Définitions et Vocabulaire - FSN (Chapitres 1 à 3)

Cartes de révision de vocabulaire et définitions mathématiques pour le cours de FSN (Applications, Fonctions réelles, Fonctions usuelles, Suites numériques, Théorèmes et Formules).

Quantificateur universel ($\forall$)

Signifie « pour tout » ou « quel que soit ». La propriété doit être vraie pour chaque élément de l’ensemble indiqué.

Quantificateur existentiel ($\exists$)

Signifie « il existe au moins un ». Il ne signifie pas qu’il en existe un seul.

Quantificateur d'existence et d'unicité ($\exists!$)

Signifie « il existe un et un seul ». Il affirme à la fois l’existence et l’unicité.

Application $f : A \rightarrow B$

Relation entre deux ensembles $A$ et $B$ telle que $\forall x \in A, \exists! y \in B, f(x) = y$. Chaque élément de départ possède exactement une image dans l’ensemble d’arrivée.

Image d’un élément

Pour $f : A \rightarrow B$ et $x \in A$, c'est l’unique élément $y = f(x)$ de $B$ associé à $x$.

Antécédent

Pour $y \in B$, c'est un élément $x \in A$ tel que $f(x) = y$. Un élément de $B$ peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Ensemble image $\text{Im}(f)$

$\text{Im}(f) = f(A) = \{f(x) \ ; \ x \in A\} = \{y \in B \ ; \ \exists x \in A, f(x) = y\}$. On a toujours $f(A) \subseteq B$.

Produit cartésien $A \times B$

$A \times B = \{(a,b) \ ; \ a \in A \text{ et } b \in B\}$. Ensemble des couples ordonnés dont la première composante appartient à $A$ et la seconde à $B$.

Graphe d'une application

Pour $f : A \rightarrow B$, c'est le sous-ensemble de $A \times B$ noté $\Gamma_f = \{(x,f(x)) \ ; \ x \in A\}$.

Restriction d'une application

Pour $f : A \rightarrow B$ et $A' \subseteq A$, c'est l'application $f|_{A'} : A' \rightarrow B$ définie par $\forall x \in A', f|_{A'}(x) = f(x)$.

Prolongement d'une application

Si $A \subseteq A''$, prolongement de $f : A \rightarrow B$ à $A''$ est une application $g : A'' \rightarrow B$ telle que $\forall x \in A, g(x) = f(x)$.

Corestriction d'une application

Pour $f : A \rightarrow B$ et $B' \subseteq B$ tels que $f(A) \subseteq B'$, c'est l'application $g : A \rightarrow B'$ définie par $\forall x \in A, g(x) = f(x)$.

Composée $g \circ f$

Pour $f : A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$, application $g \circ f : A \rightarrow C$ définie par $\forall x \in A, (g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Application injective

Application $f : A \rightarrow B$ vérifiant $\forall x_1, x_2 \in A, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ (ou $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$). Chaque élément de $B$ a au plus un antécédent.

Application surjective

Application $f : A \rightarrow B$ vérifiant $\forall y \in B, \exists x \in A, f(x) = y$, ce qui équivaut à $f(A) = B$. Chaque élément de $B$ a au moins un antécédent.

Application bijective

Application $f : A \rightarrow B$ vérifiant $\forall y \in B, \exists! x \in A, f(x) = y$. Chaque élément de $B$ a exactement un antécédent ; équivalent à être injective et surjective.

Application identité ($\text{Id}_A$)

Application $A \rightarrow A$ définie par $\forall x \in A, \text{Id}_A(x) = x$.

Bijection réciproque ($f^{-1}$)

Pour $f : A \rightarrow B$ bijective, application $f^{-1} : B \rightarrow A$ vérifiant $f^{-1} \circ f = \text{Id}_A$ et $f \circ f^{-1} = \text{Id}_B$, équivalente à $\forall x \in A, \forall y \in B, f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y$.

Majorant d'une fonction sur $D$

Réel $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall x \in D, f(x) \le M$.

Minorant d'une fonction sur $D$

Réel $m \in \mathbb{R}$ tel que $\forall x \in D, m \le f(x)$.

Fonction bornée sur $D$

Fonction à la fois majorée et minorée : $\exists m, M \in \mathbb{R}, \forall x \in D, m \le f(x) \le M$, ou de façon équivalente $\exists C \ge 0, \forall x \in D, |f(x)| \le C$.

Fonction monotone sur $D$

Fonction $f : D \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant $[\forall x, y \in D, x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y)]$ OU $[\forall x, y \in D, x \le y \Rightarrow f(x) \ge f(y)]$. Elle est croissante sur tout $D$ ou décroissante sur tout $D$.

Fonction paire

Fonction dont le domaine $D$ est symétrique par rapport à 0 et vérifiant $\forall x \in D, f(-x) = f(x)$.

Fonction impaire

Fonction dont le domaine $D$ est symétrique par rapport à 0 et vérifiant $\forall x \in D, f(-x) = -f(x)$.

