Bulles, crises et EVT

Qu’est-ce que le taux de hasard h(t) d’un crash ?

La probabilité instantanée de crash conditionnellement au fait que le crash n’a pas encore eu lieu.

Quel mécanisme économique est représenté par le modèle d’Ising dans le cours ?

Le mimétisme entre traders et la synchronisation de leurs décisions.

Valeurs possibles de la position sᵢ dans le modèle d’Ising ?

sᵢ ∈ {−1, +1}.

Que mesure K dans le modèle d’Ising ?

La force de mimétisme local.

Que mesure la magnétisation M ?

L’état moyen des positions : M = (1 / N) × Σsᵢ.

Que mesure la susceptibilité χ ?

La sensibilité de la magnétisation moyenne à une petite influence globale.

Comportement de la susceptibilité près du point critique Kc ?

χ ≈ A × (Kc − K)⁻γ, donc elle peut devenir très grande.

Interprétation économique d’une grande susceptibilité ?

Une petite information commune peut déclencher une réaction collective massive.

Forme du hazard de crash près du temps critique ?

h(t) = B × (t critique − t)⁻ᵇ, avec b∈(0,1).

t critique est-il la date certaine du crash ?

Non. C’est un temps critique associé à un hazard croissant ; le crash reste aléatoire.

Quels deux groupes apparaissent dans le modèle de Kaizoji ?

Fondamentalistes et moutonniers.

Rôle des fondamentalistes ?

Ramener le prix vers une valeur fondamentale.

Rôle des moutonniers ?

Demande liée au comportement collectif / magnétisation.

Qu’est-ce qu’une spirale de liquidité ?

Une interaction auto-renforçante entre ventes forcées, impact de marché et contraintes de financement.

Relation entre processus de saut et hazard ?

Eₜ[dj] = h(t) × dt.

Que rémunère le drift positif avant le crash dans le modèle de bulle ?

Le risque de subir le crash.

Forme de la trajectoire de prix proche de t critique ?

pₜ ≈ p critique − (κB / β) × (t critique − t)ᵝ.

Lien entre β et b dans la fiche ?

β=1-b∈(0,1).

Que signifie la log-périodicité ?

Des oscillations dont la fréquence augmente et dont les intervalles se resserrent à l’approche de t critique.

Chaîne logique du modèle de bulle ?

Mimétisme ↑ → susceptibilité ↑ → hazard de crash ↑ → rendement conditionnel ↑ avant le crash.

Différence fondamentale TCL vs EVT ?

Le TCL traite la somme normalisée ; l’EVT traite les maxima ou les dépassements.

Condition essentielle du TCL standard présenté dans la fiche ?

Variables iid avec notamment variance finie.

Qu’est-ce qu’une loi stable ?

Une loi telle qu’une combinaison linéaire de deux variables de cette loi reste du même type, à translation et changement d’échelle près.

Quelle loi stable correspond à α=2 ?

La loi gaussienne.

Quel exemple de loi stable correspond à α=1 dans la fiche ?

La loi de Cauchy.

Qu’étudie la GEV ?

La loi limite des maxima après normalisation.

Que signifie ξ>0 dans la GEV ?

Type Fréchet : queue épaisse.

Que signifie ξ=0 dans la GEV ?

Type Gumbel : queue fine non bornée.

Que signifie ξ<0 dans la GEV ?

Type Weibull : support supérieur fini.

Quand utiliser une approche block maxima / GEV ?

Lorsque l’objet naturel est le maximum par période/bloc.

Qu’étudie la GPD ?

Les excès au-dessus d’un seuil élevé.

Théorème justifiant l’utilisation de la GPD ?

Pickands-Balkema-de Haan.

Support de la GPD standard si ξ≥0 ?

x≥0, excès potentiellement non bornés.

Support de la GPD si ξ<0 ?

0≤x<-1/ξ, donc borne supérieure finie.

À quel type de queue Hill est-il adapté ?

Aux queues épaisses de type Fréchet, ξ>0.

Pickands peut-il être utilisé seulement pour ξ>0 ?

Non, la fiche le présente pour ξ∈R.

Conditions asymptotiques sur k pour Hill/Pickands ?

k→∞ et k/n→0.

Effet d’un k trop petit ?

Très peu d’extrêmes : variance élevée.

Effet d’un k trop grand ?

On inclut des données non extrêmes : biais élevé.

Formule de VaR EVT avec Hill donnée dans la fiche ?

VaRₚ = [k / (n × (1 − p))] puissance (ξ̂H) × X(n − k + 1 : n).

Que mesure l’indice extrémal θ ?

Le clustering des événements extrêmes sous dépendance.

Interprétation de θ=1 ?

Comportement des extrêmes proche de l’indépendance.

Interprétation de θ<1 ?

Les extrêmes apparaissent davantage en clusters.

Méthodes citées pour traiter le clustering des extrêmes ?

Declustering par blocs ou par runs/fenêtre glissante.

GEV vs GPD ?

GEV = maxima de blocs ; GPD = dépassements au-dessus d’un seuil.