Mesures de risque + VaR

Qu’est-ce qu’une mesure de risque monétaire ?

Pour une perte X, elle vérifie notamment la monotonie X<=Y ⇒ ρ(X)≤ρ(Y) et l’invariance par translation ρ(X+m)=ρ(X)+m.

Qu’ajoute une mesure de risque cohérente à une mesure monétaire ?

La sous-additivité et l’homogénéité positive.

Quelle propriété d’une mesure cohérente traduit le bénéfice de diversification ?

La sous-additivité : ρ(X+Y) ≤ ρ(X)+ρ(Y).

Qu’est-ce qu’une mesure spectrale de risque ?

Une mesure qui agrège les quantiles en donnant des poids différents aux scénarios : Mφ(X) = −∫₀¹ φ(p) F(X)⁻¹(p) dp, avec φ ≥ 0, ∫φ = 1 et φ décroissante.

Une mesure spectrale est-elle cohérente ?

Oui. Toute mesure spectrale est cohérente.

Quand une mesure de distorsion est-elle cohérente ?

Lorsque la fonction de distorsion est concave.

Que mesure la VaR ?

Un quantile de perte : elle donne un seuil de perte à un niveau de confiance donné.

Formule de la VaR pour une perte Y ?

VaRα(Y) = F(Y)⁻¹(α).

Formule de la VaR pour un gain X selon la convention de la fiche ?

VaRα(X) = −F(X)⁻¹(1 − α).

Quelle est la principale faiblesse conceptuelle de la VaR ?

Elle ne dit rien sur la gravité des pertes au-delà du quantile.

La VaR est-elle toujours sous-additive ?

Non. Elle n’est donc pas toujours cohérente.

Que mesure l’Expected Shortfall ?

La perte moyenne dans la queue au-delà du niveau de VaR.

Formule de l’Expected Shortfall ?

ESα = [1 / (1 − α)] × ∫α¹ VaRᵣ dr.

Pourquoi l’Expected Shortfall est-il souvent préféré pour le risque de queue ?

Il tient compte de la gravité des pertes extrêmes et est cohérent/sous-additif.

La volatilité est-elle une mesure de risque monétaire ?

Non. Elle mesure une dispersion et est invariante par translation.

Que renseignent skewness et kurtosis ?

La skewness mesure l’asymétrie ; la kurtosis renseigne notamment sur l’importance des queues.

Formule du risque entropique ?

eγ(X) = [1 / γ] × ln(E[exp(−γX)]), avec γ > 0.

Le risque entropique est-il cohérent ?

Non. Il est convexe mais pas homogène positivement.

Risque entropique d’un X~N(μ,σ²) ?

eγ(X)=-μ+γσ²/2.

Différence essentielle VaR vs ES ?

VaR = seuil quantile ; ES = moyenne de la queue au-delà du seuil.