Fonction périodique sur $\mathbb{R}$

Fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\exists T > 0, \forall x \in \mathbb{R}, f(x+T) = f(x)$. Le réel $T$ est une période.

Période fondamentale

Plus petite période strictement positive d'une fonction périodique, lorsqu'elle existe.

Logarithme népérien ($\ln$)

Primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ qui s’annule en 1 : $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ et $\ln(1) = 0$. Elle définit une bijection de $]0,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$.

Fonction exponentielle ($\exp$)

Bijection réciproque de $\ln$, notée $\exp : \mathbb{R} \rightarrow ]0,+\infty[$ ou $\exp(x) = e^x$. Ainsi $e^x = y \Leftrightarrow \ln(y) = x$ pour $y > 0$.

Puissance réelle $x^\alpha$

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $x > 0$, $x^\alpha = \exp(\alpha \ln(x))$.

Fonction tangente ($\tan$)

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ pour $\cos(x) \neq 0$. Son domaine est $\mathbb{R}$ privé des nombres $\frac{\pi}{2} + k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.

Fonction cotangente ($\cot$)

$\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ pour $\sin(x) \neq 0$. Son domaine est $\mathbb{R}$ privé des nombres $k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.

Fonction arcsinus ($\arcsin$)

Bijection réciproque de $\sin$ restreinte à $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ et corestreinte à $[-1,1]$. Pour $a \in [-1,1]$, $\theta = \arcsin(a) \Leftrightarrow \sin(\theta) = a$ et $\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.

Fonction arccosinus ($\arccos$)

Bijection réciproque de $\cos$ restreinte à $[0,\pi]$ et corestreinte à $[-1,1]$. Pour $a \in [-1,1]$, $\theta = \arccos(a) \Leftrightarrow \cos(\theta) = a$ et $\theta \in [0,\pi]$.

Fonction arctangente ($\arctan$)

Bijection réciproque de $\tan$ restreinte à $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$. Pour $a \in \mathbb{R}$, $\theta = \arctan(a) \Leftrightarrow \tan(\theta) = a$ et $\theta \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$.

Sinus hyperbolique ($\operatorname{sh}$ ou $\sinh$)

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\operatorname{sh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.

Cosinus hyperbolique ($\operatorname{ch}$ ou $\cosh$)

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\operatorname{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.

Tangente hyperbolique ($\tanh$)

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\tanh(x) = \frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$.

Partie entière ($\lfloor x \rfloor$ ou $E(x)$)

Pour $x \in \mathbb{R}$, unique entier $n$ tel que $n \le x < n+1$. C'est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

Suite définie implicitement

Suite dont chaque terme $u_n$ est caractérisé, pour chaque indice $n$, comme l'unique solution d'une équation ou d'une propriété dépendant de $n$.

Suite stationnaire

Suite constante à partir d'un certain rang : $\exists N \in \mathbb{N}, \exists c \in \mathbb{R}, \forall n \ge N, u_n = c$.

Sous-suite (suite extraite)

Suite $(v_n)$ de la forme $v_n = u_{\varphi(n)}$, où $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ est strictement croissante.

Suite périodique

Suite vérifiant $\exists p \in \mathbb{N}^*, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+p} = u_n$. L’entier $p$ est une période de la suite.

Convergence d’une suite vers $\ell \in \mathbb{R}$

$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |u_n - \ell| < \varepsilon$.

Divergence vers $+\infty$ d'une suite

$\forall A > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, u_n > A$.

Divergence vers $-\infty$ d'une suite

$\forall A > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, u_n < -A$.

Suite divergente

Suite qui n'admet aucune limite réelle finie. Négation quantifiée : $\forall \ell \in \mathbb{R}, \exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \ge N, |u_n - \ell| \ge \varepsilon$.

Suites équivalentes ($u_n \sim v_n$)

Pour deux suites avec $v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang : $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$. Quantifié : $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, v_n \neq 0 \text{ et } |\frac{u_n}{v_n} - 1| < \varepsilon$.

Suites adjacentes

Deux suites $u$ et $v$ vérifiant simultanément : (1) $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \ge u_n$ ; (2) $\forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1} \le v_n$ ; (3) $\lim_{n \rightarrow +\infty}(v_n - u_n) = 0$.

Principe de récurrence

Si $P(n_0)$ est vraie et si, pour tout $n \ge n_0$, $P(n) \Rightarrow P(n+1)$, alors $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$.

Théorème des gendarmes

Si $a_n \le u_n \le b_n$ à partir d’un certain rang et si $a_n \rightarrow \ell$ et $b_n \rightarrow \ell$ avec $\ell \in \mathbb{R}$, alors $u_n \rightarrow \ell$.

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Toute suite bornée de réels admet au moins une sous-suite convergente.

Dérivée de l'arccosinus

$\arccos$ est dérivable sur $]-1,1[$ et $\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Non dérivable en $-1$ et $1$.

Dérivée de l'arcsinus

$\arcsin$ est dérivable sur $]-1,1[$ et $\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Non dérivable en $-1$ et $1$.

Dérivée de l'arctangente

$\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.