1. Funktionen und Gleichungen – lineare und quadratische Funktionen, Potenzfunktionen und Gleichungen höherer Ordnung, rationale Funktionen und Gleichungen

Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion, und was bedeuten m und n?

f(x) = m·x + n. m ist der Anstieg (Steigung): er sagt, wie viel y sich ändert, wenn x um 1 größer wird. n ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt (0;n), an dem der Graph die y-Achse schneidet. Beispiel: f(x) = 3x - 1 hat m = 3 (steigt stark) und n = -1 (schneidet y-Achse bei -1).

Wie berechnest du den Anstieg m einer linearen Funktion aus zwei gegebenen Punkten?

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = Δy / Δx. Man bildet also die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte. Beispiel: Punkte (1;5) und (3;9) → m = (9-5)/(3-1) = 4/2 = 2. Wichtig: Reihenfolge der Punkte im Zähler und Nenner muss gleich sein, sonst kehrt sich das Vorzeichen um.

Wie formulierst du die Monotonie einer linearen Funktion fachlich korrekt, und welche drei Bestandteile braucht der Satz?

Ein vollständiger Satz braucht: 1. Aussage (wachsend/fallend), 2. Bereich (bei linearen Funktionen immer auf ℝ), 3. Begründung über m. Beispiel: 'f ist streng monoton fallend auf ℝ, da m = -2/3 < 0.' Bei m > 0 heißt es 'streng monoton wachsend', bei m < 0 'streng monoton fallend'. Das Wort 'streng' gehört bei linearen Funktionen immer dazu, da sich kein y-Wert wiederholt.

Was bedeutet 'streng monoton wachsend' im Gegensatz zu nur 'monoton wachsend'?

Bei 'streng monoton wachsend' nimmt die Funktion bei jedem größer werdenden x-Wert auch wirklich einen größeren y-Wert an (kein Gleichbleiben erlaubt). Bei nur 'monoton wachsend' dürfte der y-Wert zwischendurch auch gleich bleiben. Lineare Funktionen mit m≠0 sind immer streng monoton, da sich kein y-Wert wiederholt.

Wie verhält sich eine lineare Funktion mit m=0 (waagerechte Gerade) bezüglich der Monotonie?

Sie ist weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend, sondern konstant. Der Graph ist eine horizontale Linie parallel zur x-Achse, der y-Wert ändert sich nie.

Wann stehen zwei Geraden senkrecht (rechtwinklig) zueinander, und wie berechnet man den passenden Anstieg?

Zwei Geraden stehen senkrecht zueinander, wenn m1 · m2 = -1 gilt. Daraus folgt: m2 = -1/m1, der negative Kehrwert von m1. Vorgehen in zwei Schritten: 1. Kehrwert bilden (Zähler und Nenner tauschen), 2. Vorzeichen umdrehen. Beispiel: m1 = -2/3 → Kehrwert = -3/2 → Vorzeichen umdrehen → m2 = 3/2. Probe: (-2/3)·(3/2) = -1 ✓

Was sind Definitions- und Wertebereich einer linearen Funktion, und gibt es eine Ausnahme?

Definitionsbereich Df: alle x-Werte, die eingesetzt werden dürfen - bei linearen Funktionen immer ganz ℝ (keine Einschränkung). Wertebereich Wf: alle möglichen y-Werte - bei m ≠ 0 ebenfalls ganz ℝ, da die Gerade unendlich weit nach oben und unten verläuft. Ausnahme: bei m = 0 (waagerechte Gerade, z.B. f(x) = 5) ist der Wertebereich nur ein einziger Wert, hier Wf = {5}.

Wie gehst du Schritt für Schritt beim Skizzieren einer linearen Funktion vor?

1. y-Achsenabschnitt n berechnen bzw. ablesen und als Punkt (0;n) markieren. 2. Nullstelle berechnen: f(x) = 0 setzen und nach x auflösen, ergibt Punkt (x0;0). 3. Beide Punkte mit einem Lineal verbinden und die Gerade über beide Punkte hinaus verlängern. Alternative für Schritt 2, falls die Nullstelle unhandlich ist: vom y-Achsenabschnitt aus mit dem Anstieg m einen zweiten Punkt finden (m Einheiten hoch, 1 Einheit nach rechts).

