reduction d endomorphisme

[Valeur propre] Qu’est-ce qu’une valeur propre de f ?

λ∈K est une valeur propre de f si et seulement s’il existe x∈E non nul tel que f(x)=λx.

[Endomorphisme] Qu’appelle-t-on le spectre de f ?

Le spectre de f, noté sp(f), est l’ensemble des valeurs propres de f.

[Vecteur propre] Qu’est-ce qu’un vecteur propre associé à λ ?

Si λ est une valeur propre de f, tout vecteur x∈E non nul tel que f(x)=λx est un vecteur propre de f associé à λ.

[Valeur propre et noyau] Comment caractériser λ comme valeur propre à l’aide de f−λId ?

λ est valeur propre de f si et seulement si ker(f−λId)≠{0_E}, si et seulement si f−λId n’est pas injective.

[Vecteur propre et noyau] Comment caractériser les vecteurs propres associés à λ à l’aide du noyau ?

x est un vecteur propre de f associé à λ si et seulement si x≠0_E et x∈ker(f−λId).

[Valeur propre 0] Quand 0 est-il valeur propre de f ?

0 est valeur propre de f si et seulement si ker(f)≠{0_E}, c’est-à-dire si et seulement si f n’est pas injective.

[Sous-espace propre] Qu’est-ce que le sous-espace propre associé à λ ?

Pour une valeur propre λ de f, le sous-espace propre associé à λ est ker(f−λId).

[Sous-espace propre] Quelle notation utilise-t-on pour le sous-espace propre associé à λ, et quelle écriture équivalente peut-on employer ?

On note E_λ(f)=ker(f−λId). On a aussi E_λ(f)=ker(λId−f).

[Dimension d’un sous-espace propre] Comment calculer la dimension de E_λ(f) lorsque E est de dimension finie ?

Si E est de dimension finie et λ est une valeur propre de f, alors dim(E_λ(f))=dim(E)−rg(f−λId).

[Sous-espaces propres] Que peut-on dire des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes ?

Si λ₁,…,λₖ sont des valeurs propres deux à deux distinctes de f, alors E_{λ₁}(f)+…+E_{λₖ}(f) est une somme directe.

[Vecteurs propres] Quelle propriété de liberté relie des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ?

Toute famille de vecteurs propres de f associés à des valeurs propres distinctes est libre. Plus généralement, la juxtaposition de familles libres de vecteurs propres associées respectivement à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.

[Nombre de valeurs propres] Quelle borne existe sur le nombre et les dimensions des sous-espaces propres en dimension finie ?

Si dim(E)=n, alors la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est inférieure ou égale à n. En particulier, f admet au plus n valeurs propres.

[Somme des sous-espaces propres] Comment noter la somme directe de tous les sous-espaces propres ?

Si f admet les valeurs propres λ₁,…,λₖ, on peut écrire ⨁{λ∈sp(f)}Eλ(f)=⨁_{i=1}ᵏker(f−λᵢId).

[Matrice et endomorphisme associé] Comment l’endomorphisme canoniquement associé à M agit-il sur un vecteur colonne X ?

Pour M∈Mₙ(K), l’endomorphisme canoniquement associé à M agit par φ(X)=MX sur les vecteurs colonnes X∈Mₙ,₁(K), identifiés à Kⁿ.

[Valeur propre d’une matrice] Comment définir une valeur propre et un vecteur propre d’une matrice M ?

λ∈K est une valeur propre de M∈Mₙ(K) s’il existe un vecteur colonne non nul X∈Kⁿ tel que MX=λX. X est alors un vecteur propre associé à λ.

[Sous-espace propre d’une matrice] Comment définir le sous-espace propre d’une matrice M associé à λ ?

E_λ(M)=ker(φ−λId_{Kⁿ}), où φ est l’endomorphisme canoniquement associé à M. On note aussi, de manière légèrement abusive, E_λ(M)=ker(M−λIₙ).

[Diagonalisation d’un endomorphisme] Quelles caractérisations équivalentes définissent un endomorphisme diagonalisable en dimension finie ?

Pour f∈L(E), avec dim(E)=n>0, les assertions suivantes sont équivalentes : 1. E possède une base de vecteurs propres de f. 2. La matrice de f est diagonale dans une base de E. 3. E=⨁{λ∈sp(f)}Eλ(f). 4. ∑{λ∈sp(f)}dim(Eλ(f))=n. 5. ∑_{λ∈sp(f)}dim(ker(f−λId))≥n.

