Kisterv zh1

Kísérlet tervezés 1. zh alapfogalmak

Változók (mérési skálák) 4 típusa

Névleges: eredendően nem szám (pl. nő-férfi), még ha kódszámot is adunk az egyes szinteknek, sorrendjük nem értelmezhető

Sorrendi: eredendően nem szám, sorrendnek viszont van értelme, de az egyes szintek közti különbségnek nincs (pl. főhadnagy, hadnagy, százados)

Intervallum: eredendően szám, sorrendnek és különbségnek is van értelme de hányadosnak nincs (pl. hőmérséklet °C-ban)

Arányos: eredendően szám, sorrendnek, különbségnek és hányadosnak is van értelme (pl. hőmérséklet K-ben, tömeg)

Névleges+sorrendi = minőségi; intervallum+arányos = mennyiségi

Hisztogram

Úgy kapjuk meg, hogy a mintavétel során kapott értékeket derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk, az abszcisszán a valószínűségi változót osztályokba soroljuk. Az intervallumok fölé téglalapot rajzolunk úgy, hogy a téglalapok területe az intervallumokbeli előfordulások relatív gyakoriságával legyen arányos

Box-plot

Mintabeli adatokat ábrázoljuk úgy, hogy a vízszintes vonalak a szélső értékekig tartanak (ha nincs kiugró érték), a doboz alsó vonala az alsó kvartilis, felső vonala a felső kvartilis, dobozban lévő négyzet a tapasztalati medián.

Alsó kvartilis: adatok 25%-a van közte és a minimális érték között

Felső kvartilis: adatok 25%-a van közte és a maximális érték között

Tapasztalati medián: ennél kisebb és nagyobb értéket egyforma gyakorisággal vesz fel a változó

Sokaság és minta

Sokaság: lehetséges mérési eredmények, véges vagy végtelen halmaz, pl. szennyezett vízminta nitrát-koncentrációja

Minta: kapott mérési eredmények, a sokaság egy része, ezt vizsgáljuk

Valószínűségi változó

Olyan mennyiségek, melyeknek értéke nem állandó, hanem esetről esetre más és más lehet, azonban meghatározható, hogy mekkora valószínűséggel esnek adott határok közé.

Folytonos valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvénye

Sűrűségfüggvény: a mintavétel során kapott értékeket derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk, az abszcisszán a valószínűségi változót osztályokba soroljuk. Az intervallumok fölé téglalapot rajzolunk úgy, hogy a téglalapok területe az intervallumokbeli előfordulások relatív gyakoriságával legyen arányos. Ha egyre több mérést végzünk, és finomítjuk az osztályszélességet, f(x) valószínűség-sűrűségfüggvényt kapjuk.

Eloszlásfüggvény: a sűrűségfüggvény integrálja, F(x_i)=_-∞∫^x_i f(x) dx

Paraméter és statisztika

A sűrűség- ill. eloszlásfüggvény konstansai és ezek származékai. A paraméterek (pl. várható érték, variancia) a sokaság tulajdonságai, ennek analogonjai a statisztikák (pl. számtani átlag, szórásnégyzet), amelyek a minta jellemzői

Várható érték

Folyt. val-i változóra: E(x)=_-∞∫^∞ xf(x) dx = µ ahol f(x) a sűrűségfv.

Diszkrét val-i változóra: E(x)=_iΣx_ip(x_i)

Variancia

x folytonos val. vál-ra: Var(x) = _-∞∫^∞ [x-E(x)]² f(x) dx = E[(x-µ)²] = σ²

x diszkrét val. vál-ra: Var(x) = Σ [x_i-E(x)]² p(x_i) = E[(x-µ)²]

Azaz a várható értéktől való eltérés négyzetének várható értéke

Független ismétlés/mérés

Olyan mérés, amelynek eredménye semmilyen módon nem befolyásolja a következő mérés eredményét.

Véletlen és rendszeres hiba

Hiba: a valódi érték és a mért érték közti különbség

Véletlen hiba: Értéke nem határozható meg, minden mérésnél más nagysággal és más irányba tolja el az eredményt

Rendszeres hiba: Értéke meghatározható, minden mérésnél ugyanakkora nagysággal, ugyanabba az irányba tolja el az eredményt

Normális eloszlás

Sok, egymástól független, egyenként kis hatású véletlen hatás eredőjeként adódik. Ezért a közvetlenül mért, véletlenszerű ingadozásokat mutató adatok jó közelítéssel normális eloszlásúak. E(x)=µ ; Var(x)=σ²

z-eloszlás

A normalizált normális eloszlás, melyre E(z)=0 és Var(z)=1 → z~N(0,1)

t-eloszlás

Olyan eloszlás, melynek egy paramétere van: v, ami a szórás szabadsági foka (n-1)

t=[ξ-E(ξ)]/s_ξ ahol ξ egy normális eloszlású val-i vál

E(t)=0

Mikor használunk z- és mikor t-eloszlást?

t-t akkor, ha z nem alkalmazható: minta elemszáma túl kicsi, nincs bőséges előzetes adathalmazunk a σ² variancia becslésére

Khi-négyzet eloszlás

χ²=Σz_i² ahol z=(x-µ)/σ normalizált normális eloszlási valvál

F-eloszlás

F=(χ_₁²/ν₁)/(χ_₂²/ν₂) ahol χ_₁² és χ_₂² két, egymástól független χ² eloszlású valvál ν₁, ill. ν₂ szabadsági fokkal. Mivel χ²/ν=s²/σ², ha σ₁²=σ₂² akkor F=s₁²/s₂²

Azaz azonos varanciájú normális eloszlású sokaságokból vett minták tapasztalati szórásnégyzeteinek hányadosa F-eloszlású

Centrális határeloszlás tétele és jelentősége a mérések megtervezésénél

Bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértéke közelítőleg normális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, varianciája pedig σ²/n, ahol σ² az eredeti eloszlás varianciája. Tehát x̄~N(µ, σ²/n) z=(x̄-µ)/(σ/√n)

Jelentőség: lehetővé teszi a mérések pontosságának és megbízhatóságának kiszámítását anélkül, hogy ismernénk a mért adatok alapeloszlását

Fisher-Cochran tétel (+ mire használtuk?)