Wie gehst du beim Skizzieren vor, wenn x-Achse und y-Achse unterschiedliche Maßstäbe (cm pro Einheit) haben?

Der Anstieg m wird ganz normal und unabhängig vom Maßstab berechnet - er ist eine rein mathematische Größe (Δy/Δx in Einheiten, nicht in cm). Erst beim tatsächlichen Einzeichnen auf Papier rechnest du getrennt um: den x-Schritt mit dem x-Maßstab, den zugehörigen y-Schritt (= m mal Δx) mit dem y-Maßstab. Beispiel: x-Achse 1 Einheit = 1 cm, y-Achse 1 Einheit = 0,1 cm, m = 14. Ein Schritt von 1 Einheit nach rechts (= 1 cm auf Papier) bedeutet einen y-Schritt von 14 Einheiten, also 14 · 0,1 cm = 1,4 cm nach oben.

Wie lauten Nullstelle, y-Achsenabschnitt und Monotonie von f(x) = 14x - 42?

Nullstelle: 14x-42=0 → x=3. y-Achsenabschnitt: f(0)=-42. Monotonie: m=14>0 → f ist streng monoton wachsend auf ℝ.

Wie bestimmst du Nullstelle und y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion mit Wurzel-Koeffizient, z.B. f(x) = -Wurzel(2)·x - 3?

Genau wie bei jeder anderen linearen Funktion: y-Achsenabschnitt direkt ablesen (hier -3). Nullstelle: 0 = -Wurzel(2)·x - 3 nach x auflösen → x = -3/Wurzel(2). Der Anstieg m = -Wurzel(2) ≈ -1,41 ist negativ → f ist streng monoton fallend auf ℝ. Die Wurzel verändert das Verfahren nicht, nur die Zahlen werden 'krummer'.

Wie lautet die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion, und was bedeuten a, d und e jeweils?

f(x) = a(x-d)² + e. d gibt die Verschiebung auf der x-Achse an (nach rechts bei d > 0, nach links bei d < 0 - Vorzeichen beachten, da in der Formel ein Minus vor d steht!). e gibt die Verschiebung auf der y-Achse an (nach oben bei e > 0, nach unten bei e < 0). Der Scheitelpunkt liegt immer bei S(d|e). a bestimmt die Öffnungsrichtung: a > 0 öffnet nach oben, a < 0 öffnet nach unten; je größer |a|, desto schmaler/steiler die Parabel.

Wie rechnest du Schritt für Schritt von der Scheitelpunktform in die Normalform um?

1. Klammer (x-d)² mit der binomischen Formel ausmultiplizieren: (x-d)² = x² - 2dx + d². 2. Falls a ≠ 1, das gesamte ausmultiplizierte Ergebnis mit a multiplizieren. 3. e addieren. 4. Gleichartige Terme (Zahlen ohne x) zusammenfassen. Beispiel: f(x) = (x+3)² - 3 → x² + 6x + 9 - 3 → zusammengefasst: f(x) = x² + 6x + 6.

Wie rechnest du Schritt für Schritt von der Normalform in die Scheitelpunktform um (quadratische Ergänzung)?

Ausgangsform: f(x) = x² + bx + c. 1. Hälfte von b berechnen: b/2 (das wird später d). 2. Dieses b/2 quadrieren und sowohl addieren als auch subtrahieren (ändert den Wert nicht, da +Zahl -Zahl = 0). 3. Die ersten drei Terme bilden jetzt ein vollständiges Binom: (x + b/2)². 4. Restliche Zahlen zusammenfassen, das ergibt e. Beispiel: x² + 6x + 9 → b/2 = 3 → x² + 6x + 3² - 3² + 9 → (x+3)² - 9 + 9 → (x+3)² + 0.

Wie bestimmst du Scheitelpunkt, Nullstellen und Monotonie von f(x) = x² - 6x + 9 über die binomische Formel?

x²-6x+9 ist ein vollständiges binomisches Quadrat: = (x-3)². Scheitelpunkt S(3|0), doppelte Nullstelle bei x=3 (Parabel berührt die x-Achse nur, kreuzt sie nicht). y-Achsenabschnitt f(0)=9. Da a=1>0 (Öffnung nach oben): f ist in (-∞;3) streng monoton fallend, in (3;∞) streng monoton wachsend.

Wie bestimmst du die Nullstellen von f(x) = -x² + 3?

