chaque terme ?

$\tau = -\mu \cdot \left(\frac{du}{dy}\right)$ où $\tau$ est la contrainte de cisaillement, $\mu$ la viscosité dynamique du milieu et $\frac{du}{dy}$ le gradient de vitesse selon la normale $y$.

Comment est définie la contrainte de cisaillement $\tau$ et quelle est son unité dans le Système International ?

Elle est définie par $\tau = \frac{F}{S}$, représentant la force exercée par unité de surface, et s'exprime en Pascals ($\text{Pa}$) ou $\text{N}\cdot\text{m}^{-2}$.

Qu'est-ce que le gradient de vitesse (taux de cisaillement) $\dot{\gamma}$ et quelle est son unité ?

Il traduit l'évolution de la vitesse au sein du fluide : $\dot{\gamma} = \frac{dV}{dz}$, et son unité est la seconde inverse ($\text{s}^{-1}$).

Quelle est la relation définissant la viscosité cinématique $\nu$ ainsi que son équivalence usuelle en stokes ?

$\nu = \frac{\mu}{\rho}$ (où $\rho$ est la masse volumique en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$), d'unité SI le $\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}$. L'unité usuelle est le stokes ($1\,\text{stokes} = 10^{-4}\,\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}$).

Comment définit-on le Degré Engler ($^{\circ}\text{E}$) d'un fluide ?

C'est le rapport sans dimension : $\frac{\nu}{\nu_{\text{eau}}} = \frac{t}{t_{\text{eau}}}$, correspondant au temps d'écoulement de $200\,\text{cm}^3$ du liquide rapporté à celui de $200\,\text{cm}^3$ d'eau ($51\,\text{s}$) dans un viscosimètre Engler.

Comment varie la viscosité dynamique $\mu$ en fonction de la température pour les gaz et pour les liquides ?

Pour les gaz, $\mu$ augmente légèrement avec la température. Pour les liquides, $\mu$ diminue fortement quand la température s'élève (selon une loi exponentielle décroissante).

Quelle est l'équation de la loi de puissance d'Ostwald-de Waele pour un fluide rhéofluidifiant (pseudoplastique) ?

$\tau = K \dot{\gamma}^n$ avec un indice de comportement $n < 1$, où $K$ désigne l'indice de consistance.

Comment est définie la viscosité apparente $\mu_a$ d'un fluide obéissant à la loi d'Ostwald-de Waele ?

$\mu_a = \frac{\tau}{\dot{\gamma}} = K \dot{\gamma}^{n-1}$. Pour un fluide rhéofluidifiant ($n < 1$), $\mu_a$ décroît lorsque $\dot{\gamma}$ augmente.

Quelle est la caractéristique principale d'un fluide rhéoépaississant (dilatant) selon la loi de puissance ?

Sa viscosité augmente avec le taux de cisaillement, caractérisée par un indice de comportement $n > 1$.

Quelle est l'expression de la viscosité apparente $\mu_a$ selon le modèle de Carreau ?

$\mu_a = \frac{\mu_0}{\left(1 + \lambda^2 \dot{\gamma}^2\right)^s}$, avec $s = \frac{n-1}{2}$, où $\mu_0$ est la viscosité à cisaillement nul et $\lambda$ un temps caractéristique.

Comment calcule-t-on l'indice d'écoulement $n$ à partir d'un rhéogramme tracé en coordonnées logarithmiques $\log(\tau) = f(\log(\dot{\gamma}))$ ?

Par la pente de la droite : $n = \frac{\log(\tau_2) - \log(\tau_1)}{\log(\dot{\gamma}_2) - \log(\dot{\gamma}_1)}$.

Quelle équation définit le comportement d'un fluide plastique de Bingham ?

$\tau = \tau_c + \mu_p \dot{\gamma}$ pour $\tau > \tau_c$, et $\dot{\gamma} = 0$ pour $\tau < \tau_c$, où $\tau_c$ est la contrainte seuil et $\mu_p$ la viscosité plastique.

Quelle est la loi rhéologique décrivant un fluide de Herschel-Bulkley ?

$\tau = \tau_c + K \dot{\gamma}^n$, combinant une contrainte seuil d'écoulement $\tau_c$ et une loi en puissance.

Quelle est la formulation de la loi rhéologique d'un fluide de Casson ?

$\sqrt{\tau} = \sqrt{\tau_c} + \sqrt{\mu_c}\sqrt{\dot{\gamma}}$.

Sur ce rhéogramme, à quels types de fluides correspondent les différentes courbes représentées ?

Avec contrainte seuil $\tau_0$ : Herschel-Bulkley et Bingham. Sans seuil (partant de l'origine) : Newtonien (droite linéaire), Pseudoplastique ($0 < n < 1$) et Dilatant ($1 < n < \infty$).

Quelle est la différence entre un fluide thixotrope et un fluide rhéopexe ?

