L3P mecanique analytique

Lagrangien

Le Lagrangien est la différence entre l'énergie cinétique $T$ et l'énergie potentielle $U$ d'un système conservatif : $L = T - U$. Pour $N$ points matériels, $L = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i (\dot{x}_i^2 + \dot{y}_i^2 + \dot{z}_i^2) - U(x_1, \dots, z_N)$.

Équations d'Euler-Lagrange

Équations fondamentales du mouvement déduites du principe d'Hamilton pour des coordonnées généralisées $q_i$ : $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$.

Identité de Beltrami

Première intégrale du mouvement lorsque le Lagrangien ne dépend pas explicitement du temps ($\frac{\partial L}{\partial t} = 0$) : $E = \sum{i=1}^{n} \dot{q}i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}i} - L = \text{constante}$.

Action de Hamilton

Intégrale temporelle du Lagrangien entre deux instants $t_1$ et $t_2$ : $S = \int{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) , dt$.

Principe de moindre action (Hamilton)

Principe variationnel selon lequel la trajectoire réelle d'un système est celle qui stationnarise l'action $S$ : $\delta S = \delta \int{t_1}^{t_2} L , dt = 0$.

Impulsion généralisée (moment conjugué)

Quantité de mouvement associée à la coordonnée généralisée $q_i$, définie par : $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$.

Hamiltonien

Transformée de Legendre du Lagrangien exprimant l'énergie totale du système en fonction des coordonnées $q_i$ et impulsions $p_i$ : $H(q, p, t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L$.

Équations canoniques de Hamilton

Système d'équations différentielles du premier ordre régissant l'évolution dans l'espace des phases : $\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$ et $\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$.

Opérateur Laplacien (en coordonnées cartésiennes)

Opérateur différentiel d'ordre 2 correspondant à la divergence du gradient : $\Delta f = \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$.

Multiplicateurs de Lagrange (système sous contraintes)

Méthode permettant d'intégrer $k$ contraintes $f_s(q) = 0$ aux équations du mouvement : $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum{s=1}^{k} \lambda_s \frac{\partial f_s}{\partial q_i}$.

Crochet de Poisson

Opérateur bilinéaire mesurant l'évolution des observables dans l'espace des phases : ${F, G} = \sum_i \left( \frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial q_i} \right)$.

Évolution temporelle d'une grandeur physique

Dérivée totale d'une fonction $f(q, p, t)$ le long des trajectoires hamiltoniennes : $\frac{df}{dt} = {f, H} + \frac{\partial f}{\partial t}$.

Coordonnée cyclique (ou ignorable)

Coordonnée $q_i$ absente du Lagrangien ($\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$), entraînant la conservation de l'impulsion conjuguée : $p_i = \text{constante}$.

Liaison holonome

Contrainte géométrique s'exprimant sous la forme d'une relation algébrique entre les coordonnées et le temps : $f(r_1, r_2, \dots, r_N, t) = 0$.

Degrés de liberté

Nombre $n$ de coordonnées indépendantes nécessaires pour décrire la configuration d'un système de $N$ points avec $k$ contraintes holonomes : $n = 3N - k$.