0 = -x²+3 → x² = 3 → x = ±Wurzel(3). Zwei Nullstellen: x1=-Wurzel(3)≈-1,73, x2=Wurzel(3)≈1,73. Der Scheitelpunkt liegt wegen der Symmetrie der Parabel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, hier bei x=0: S(0|3).

Wie lautet die p-q-Formel zur Nullstellenberechnung bei quadratischen Funktionen, und was ist dabei zu beachten?

Für f(x) = x² + px + q gilt: x1,2 = -p/2 ± Wurzel aus ((p/2)² - q). Wichtig: Diese Formel funktioniert nur, wenn der Koeffizient vor x² gleich 1 ist - steht dort eine andere Zahl, muss man vorher durch diese Zahl teilen. Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, gibt es keine reellen Lösungen. Ist er 0, gibt es genau eine (doppelte) Lösung.

Wie bestimmst du die Nullstellen von f(x) = x² + 5x - 8 mit der p-q-Formel?

p=5, q=-8. x1,2 = -5/2 ± Wurzel((5/2)² -(-8)) = -2,5 ± Wurzel(6,25+8) = -2,5 ± Wurzel(14,25) ≈ -2,5 ± 3,775. x1≈1,3, x2≈-6,3.

Was bedeutet es, wenn bei der p-q-Formel der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird, z.B. bei f(x) = -x² + 7x - 13?

Es gibt keine reellen Nullstellen - die Parabel berührt oder schneidet die x-Achse nirgends. Beispiel: x1,2 = 7/2 ± Wurzel(49/4 - 13) = 3,5 ± Wurzel(-0,75). Da man aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen kann, ist die Lösungsmenge leer (L = leere Menge).

Wie findest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion über die Scheitelpunktform?

1. f(x) = 0 setzen. 2. Nach (x-d)² isolieren (e auf die andere Seite bringen, ggf. durch a teilen). 3. Wurzel ziehen - dabei unbedingt ± nicht vergessen. 4. d auf beiden Seiten addieren, um x freizustellen. Beispiel: (x-3)² - 4 = 0 → (x-3)² = 4 → x - 3 = ±2 → x = 3±2 → x1 = 5, x2 = 1. Wichtig: Steht auf der rechten Seite nach dem Isolieren eine negative Zahl, gibt es keine reellen Nullstellen.

Wie formulierst du die Monotonie einer quadratischen Funktion fachlich korrekt?

Man braucht zwei Aussagen mit Intervallgrenzen, da die Parabel am Scheitelpunkt die Richtung wechselt. Formel: 'f ist in (-∞; d) streng monoton [fallend/wachsend], in (d; ∞) streng monoton [wachsend/fallend]', wobei d der x-Wert des Scheitelpunkts ist. Bei a > 0: erst fallend, dann wachsend. Bei a < 0: erst wachsend, dann fallend. Beispiel bei S(3|0), a>0: 'f ist in (-∞;3) streng monoton fallend, in (3;∞) streng monoton wachsend.'

Was ist der Unterschied zwischen gerader und ungerader Vielfachheit einer Nullstelle am Graphen einer ganzrationalen Funktion?

Die Vielfachheit ist der Exponent der jeweiligen Klammer in der faktorisierten Form. Bei ungerader Vielfachheit (1, 3, 5, …) durchkreuzt der Graph die x-Achse an dieser Stelle. Bei gerader Vielfachheit (2, 4, 6, …) berührt der Graph die x-Achse nur und dreht wieder um. Beispiel: f(x) = (x+3)(x-1)²(x-4) → bei x=-3 und x=4 (Vielfachheit 1) kreuzt der Graph, bei x=1 (Vielfachheit 2) berührt er nur.

Was ist ein Polynom, und welche Bedingung müssen die Exponenten der Variablen erfüllen?

Ein Polynom ist eine Summe aus mehreren Gliedern, wobei jedes Glied aus einer Zahl (Koeffizient) und einer Variablen mit einer Hochzahl (Potenz) besteht, z.B. f(x) = 4x³ - 2x² + 5x - 7. Zwingende Bedingung: die Exponenten müssen natürliche Zahlen sein (0, 1, 2, 3, …) - keine Brüche und keine negativen Zahlen. Der Grad des Polynoms ist die höchste vorkommende Hochzahl.

