Géométrie Plane - Cours ATS

Flashcards de vocabulaire et définitions mathématiques basées sur le cours de géométrie plane (vecteurs, repères, produit scalaire, déterminant, droites, cercles et propriétés du triangle).

Direction d'un vecteur $\vec{AB}$

Ensemble des droites parallèles à la droite $(AB)$.

Sens de deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{MN}$

Si la direction de $\vec{AB}$ est la même que celle de $\vec{MN}$, les deux vecteurs ont le même sens lorsque le quadrilatère $ABNM$ est convexe.

Norme d'un vecteur $\vec{AB}$

Longueur du segment $[AB]$, notée $AB$ ou $\|\vec{AB}\|$.

Vecteur nul $\vec{0}$

Vecteur défini pour un couple de points $A$ et $B$ confondus, pour lequel on ne peut pas définir de direction ni de sens.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ qui ont la même direction, signifiant qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$.

Repère affine

Triplet $(O; \vec{v}_1, \vec{v}_2)$ composé d'un point $O$ du plan affine (l'origine) et d'un couple de vecteurs linéairement indépendants (la base du repère).

Coordonnées polaires

Système de repérage d'un point $M$ sous la forme $[\rho; \theta]$, où $\rho$ est la distance radiale $OM$ et $\theta$ est l'angle orienté $(\vec{i}, \vec{OM})$.

Produit scalaire

Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$, le nombre réel défini par $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ (égal à $0$ si l'un des vecteurs est nul).

Bilinéarité du produit scalaire

Propriété combinant la linéarité et la symétrie, s'exprimant pour trois vecteurs et un réel $\lambda$ par $(\vec{u} + \lambda \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \lambda \vec{v} \cdot \vec{w}$.

Loi des Cosinus (ou formule d'Al-Kashi)

Théorème reliant les longueurs des côtés d'un triangle quelconque $ABC$ au cosinus de l'un de ses angles : $a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos(\alpha)$.

Loi des Sinus

Relation dans un triangle non aplati $ABC$ reliant les longueurs des côtés aux sinus de leurs angles opposés : $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$.

Déterminant de deux vecteurs du plan

Pour deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormé, le nombre $\det(\vec{u}, \vec{v}) = x y' - y x'$.

Antisymétrie du déterminant

Propriété du déterminant stipulant que l'interversion de deux vecteurs change son signe : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = -\det(\vec{v}, \vec{u})$.

Équation cartésienne d'une droite

Équation algébrique de la forme $a x + b y + c = 0$ vérifiée par l'ensemble des points $M(x, y)$ appartenant à une droite donnée.

Équation réduite d'une droite

Forme unique de l'équation d'une droite $d$ : $y = m x + p$ si $d$ n'est pas parallèle à l'axe $(O; \vec{j})$, ou $x = q$ si $d$ est parallèle à cet axe.

Représentation paramétrique d'une droite

Système d'équations définissant les coordonnées des points d'une droite $(AB)$ en fonction d'un paramètre réel $t$ : $x = x_A + t (x_B - x_A)$ et $y = y_A + t (y_B - y_A)$.

Vecteur directeur et vecteur normal (équation cartésienne)

Pour une droite d'équation $a x + b y + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{d}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ et un vecteur normal est $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.

Projeté orthogonal

Point d'intersection $H$ entre une droite $d$ et la seule droite perpendiculaire à $d$ passant par un point donné $A$.

Distance d'un point à une droite

Longueur $d(A, \Delta)$ entre un point $A(x_A, y_A)$ et son projeté orthogonal sur une droite $\Delta: a x + b y + c = 0$, égale à $\frac{|a x_A + b y_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Équation cartésienne d'un cercle

Dans un repère orthonormé, équation caractérisant un cercle $\mathscr{C}$ de centre $A(x_A, y_A)$ et de rayon $r > 0$ sous la forme $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2$.

Cercle inscrit dans un triangle

Cercle intérieur au triangle dont le centre est le point de concours des trois bissectrices des angles du triangle.

Cercle circonscrit à un triangle

Cercle passant par les trois sommets du triangle, dont le centre est le point de concours des trois médiatrices des côtés.

Centre de gravité d'un triangle

Point de concours des trois médianes d'un triangle, situé aux $\frac{2}{3}$ de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Orthocentre d'un triangle

Point de concours des trois hauteurs d'un triangle.