Analyse - Convergence simple et Séries entières

Flashcards complètes sous forme de questions-réponses couvrant les notions clés du cours sur la convergence simple des suites et séries de fonctions ainsi que sur les séries entières (rayons de convergence, produit de Cauchy, développements usuels).

Qu'appelle-t-on la convergence simple d'une suite de fonctions $(f_n)$ vers une fonction $f$ sur un ensemble $A$ ?

On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $A$ lorsque, pour tout $x \in A$, la suite numérique $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$, c'est-à-dire : $\forall x \in A, \, \forall \varepsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall n \ge N, \, |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$.

La limite simple d'une suite de fonctions continues est-elle nécessairement continue ? Donnez le contre-exemple de « l'effet de pointe ».

Non, la continuité n'est pas préservée. Pour $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$, chaque $f_n$ est continue, mais la limite simple vaut $f(x) = 0$ pour $0 \le x < 1$ et $f(1) = 1$, qui est discontinue en 1.

La convergence simple d'une suite de fonctions permet-elle d'intervertir limite et intégrale ? Justifiez à l'aide de l'exemple de la « bosse glissante ».

Non. Pour $f_n(x) = n^2 x e^{-nx}$ sur $[0, 1]$, $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $[0, 1]$, d'où $\int_0^1 \lim_{n \to +\infty} f_n(x)\,dx = 0$. Pourtant, $\int_0^1 f_n(x)\,dx = 1 - (n+1)e^{-n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \ne 0$.

Quelles propriétés fonctionnelles usuelles sont conservées par convergence simple sur un intervalle $I$ ?

La monotonie (croissance et décroissance), la convexité (et concavité), le caractère $k$-lipschitzien (avec une constante $k$ commune à toutes les fonctions) et la parité (fonctions paires ou impaires sur un domaine symétrique par rapport à 0).

Quelle condition nécessaire sur le terme général $u_n(x)$ découle de la convergence simple d'une série de fonctions $\sum u_n$ ?

Pour chaque $x \in A$, la suite $(u_n(x))$ doit converger vers 0 ($u_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$). Cette condition n'est pas suffisante, comme le montre la série divergente de fonctions constantes $u_n(x) = \frac{1}{n}$.

Sur quel sous-ensemble de $\mathbb{C}$ la série définissant la fonction zêta de Riemann complexe $\zeta(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^z}$ converge-t-elle absolument ?

Elle converge absolument si et seulement si $\Re(z) > 1$, définissant ainsi la fonction sur le demi-plan complexe $P_1 = \{z \in \mathbb{C} \mid \Re(z) > 1\}$.

Que stipule le lemme d'Abel pour une série entière $\sum a_n z^n$ ?

S'il existe $z_0 \in \mathbb{C}$ tel que la suite $(a_n z_0^n)$ est bornée, alors pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| < |z_0|$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.

Comment définit-on le rayon de convergence $R$ d'une série entière $\sum a_n z^n$ ?

Le rayon de convergence est défini par $R = \sup\{r \ge 0 \mid (|a_n|r^n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est bornée}\}$ dans $\overline{\mathbb{R}_+}$.

Le rayon de convergence $R$ d'une série entière permet-il à lui seul de déterminer son comportement sur le cercle frontière $|z| = R$ ?

Non, la nature sur le bord relève d'une étude particulière : la série peut y diverger partout (comme $\sum z^n$), converger en certains points et diverger en d'autres (comme $\sum \frac{z^n}{n}$), ou y converger absolument partout (comme $\sum \frac{z^n}{n^2}$).

Quelles bornes immédiates sur le rayon de convergence $R$ d'une série entière $\sum a_n z^n$ obtient-on si la suite des coefficients $(a_n)$ est bornée ou ne tend pas vers 0 ?

Si la suite $(a_n)$ est bornée, alors $R \ge 1$. Si la suite $(a_n)$ ne tend pas vers 0, alors $R \le 1$.

Que peut-on affirmer sur le rayon de convergence $R_{a+b}$ de la somme de deux séries entières de rayons $R_a$ et $R_b$ ?

On a toujours $R_{a+b} \ge \min(R_a, R_b)$. Si $R_a \ne R_b$, alors $R_{a+b} = \min(R_a, R_b)$. De même, si les supports de $(a_n)$ et $(b_n)$ sont disjoints, alors $R_{a+b} = \min(R_a, R_b)$.

Comment s'exprime le rayon de convergence $R_a$ d'une série entière complexe $\sum a_n x^n$ par rapport aux rayons de convergence $R_\alpha$ et $R_\beta$ de ses parties réelle et imaginaire ?

En posant $\alpha_n = \Re(a_n)$ et $\beta_n = \Im(a_n)$, on a $R_a = \min(R_\alpha, R_\beta)$.

Comment est défini le produit de Cauchy de deux séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$, et quelle relation lie son rayon aux rayons initiaux ?

C'est la série entière $\sum c_n z^n$ de terme général $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. Son rayon de convergence vérifie $R_{a \star b} \ge \min(R_a, R_b)$.

Est-il vrai que la condition $R_a \ne R_b$ implique $R_{a \star b} = \min(R_a, R_b)$ pour le produit de Cauchy de deux séries entières ?

Non, c'est faux. Par exemple, avec $A(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n$ ($R_a = 1$) et $B(z) = 1 - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{2^n}$ ($R_b = 2$), on obtient $c_n = \frac{1}{2^n}$, donc $R_{a \star b} = 2 > \min(1, 2) = 1$.

Quel est le développement en série entière de la fonction $f(z) = \frac{1}{(1-z)^{p+1}}$ pour $p \in \mathbb{N}$ et $|z| < 1$ ?

Pour tout $p \in \mathbb{N}$ et $|z| < 1$, on a $\frac{1}{(1-z)^{p+1}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{n+p}{p} z^n$, avec un rayon de convergence égal à 1.

Pour $a \ne 0$ et $m \ge 1$, quelle est l'expression du développement en série entière de $\frac{1}{(z-a)^m}$ au voisinage de 0 et quel est son rayon ?

Pour $|z| < |a|$, on a $\frac{1}{(z-a)^m} = (-1)^m \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{n+m-1}{m-1} \frac{z^n}{a^{n+m}}$. Son rayon de convergence est $R = |a|$.

Si $\sum_{n \ge 1} a_n z^n$ est une série entière de rayon $R > 0$, que valent les rayons de convergence des séries $\sum_{n \ge 1} n^\alpha a_n z^n$ ($\alpha \in \mathbb{R}$) et $\sum_{n \ge 1} \frac{a_n}{n!} z^n$ ?

Le rayon de la série $\sum_{n \ge 1} n^\alpha a_n z^n$ est $R_\alpha = R$, et le rayon de la série $\sum_{n \ge 1} \frac{a_n}{n!} z^n$ vaut $+\infty$.

Quels sont les développements en série entière des fonctions $\cos(x)$ et $\sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ?

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\cos(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ et $\sin(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.

Quelle est la valeur de la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ obtenue à l'aide d'un produit de Cauchy ?

Cette somme correspond au produit de Cauchy de $e^x$ et $\frac{1}{1-x}$ évalué en $x = \frac{1}{2}$, et vaut $\frac{e^{1/2}}{1 - 1/2} = 2e^{1/2} = 2\sqrt{e}$.

Quel est le rayon de convergence et la somme de la série entière $B(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+2)!}$ ?

Son rayon est $R = +\infty$. Sa somme vaut $B(0) = \frac{1}{2}$ et pour $x \ne 0$, $B(x) = \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$. Pour $x = 1$, elle donne $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!} = 1 - \cos(1)$.