Welche drei Ausdrucksarten machen einen Term automatisch zu keinem Polynom, und warum?

1. x im Nenner / negativer Exponent, z.B. 1/x = x^(-1) - negative Exponenten sind nicht erlaubt. 2. x unter einer Wurzel, z.B. Wurzel(x) - das entspricht einem gebrochenen Exponenten (x^(1/2)). 3. x im Exponenten selbst oder in Winkel-/Logarithmusfunktionen, z.B. 2^x, sin(x), ln(x).

Wie bestimmst du den Grad eines Polynoms, wenn es in faktorisierter Form vorliegt (z.B. f(x) = (x+3)(x-1)²(x-4))?

Addiere die Exponenten aller Klammern. Beispiel: (x+3) kommt 1-fach vor, (x-1) kommt 2-fach vor (wegen des Quadrats), (x-4) kommt 1-fach vor → 1+2+1 = 4. Der Grad der Funktion ist also 4, auch ohne auszumultiplizieren.

Wie bestimmst du das Verhalten im Unendlichen einer ganzrationalen Funktion, und welche Merktabelle hilft dabei?

Zwei Faktoren entscheiden: der Grad (gerade/ungerade) und das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten. Merktabelle: Grad gerade + positiv → beide Enden +∞. Grad gerade + negativ → beide Enden -∞. Grad ungerade + positiv → von -∞ nach +∞. Grad ungerade + negativ → von +∞ nach -∞.

Wann wendest du bei einer Gleichung die Substitution an, und wie läuft das Verfahren in vier Schritten ab?

Anwendbar, wenn eine Potenz genau das Doppelte einer anderen vorkommenden Potenz ist, z.B. x⁴ und x². Vorgehen: 1. Muster erkennen (ggf. erst umformen). 2. Substituieren: z = x² setzen, x⁴ wird zu z². 3. Die quadratische Gleichung in z lösen. 4. Rücksubstituieren: x = ±Wurzel(z).

Was bedeutet es, wenn bei der Substitution (z.B. z = x²) ein negativer z-Wert herauskommt?

Dieser z-Wert liefert keine reellen x-Lösungen und wird verworfen, da x² niemals negativ werden kann. Beispiel: z² - 6z - 7 = 0 ergibt z1 = 7 und z2 = -1. Aus z1 = 7 folgt x = ±Wurzel(7). Aus z2 = -1 folgt keine reelle Lösung.

Wie löst du eine Gleichung wie x^10 + 6x^9 + 5x^8 = 0 durch Ausklammern (ohne Substitution)?

Größtmögliche gemeinsame Potenz ausklammern: x^8(x²+6x+5)=0. Fallunterscheidung: 1. Fall x^8=0 → x=0. 2. Fall x²+6x+5=0 → mit p-q-Formel: x=-3±2 → x=-5 oder x=-1. Lösungsmenge: L={-5;-1;0}.

Wie löst du eine Gleichung mit z = x³ als Substitution, z.B. x^6 - 3x³ - 9 = 0?

Substitution z=x³ (x^6 = z²): z²-3z-9=0 mit p-q-Formel lösen. Rücksubstitution: x = dritte Wurzel aus z (kein ± nötig, anders als bei z=x²).

Warum braucht man bei der Rücksubstitution von z=x³ kein Plus-Minus, im Gegensatz zu z=x²?

Weil eine ungerade Wurzel aus jeder reellen Zahl immer genau eine eindeutige reelle Lösung hat. Eine gerade Wurzel hat dagegen zwei Lösungen (positiv und negativ), da sowohl x als auch -x quadriert denselben Wert ergeben.

Was ist der Unterschied zwischen einer Polstelle und einer Lücke bei einer rationalen Funktion?

Polstelle: Nenner = 0, aber Zähler ≠ 0 an dieser Stelle → der Faktor lässt sich nicht kürzen, der Graph schießt gegen +∞ oder -∞. Lücke: Nenner = 0 UND Zähler = 0 an derselben Stelle → der gemeinsame Faktor lässt sich kürzen, es bleibt nur ein fehlender Punkt im Graphen.

Wie findest du bei einer rationalen Funktion heraus, welche Nennernullstellen Pole und welche Lücken sind?

