school math

Натуральные числа

числа, используемые при счёте предметов: 1, 2, 3, …

Целые числа

натуральные числа, нуль и числа, противоположные натуральным

Рациональные числа

числа, представимые в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное

Иррациональные числа

числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n

Действительные числа

объединение рациональных и иррациональных чисел

Модуль числа

расстояние от числа до нуля на координатной прямой, |a| = a при a ≥ 0 и |a| = −a при a < 0

Процент

сотая часть числа, 1% = 0,01

Пропорция

равенство двух отношений, a/b = c/d

Основное свойство пропорции

произведение крайних членов равно произведению средних: ad = bc

Степень с натуральным показателем

aⁿ = a·a·…·a (n раз)

Свойство степеней при умножении

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Свойство степеней при делении

aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Свойство степени степени

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

Степень с отрицательным показателем

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Степень с дробным показателем

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

Арифметический квадратный корень

неотрицательное число, квадрат которого равен a

Свойство корня произведения

√(ab) = √a·√b

Свойство корня частного

√(a/b) = √a/√b

Логарифм

logₐb — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b

Основное логарифмическое тождество

a^(logₐb) = b

Логарифм произведения

logₐ(bc) = logₐb + logₐc

Логарифм частного

logₐ(b/c) = logₐb − logₐc

Логарифм степени

logₐ(bᵏ) = k·logₐb

Переход к новому основанию логарифма

logₐb = log_c b / log_c a

Одночлен

произведение чисел и переменных в натуральных степенях

Многочлен

сумма одночленов

Формула квадрата суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Формула квадрата разности

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Формула разности квадратов

a² − b² = (a − b)(a + b)

Формула куба суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Формула куба разности

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Формула суммы кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Формула разности кубов

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Линейное уравнение

уравнение вида ax = b, решение x = b/a при a ≠ 0

Квадратное уравнение

уравнение вида ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Дискриминант квадратного уравнения

D = b² − 4ac

Корни квадратного уравнения

при D > 0 x = (−b ± √D)/(2a)

Теорема Виета

для x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, произведение равно q

Неравенство

утверждение о сравнении двух выражений

Решение неравенства

множество значений переменной, при которых неравенство истинно

Метод интервалов

способ решения неравенств через разбиение числовой прямой корнями

Система уравнений

набор уравнений, решения которых должны удовлетворять всем уравнениям одновременно

Функция

зависимость, при которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции

Область определения функции

множество всех допустимых значений аргумента

Область значений функции

множество всех значений, которые принимает функция

График функции

множество точек координатной плоскости (x, f(x))

Линейная функция

y = kx + b, график — прямая

Угловой коэффициент

k в уравнении y = kx + b, равен тангенсу угла наклона прямой

Квадратичная функция

y = ax² + bx + c, график — парабола

Вершина параболы

точка с координатами x = −b/(2a), y = f(−b/(2a))

Ось симметрии параболы

прямая x = −b/(2a)

Степенная функция

y = xⁿ

Показательная функция

y = aˣ, a > 0, a ≠ 1

Логарифмическая функция

y = logₐx, обратная к показательной

Арифметическая прогрессия

последовательность, каждый член которой получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d

Формула n-го члена арифметической прогрессии

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Сумма n членов арифметической прогрессии

Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2

Геометрическая прогрессия

последовательность, каждый член которой получается из предыдущего умножением на постоянное число q

Формула n-го члена геометрической прогрессии

bₙ = b₁·qⁿ⁻¹

Сумма n членов геометрической прогрессии

Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия

геометрическая прогрессия с |q| < 1, её сумма S = b₁/(1 − q)

Синус острого угла прямоугольного треугольника

отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

отношение противолежащего катета к прилежащему

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

отношение прилежащего катета к противолежащему

Основное тригонометрическое тождество

sin²α + cos²α = 1

Тангенс через синус и косинус

tgα = sinα/cosα

Котангенс через синус и косинус

ctgα = cosα/sinα

Формулы приведения

правила преобразования тригонометрических функций углов вида π/2 ± α, π ± α и т.п.

Синус суммы

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

Синус разности

sin(α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ

Косинус суммы

cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ

Косинус разности

cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ

Синус двойного угла

sin2α = 2sinα·cosα

Косинус двойного угла

cos2α = cos²α − sin²α

Теорема синусов

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R, где R — радиус описанной окружности

Теорема косинусов

c² = a² + b² − 2ab·cosC

Площадь треугольника через две стороны и угол

S = ½ab·sinC

Формула Герона

S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр

Площадь параллелограмма

S = a·h = ab·sinα

Площадь трапеции

S = (a + b)/2 · h

Площадь круга

S = πR²

Длина окружности

C = 2πR

Длина дуги окружности

l = πRα/180°, где α — угол в градусах

Площадь сектора

S = πR²α/360°

Теорема Пифагора

в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b²

Сумма углов треугольника

равна 180°

Сумма углов выпуклого n-угольника

180°(n − 2)

Признаки равенства треугольников

по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам

Признаки подобия треугольников

по двум углам, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, по трём пропорциональным сторонам

Средняя линия треугольника

отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине

Теорема Фалеса

параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают пропорциональные отрезки

Вписанный угол

угол, вершина которого лежит на окружности, равен половине соответствующего центрального угла

Центральный угол

угол с вершиной в центре окружности, равен дуге, на которую опирается

Угол между касательной и хордой

равен половине дуги, заключённой между ними

Теорема о касательной и секущей

квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть

Вписанная окружность

окружность, касающаяся всех сторон многоугольника

Описанная окружность

окружность, проходящая через все вершины многоугольника

Радиус вписанной окружности в треугольник

r = S/p, где p — полупериметр

Радиус описанной окружности около треугольника

R = abc/(4S)