[Endomorphisme diagonalisable] Quand dit-on que f est diagonalisable ?

f est diagonalisable si et seulement s’il vérifie l’une des caractérisations équivalentes de la proposition précédente.

[Base de diagonalisation] Que signifie que f est diagonalisable dans une base B ?

Cela signifie que la matrice de f dans la base B est diagonale.

[Base de diagonalisation] La base dans laquelle un endomorphisme est diagonalisable est-elle unique ?

Non. Toute permutation des vecteurs d’une base de diagonalisation donne encore une base dans laquelle f est diagonalisable.

[Projecteur] Comment caractériser un projecteur parmi les endomorphismes diagonalisables ?

Un endomorphisme p est un projecteur si et seulement s’il est diagonalisable et sp(p)⊂{0,1}.

[Symétrie] Comment caractériser une symétrie parmi les endomorphismes diagonalisables ?

Un endomorphisme s est une symétrie si et seulement s’il est diagonalisable et sp(s)⊂{−1,1}.

[Valeurs propres distinctes] Quelle condition suffisante garantit la diagonalisabilité de f ?

Si f admet n=dim(E) valeurs propres distinctes, alors chaque sous-espace propre est de dimension 1 et f est diagonalisable.

[Diagonalisation] Un endomorphisme doit-il avoir n valeurs propres pour être diagonalisable ?

Non. Par exemple, l’identité de E est diagonalisable et n’admet qu’une seule valeur propre, égale à 1.

[Matrice diagonalisable] Que signifie qu’une matrice M est diagonalisable ?

M∈Mₙ(K) est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale. La diagonaliser consiste à trouver P inversible et D diagonale telles que D=P⁻¹MP.

[Matrice et endomorphisme] Quel lien existe-t-il entre la diagonalisabilité d’une matrice et celle de l’endomorphisme qu’elle représente ?

Si M est la matrice de f dans une base B, alors M est diagonalisable si et seulement si f est diagonalisable.

[Matrice diagonalisable] Comment sont répartis les coefficients diagonaux d’une matrice diagonale semblable à une matrice diagonalisable ?

Si M a pour valeurs propres distinctes λ₁,…,λₖ et dim(E_{λᵢ})=nᵢ, alors M est semblable à une matrice diagonale où λᵢ apparaît nᵢ fois, avec n₁+…+nₖ=n.

[Déterminant et similitude] Que peut-on dire du déterminant de deux matrices semblables ?

Deux matrices semblables ont le même déterminant.

[Déterminant d’un endomorphisme] Comment définit-on le déterminant d’un endomorphisme de dimension finie ?

C’est le déterminant de la matrice de f dans une base quelconque. Il ne dépend pas de la base et se note det(f).

[Polynôme caractéristique d’un endomorphisme] Comment définit-on le polynôme caractéristique de f ?

Pour un endomorphisme f d’un espace de dimension finie, son polynôme caractéristique est χ_f(X)=det(XId−f).

[Valeurs propres et polynôme caractéristique] Quel lien existe-t-il entre les valeurs propres de f et son polynôme caractéristique ?

Les valeurs propres de f sont les racines de χ_f.

[Polynôme caractéristique d’une matrice] Comment définit-on le polynôme caractéristique de M∈Mₙ(K) ?

χ_M(X)=det(XIₙ−M).

[Polynôme caractéristique et changement de base] Que peut-on dire des polynômes caractéristiques de deux matrices semblables ?

Elles ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres.

[Déterminant d’une matrice affine] Quel degré peut avoir le déterminant d’une matrice dont les coefficients dépendent affinement de x ?

Si A(x)∈Mₙ(K) a des coefficients affines en x, alors x↦det(A(x)) est polynomiale de degré inférieur ou égal à n. Si une colonne de A(x) est indépendante de x, son degré est inférieur ou égal à n−1.

[Coefficients du polynôme caractéristique] Que donnent le degré et les principaux coefficients de χ_M ?

Pour M∈Mₙ(K), χ_M est de degré n, de coefficient dominant 1, de coefficient de X^{n−1} égal à −tr(M), et de terme constant égal à (−1)ⁿdet(M).

[Multiplicité d’une racine] Que signifie qu’un scalaire a est racine de multiplicité k d’un polynôme P ?

Il existe Q∈K[X] tel que P=(X−a)ᵏQ avec Q(a)≠0.

[Multiplicité d’une racine] Comment caractériser une racine de multiplicité k à l’aide des dérivées ?

a est racine de P de multiplicité k si et seulement si P(a)=P′(a)=…=P^{(k−1)}(a)=0 et P^{(k)}(a)≠0.