1. Nullstellen des Zählers bestimmen. 2. Nullstellen des Nenners bestimmen. 3. Beide Listen vergleichen: Nennernullstelle NICHT im Zähler → Polstelle. Nennernullstelle AUCH im Zähler → Lücke. 4. Zählernullstelle nicht im Nenner → normale Nullstelle der Funktion.

Wie lautet der y-Achsenabschnitt und das Verhalten im Unendlichen von f(x) = 5(x+3)(x-2) / ((x+5)(x+1)(x-4))?

y-Achsenabschnitt: f(0) = 5·3·(-2) / (5·1·(-4)) = -30/-20 = 3/2. Verhalten im Unendlichen: Zählergrad=2, Nennergrad=3 → kleiner → Funktion geht für x→+∞ und x→-∞ jeweils gegen 0.

Wie bestimmst du bei f(x) = (x²-4x+4)/(x²-2x) den y-Achsenabschnitt, und worauf musst du achten?

Achtung: f(0) existiert hier NICHT, da der Nenner bei x=0 null wird (x²-2x = x(x-2)). x=0 ist eine Polstelle (im Zähler keine Nullstelle). Es gibt daher keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.

Wie berechnest du bei einer Lückenstelle den fehlenden Funktionswert (das 'Loch' stetig machen)?

Zuerst den gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner kürzen, sodass eine neue Funktion g(x) entsteht. Dann den x-Wert der Lücke in g(x) einsetzen. Beispiel: f(x)=(x²+x-2)/(x²-4x+3) kürzt bei x=1 zu g(x)=(x+2)/(x-3); g(1)=3/(-2)=-1,5 ist der fehlende Funktionswert.

Wie bestimmst du das Verhalten im Unendlichen einer rationalen Funktion durch Vergleich von Zähler- und Nennergrad?

Zählergrad kleiner als Nennergrad → Funktion geht gegen 0. Zählergrad gleich Nennergrad → Funktion geht gegen einen festen Wert (Verhältnis der höchsten Koeffizienten). Zählergrad größer als Nennergrad → Funktion geht gegen +∞ oder -∞.

Was ist der grundsätzliche Unterschied zwischen einer ganzrationalen und einer gebrochen-rationalen Funktion?

Eine ganzrationale Funktion (Polynom) hat kein x im Nenner, ist also für alle x definiert (Dx=ℝ). Eine gebrochen-rationale Funktion hat x im Nenner und deshalb Definitionslücken dort, wo der Nenner 0 wird (Polstellen oder Lücken).

Was ist ein Koeffizient, und wie erkennst du ihn in einem Term?

Die Zahl, die vor einer Variablen bzw. vor der höchsten Potenz als Multiplikator steht. Beispiele: bei 4x³ ist 4 der Koeffizient, bei -2x² ist -2 der Koeffizient. Steht scheinbar keine Zahl davor (z.B. x²), steht dort 'unsichtbar' die Zahl 1.

Wie bestimmst du den Definitionsbereich einer Bruchgleichung, bevor du sie löst?

Du suchst alle Nennerausdrücke und setzt jeden einzeln gleich 0, um die verbotenen x-Werte zu finden. Der Definitionsbereich Dx ist dann ganz ℝ ohne diese verbotenen Werte, z.B. Dx = ℝ ohne {-2; 3}.

Wie prüfst du bei einer Bruchgleichung, ob eine gefundene Lösung gültig ist?

Die Lösung muss im Definitionsbereich Dx liegen. Nach dem Auflösen die gefundenen x-Werte gedanklich in die Nennerausdrücke der Ausgangsgleichung einsetzen - ergibt das 0, gehört dieser x-Wert NICHT zur Lösungsmenge, auch wenn er rechnerisch herauskam.

Was bedeutet die Schreibweise 'Dx = ℝ ohne {-2}' in Worten?

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen außer der Zahl -2. Der Wert x=-2 darf also nicht eingesetzt werden, z.B. weil dort ein Nenner 0 würde.

Was ist der Unterschied zwischen 'Achsenschnittpunkt' und 'Achsenschnittstelle' bzw. 'Nullstelle'?

Ein Achsenschnittpunkt ist ein vollständiger Punkt mit beiden Koordinaten, z.B. (3;0). Eine Achsenschnittstelle bzw. Nullstelle bezieht sich meist nur auf den x-Wert, z.B. 'x=3'. Oft synonym verwendet, gemeint ist bei vollständiger Angabe immer der ganze Punkt.