À vitesse de cisaillement constante, la viscosité d'un fluide thixotrope diminue au cours du temps (phénomène réversible au repos), tandis que celle d'un fluide rhéopexe augmente avec le temps.

Quel modèle de comportement mécanique élémentaire est illustré par ce schéma et quelle est sa fonction de fluage ?

Le solide parfaitement élastique de Hooke, symbolisé par un ressort de complaisance élastique $J$, dont la fonction de fluage est $f(t) = J$ pour $t \ge 0$.

Quel comportement rhéologique est représenté par ce schéma mécanique et quelle est sa fonction de fluage associée ?

Le liquide visqueux newtonien, symbolisé par un amortisseur de viscosité $\eta$, dont la fonction de fluage linéaire est $f(t) = \frac{t}{\eta}$.

Quel modèle viscoélastique est constitué par cette association en parallèle d'un ressort et d'un amortisseur ?

Le solide viscoélastique de Kelvin-Voigt, dans lequel $\varepsilon = \varepsilon_1 = \varepsilon_2$ et $\tau = \tau_1 + \tau_2$.

Quel modèle viscoélastique est constitué par cette association en série d'un ressort et d'un amortisseur ?

Le liquide de Maxwell, pour lequel la contrainte est uniforme ($\tau = \tau_1 = \tau_2$) et la déformation totale est la somme des déformations ($\varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$).

Quelle est l'expression de la fonction de fluage $f(t)$ pour un liquide de Maxwell ?

$f(t) = J + \frac{t}{\eta}$, traduisant une élasticité instantanée d'amplitude $J$ à $t = 0$, suivie d'un écoulement visqueux linéaire de pente $\frac{1}{\eta}$.

Quel est le profil de vitesse $u(r)$ lors d'un écoulement laminaire de Poiseuille dans une conduite cylindrique de rayon $R$ ?

$u(r) = \frac{1}{4\mu} \left(-\frac{dp}{dx}\right) (R^2 - r^2) = u_{\text{max}} \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right)$, représentant un paraboloïde de révolution.

Quelle relation lie la vitesse maximale $u_{\text{max}}$ et la vitesse moyenne $u_{\text{moy}}$ en régime laminaire dans un tube cylindrique ?

$u_{\text{max}} = 2 u_{\text{moy}}$. La vitesse maximale au centre est exactement le double de la vitesse débitante.

Quelle est la formule de Hagen-Poiseuille pour le calcul du débit volumique $q_v$ dans une conduite cylindrique ?

$q_v = \frac{\pi R^4}{8\mu L} \Delta P_m = \frac{\pi D^4}{128\mu L} \Delta P_m$, où $\Delta P_m$ est la différence de pression motrice.

Dans un viscosimètre à chute de bille, comment s'exprime la viscosité dynamique $\mu$ à la vitesse limite $V_{\text{lim}}$ ?

$\mu = \frac{2 R^2 g}{9 V_{\text{lim}}} (\rho_s - \rho) = \frac{1}{18} \frac{D^2 g}{V_{\text{lim}}} (\rho_s - \rho)$, où $\rho_s$ est la masse volumique de la bille et $\rho$ celle du liquide.

Dans un rhéomètre à cylindres coaxiaux de Couette, comment calcule-t-on la contrainte de cisaillement $\tau$ à la surface du cylindre intérieur de rayon $R_1$ et hauteur $H$ ?

$\tau = \frac{M}{2\pi R_1^2 H}$, où $M$ est le moment du couple appliqué.

Dans un rhéomètre cône-plan à très faible angle $\psi$, quelle est l'expression de la vitesse de cisaillement $\dot{\gamma}$ ?

$\dot{\gamma} = \frac{2\pi N}{\psi}$, où $N$ est la vitesse de rotation en tours par seconde.

Comment se décompose le profil des vitesses d'un fluide de Bingham s'écoulant dans une conduite cylindrique de rayon $R$ ?

Il comporte une zone centrale ($r \le r_c$) animée d'un déplacement en masse solide à vitesse constante $u_0$, entourée d'une zone annulaire ($r_c < r < R$) où le profil de vitesse est parabolique.

Comment sont définies la viscosité relative $\mu_R$ et la viscosité spécifique $\mu_{sp}$ d'une solution ?

$\mu_R = \frac{\mu}{\mu_{\text{solvant}}}$ et $\mu_{sp} = \frac{\mu - \mu_{\text{solvant}}}{\mu_{\text{solvant}}} = \mu_R - 1$.

Quelle relation relie la viscosité intrinsèque $[\mu_{\text{Red}}]$ à la masse molaire moyenne selon la loi de Mark-Houwink ?

$[\mu_{\text{Red}}] = K M^\alpha$, où $K$ et $\alpha$ sont des constantes spécifiques au couple polymère/solvant.