[Polynôme scindé] Que signifie qu’un polynôme non constant est scindé sur K ?

Il existe des scalaires distincts a₁,…,aᵣ∈K, des entiers k₁,…,kᵣ non nuls et C∈K tels que P=C∏_{i=1}ᵣ(X−aᵢ)^{kᵢ}.

[Polynôme scindé] Comment caractériser un polynôme scindé par les multiplicités de ses racines ?

Un polynôme non constant est scindé si et seulement si la somme des multiplicités de ses racines est égale à son degré.

[Théorème de d’Alembert-Gauss] Que dit le théorème de d’Alembert-Gauss sur les racines complexes ?

La somme des multiplicités des racines d’un polynôme complexe non nul est égale à son degré.

[Polynôme réel] Que peut-on dire de la somme des multiplicités des racines réelles d’un polynôme réel non nul ?

Elle est inférieure ou égale au degré du polynôme.

[Polynôme et racines] Quand un polynôme de degré au plus n est-il nécessairement nul ?

Si P∈K[X], deg(P)≤n, et si la somme des multiplicités de ses racines est supérieure ou égale à n+1, alors P est nul.

[Multiplicité d’une valeur propre] Comment définit-on la multiplicité d’une valeur propre λ d’une matrice M ?

C’est la multiplicité de λ comme racine du polynôme caractéristique de M. On la note m(λ).

[Multiplicités des valeurs propres] Quelle relation existe entre la somme des multiplicités des valeurs propres et le degré de χ_M ?

La somme des multiplicités des valeurs propres de M∈Mₙ(K) est inférieure ou égale à n. Elle vaut n si et seulement si χ_M est scindé ; en particulier, elle vaut n si K=C.

[Multiplicité géométrique et algébrique] Quel lien existe-t-il entre la dimension d’un sous-espace propre et la multiplicité de la valeur propre ?

Pour toute valeur propre λ de M, dim(E_λ(M))=dim(ker(M−λIₙ))≤m(λ).

[Trace, déterminant et valeurs propres] Que deviennent la trace et le déterminant lorsque χ_M est scindé ?

La trace de M est la somme de ses valeurs propres et son déterminant est leur produit, les valeurs propres étant comptées avec leurs multiplicités.

[Diagonalisation d’une matrice] Quel critère utilise la multiplicité des valeurs propres pour décider si M est diagonalisable ?

M est diagonalisable si et seulement si χM est scindé et, pour chaque valeur propre λ, dim(Eλ(M))=m(λ). En particulier, si dim(E_λ(M))<m(λ) pour une valeur propre, M n’est pas diagonalisable.

[Convergence dans Kᵖ] Comment se définit la convergence d’une suite de vecteurs par composantes ?

Pour X=(a₁,…,aₚ)ᵀ et Xₙ=(x₁(n),…,xₚ(n))ᵀ dans Kᵖ, Xₙ→X si et seulement si, pour chaque i∈⟦1,p⟧, xᵢ(n)→aᵢ. La définition s’applique de façon analogue aux matrices.

[Limite d’une suite] Que peut-on dire de la limite d’une suite convergente de Kᵖ ?

Elle est unique.

[Combinaison linéaire et limites] Comment une combinaison linéaire de suites convergentes se comporte-t-elle ?

Si Xₙ→X et Yₙ→Y dans Kᵖ, alors, pour tous λ,μ∈K, λXₙ+μYₙ→λX+μY.

[Produit matrice-vecteur et limite] Comment se comporte le produit par une matrice fixe sur une suite convergente ?

Si A∈Mₙ,ₚ(K) et Xₖ→X dans Mₚ,₁(K), alors AXₖ→AX dans Mₙ,₁(K).

[Produit de matrices et limites] Comment se comporte le produit de deux suites de matrices convergentes ?

Si Aₙ→A dans Mₐ,ᵦ(K) et Bₙ→B dans Mᵦ,𝑐(K), alors AₙBₙ→AB dans Mₐ,𝑐(K).

[Convergence et changement de base] La convergence d’une suite de vecteurs dépend-elle de la base choisie ?

Non. Si Yₙ et Y sont les coordonnées de Xₙ et X dans une base B de Kᵖ, alors Xₙ→X si et seulement si Yₙ→Y.

[Convergence et similitude] Comment la convergence d’une suite de matrices se comporte-t-elle par conjugaison fixe ?

Pour P∈GLₙ(K), Aₖ→A si et seulement si P⁻¹AₖP→P⁻¹AP.