Théorie de l'intégration et des distributions

Quelles sont les hypothèses et la conclusion du théorème de convergence monotone de Beppo Levi concernant une suite croissante de fonctions mesurables ?

Quelles sont les deux conditions permettant d’appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue, et quelles sont les conclusions obtenues ?

Quelles sont les hypothèses et l’inégalité données par le lemme de Fatou pour une suite de fonctions mesurables à valeurs dans [0, +∞] ?

Comment est défini l’espace Cc(Ω) des fonctions continues sur Ω à support compact ?

Quelles sont les hypothèses du théorème de continuité sous le signe ∫ pour une fonction f(x, t), et quelle conclusion permet-il d’obtenir ?

Quelles sont les hypothèses du théorème de dérivabilité sous le signe ∫ pour une fonction f(x, t) ?

Quelles sont les hypothèses et les conclusions du théorème de Fubini-Tonelli pour une fonction F : Ω₁ × Ω₂ → [0, +∞] mesurable ?

Quelles sont les hypothèses et les conclusions du théorème de Fubini-Lebesgue lorsque F ∈ L¹(Ω₁ × Ω₂) ?

Comment est définie la matrice jacobienne Jϕ(x) d’une fonction ϕ : U → Rⁿ de classe C¹ ?

Quelles sont les trois conditions pour qu’une fonction ϕ : U → V soit un difféomorphisme de classe C¹ ?

Quelles sont les hypothèses et la conclusion du théorème d’inversion globale pour une application ϕ : U → Rⁿ de classe C¹ ?

Quelles sont les hypothèses et les trois formules du théorème de changement de variables pour un difféomorphisme ϕ : U → V de classe C¹ ?

Comment est défini l’espace L∞(Ω) et comment est définie la norme ‖f‖L∞(Ω) ?

Comment est défini l’exposant conjugué p′ d’un nombre p vérifiant 1 ≤ p ≤ ∞ ?

Quelles sont les hypothèses et la conclusion de l’inégalité de Hölder pour f ∈ Lp(Ω) et g ∈ Lp′(Ω) ?

Que dit le théorème concernant la structure de Lp(Ω) et la norme ‖·‖Lp(Ω) ?

Que dit le théorème de Fischer-Riesz concernant l’espace Lp(Ω) ?

Que dit le théorème 12 pour une suite (fn)n∈N de fonctions de Lp(Ω) convergeant vers f ∈ Lp(Ω) pour la norme ‖·‖Lp(Ω) ?

Pour quelles valeurs de p l’espace Lp est-il réflexif ?

Que dit le théorème de représentation de Riesz pour 1 < p < +∞ et ϕ ∈ (Lp(Ω))′ ?

Que dit le théorème de densité concernant l’espace Cc(Ω) dans Lp(Ω) ?