MAT1 PARCIAL

Valor absoluto

Distancia de un numero al origen, definido como x si x es mayor o igual a cero y menos x si x es menor que cero.

Intervalo cerrado

Conjunto de numeros reales comprendidos entre dos extremos a y b incluidos, expresados como [a, b].

Intervalo abierto

Conjunto de numeros reales comprendidos entre dos extremos a y b excluidos, expresados como (a, b).

Desigualdad

Relacion de orden entre dos expresiones algebraicas utilizando mayor que, menor que, mayor o igual o menor o igual.

Funcion exponencial

Funcion de la forma f(x) = a^x donde la base a es un numero real positivo distinto de uno.

Funcion logaritmica

Inversa de la funcion exponencial, expresada como f(x) = log_a(x).

Identidad trigonometrica fundamental

Relacion basica sen^2(x) + cos^2(x) = 1 que permite deducir y relacionar las demas funciones trigonometricas.

Seno

Funcion trigonometrica basica sen(x), cuya derivada es cos(x).

Coseno

Funcion trigonometrica basica cos(x), cuya derivada es -sen(x).

Tangente

Cociente trigonometrico definido como tan(x) = sen(x) / cos(x), cuya derivada es 1 / cos^2(x).

Limite de una funcion

Valor al que se aproxima una funcion f(x) cuando la variable independiente x se acerca a un punto c.

Continuidad

Una funcion es continua en un punto si el valor de la funcion coincide con su limite en dicho punto y este existe.

Teorema de Bolzano

Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma signos opuestos en los extremos, existe al menos un punto c en el intervalo tal que f(c) = 0.

Teorema de Weierstrass

Toda funcion continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en el un valor maximo absoluto y un valor minimo absoluto.

Derivada

Pendiente de la recta tangente a la curva de la funcion en un punto dado, definida como el limite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero.

Interpretacion geometrica de la derivada

Valor de la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion en un punto especifico.

Interpretacion fisica de la derivada

Tasa de cambio instantanea, como la velocidad instantanea que se obtiene al derivar la posicion respecto al tiempo.

Derivada de una constante

La derivada de cualquier numero constante es cero, f(x) = c implica f'(x) = 0.

Derivada de una potencia

Regla que establece que la derivada de x^n es n * x^(n-1).

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas, (f + g)' = f' + g'.

Derivada del producto

Regla que indica que la derivada de un producto es (f * g)' = f' * g + f * g'.

Derivada del cociente

Regla que indica que la derivada de un cociente es (f / g)' = (f' * g - f * g') / (g^2).

Regla de la cadena

Metodo para derivar funciones compuestas, expresado como (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).

Teorema de Rolle

Si una funcion es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c tal que f'(c) = 0.

Teorema del valor medio

Si una funcion es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe al menos un punto c tal que f(b) - f(a) = f'(c) * (b - a).

Reglas de L'Hopital

Tecnica para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 o infinito/infinito derivando el numerador y el denominador por separado.

Extremos locales

Puntos donde la funcion alcanza un valor maximo o minimo relativo, identificados donde la derivada primera se anula, f'(c) = 0.

Identidad trigonometrica fundamental

Relacion basica sen^2(x) + cos^2(x) = 1 que permite deducir todas las demas relaciones trigonometricas.

Seno

Funcion trigonometrica fundamental sen(x), cuya derivada es cos(x).

Coseno

Funcion trigonometrica fundamental cos(x), cuya derivada es -sen(x).

Tangente

Razon trigonometrica definida como el cociente tan(x) = sen(x) / cos(x), cuya derivada es sec^2(x) o 1 / cos^2(x).

Cotangente

Razon trigonometrica inversa de la tangente, definida como cot(x) = cos(x) / sen(x) = 1 / tan(x), cuya derivada es -csc^2(x).

Secante

Razon trigonometrica inversa del coseno, definida como sec(x) = 1 / cos(x), cuya derivada es sec(x) * tan(x).

Cosecante

Razon trigonometrica inversa del seno, definida como csc(x) = 1 / sen(x), cuya derivada es -csc(x) * cot(x).

Seno hiperbolico

Funcion hiperbolica definida como senh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2, cuya derivada es cosh(x).

Coseno hiperbolico

Funcion hiperbolica definida como cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2, cuya derivada es senh(x).

Tangente hiperbolica

Cociente hiperbolico definido como tanh(x) = senh(x) / cosh(x), cuya derivada es sech^2(x).

Relacion fundamental hiperbolica

Identidad trigonometrica hiperbolica que establece que cosh^2(x) - senh^2(x) = 1.

Arco seno

Funcion inversa del seno, escrita como arcsen(x), cuya derivada es 1 / raiz cuadrada de (1 - x^2).

Arco coseno

Funcion inversa del coseno, escrita como arccos(x), cuya derivada es -1 / raiz cuadrada de (1 - x^2).

Arco tangente

Funcion inversa de la tangente, escrita como arctan(x), cuya derivada es 1 / (1 + x^2).