Ha egy χ eloszlású kifejezést algebrailag felbontunk négyzetes tagok összegére, akkor annak, hogy ezek a tagok is χ eloszlásúak és egymástól függetlenek legyenek szükséges és elégséges feltétele az, hogy szabadsági fokaik összege megegyezzen az eredeti kifejezés szabadsági fokával.

Ezt felhasználva: s²=χ²σ²/ν eloszlású v=n-1 szab. fokkal

Becslés

A sokaság tul-ára (paraméterére) következtetünk a minta adatai (jellemzői) alapján. A becslés a mintából kiszámított statisztika (pl. várható értékre becslés a mintaelemek számtani közepe). A becslés is valvál, eloszlása van.

Torzítatlan becslés

Egy becslés torzítatlan, ha a becslés (Θˆ) mint valvál Θ körül ingadozik, várható értéke Θ
E(Θˆ)=Θ

Hatásos becslés

Minél kisebb a becslés varianciája, annál hatásosabb (kis val-gel tér el Θ paraméter értékétől)

Közepes négyzetes hiba

E[(Θˆ-Θ)²] = Var(Θˆ) + torzítás² (MSE)

Konfidenciaintervallum

Egy olyan tartomány, amely bizonyos valószínűséggel magában foglalja a paraméter igazi értékét. Lehet kétoldali (P(L≤µ≤U)=1-α) vagy egyoldali (P(L≤µ)=1-α)

Hipotézisvizsgálat elve és menete

Az alapsokaságra vonatkozóan vmilyen feltevéssel élünk, és annak teljesülését a mérési adatokból számolt stat-i próbával ellenőrizzük

Menete: nullhipotézis felírása (H₀: µ=µ₀), ellenhipotézis megfogalmazása (H₁: µ≠µ₀), próbastatisztika aktuális értékének kiszámítása ( z₀=(x̄-µ₀)/(σ/√n) )

Nullhipotézis

Hipotézis során a sokaságra vonatkozó alap feltevésünk aminek teljesülését ellenőrizzük

Próbastatisztika

z₀=(x̄-µ₀)/(σ/√n) mintából kiszámítható valvál, eloszlása H₀ igazsága esetén ismert

Szignifikanciaszint

Egy statisztikai próbához tartozó α valószínűségi szint. Amennyiben a nullhipotézis egyenlőség-része igaz, a z₀ próbastatisztika α valószínűséggel haladja meg a z_α kritikus értéket.

p-érték

Az a valószínűség, amellyel a próbastatisztika a kapott vagy még szélsőségesebb értéket vesz fel, amennyiben H₀ igaz, vagyis csak a véletlen ingadozásnak tulajdoníthatóan

Elsőfajú hiba

Az, ha elvetjük a nullhipotézist, pedig igaz

Másodfajú hiba + mitől függ?

Ha elfogadjuk a nullhipotézist, pedig nem igaz. Valószínűsége függ az elsőfajú hiba valószínűségétől, a kimutatandó különbségtől (∆=µ₁-µ₀), a varianciától (σ²) és a minta elemszámától (n).

Statisztikai próba ereje

1-β ahol β a mésodfajú hiba elkövetésének valószínűsége

Kétoldali- és egyoldali próba

Kétoldali: a konfidenciaintervallumnak alsó és felső határa van

Egyoldali: a konfidenciaintervallumnak csak alsó, vagy csak felső határa van

Egymintás próbák: z-, egymintás t- és khi-négyzet-próba

z-próba: olyan statisztikai próba, mely során a sokaság várható értékét vizsgáljuk, ha ismert a variancia.

egymintás t-próba: olyan statisztikai próba, melyet kis mintáknál alkalmazunk a várható érték vizsgálatára

egymintás khi-négyzet-próba: olyan statisztikai próba, mellyel a varianciát vizsgáljuk, feltétele, hogy a sokaság normális eloszlású legyen

Két minta összehasonlítására szolgáló próbák: kétmintás t-, páros t-és F-próba

Kétmintás t-próba: Olyan statisztikai próba, amely két független minta mögött álló sokaság várható értékének összehasonlítására szolgál

Páros t-próba: Olyan statisztikai próba, amely két összefüggő minta mögött álló sokaság várható értékének összehasonlítására szolgál

F-próba: Olyan statisztikai próba, amely két sokaság varianciájának összehasonlítására szolgál

Kísérleti elrendezések kétmintás t- és páros t-próba esetére

Kétmintás t-próba: Két csoportot különítünk el (melyeknek tagjai függetlenek egymástól). Csak a vizsgált független változó okoz eltérést a két csoport között, minden más változót kiegyenlítünk. A független változó hatására bekövetkező változást mérjük.

Páros t-próba: Egy csoport van, ezen a csoporton mérünk különböző körülmények között