Mengen und Zahlen

Was sind Zahlenbereiche?

Zahlenbereiche teilen sich auf in die

• natürliche ($\mathbb{N}=${$0;1;2;3;\ldots$ } ),

• ganze ($\mathbb{Z}=${$…;-1;0;1;2;…$} ),

• rationale ($\mathbb{Q} =$ { $…;-0,75;\frac{-3}{4};0,2,…$} ),

• reelle ($\mathbb{R}=${$\ldots;e;\surd2;\pi;\ldots$ } ) und

• komplexe Zahlen ($\mathbb{C}$).

Zahlenbereich $\mathbb{N}$

Natürliche Zahlen der Menge {$0;1;2;3;\ldots$ }

Eigenschaft: Ergebnis bei $+$ und $×$ ist immer eine natürliche Zahl

Problem: Ergebnis bei $–$ ist nicht immer eine natürliche Zahl.

Zahlenbereich $\mathbb{Z}$

Ganze Zahlen der Menge {$…; –2; –1; 0; 1; 2; …$ }

Eigenschaft: Ergebnis bei +, – & × ist immer eine ganze Zahl.

Problem: Ergebnis bei ÷ ist nicht immer eine ganze Zahl.

Zahlenbereich $\mathbb{Q}$

Rationale Zahlen der Menge { $\frac{p}{q}$ | $p,q ∈ Q, q ≠ 0$ }

Eigenschaft: Ergebnis bei +, –, × und ÷ ist wieder eine rationale Zahl.

Problem: “Lücken” in der Zahlengerade, z. B. fehlt eine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Zahlenbereich $\mathbb{R}$

Reelle Zahlen der ganzen Zahlengerade (auch $\surd2\thickapprox1,41;\pi\thickapprox3,14$ sind z. B. reell.)

Eigenschaft: Ergebnis bei $+$, $–$, $×$ und $÷$ ist wieder eine reelle Zahl.

Problem: Die Gleichung $x² = –1$ hat keine Lösung.

Zahlenbereich $\mathbb{C}$

Komplexe Zahlen der Form $a + bi$, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen und $i$ die imaginäre Einheit ist.

Eigenschaft: Ergebnis bei +, –, × und ÷ ist wieder eine komplexe Zahl. Kann $x² = –1$ lösen.

Problem: Geometrische Darstellung in der Ebene erfordert zwei Dimensionen.

Wie kann man Teilmengen spezifizieren?

1. Index- & Exponenzialzeichen = (z. B. $\mathbb{R}^+$)

2. Mengenbauschreibweise = { $x ∈ \mathbb{N}$ | $B(x)$}

3. Intervallschreibweise = $[a, b)$ od. $(a, b]$

4. Differenzmenge (Mengenabzug) = $\mathbb{R}$ \ {$0$}

5. Teilmengenrelation = $A ⊂ B$

Index und Exponent bei Zahlenbereichen

Spezifiziert eine Teilmenge:

Ein hochgestelltes + bzw. − schließt die Null aus; eine tiefgestellte 0 schließt sie ein. Ein * bezeiht alle Zahlen außer der Null ein.

N+ bzw. N*	nur positiv, ohne 0	{1,2,3,…}
N0​	mit 0	{0,1,2,…}
Z+ / Z-	positive / negative ganze Zahlen	{1,2,…} / {−1,−2,…}
Q+ / Q-	positive / negative rationale Zahlen
R+ / R-	positive / negative reelle Zahlen
R+0​	reelle Zahlen ≥0

∈, ∉

∈ = “ist Element von” ; “liegt in”

∉ = “ist kein Element von” ; “liegt nicht in”

Was ist die Mengenbauschreibweise?

auch genannt “beschreibende Mengenschreibweise”

Beispiel: { $x ∈ N$ $|$ $x > 5$ und $x$ gerade }

Definiert Menge nicht durch Aufzählen aller Elemente, sondern durch eine Bedingung, die alle Elemente erfüllen müssen.

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$M =$ { $x ∣ x$ erfüllt Bedingung $B$ }

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$x$ = das typische Element (Variable)

$|$ = “für die gilt” / “mit der Eigenschaft”

$B$ = die Bedingung (in Aussageform)

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normalerweise mit Grundmenge:

$M =$ { $x ∈ G$ $|$ $B(x)$ }

“$M$ ist die Menge aller $x$, die in $G$ liegen, für die gilt: Bedingung von $x$.”

Was ist eine Differenzmenge bzw. Mengenabzug?

R \ {0}

gesprochen: “R ohne Null.”

Wie stellt man in allen Teilmengenschreibweisen dar, dass eine Menge aus allen Elementen außer der Null im reellen Zahlenbereich besteht?

$\mathbb{R}$^* : Exponenzialzeichen
$=$ $\mathbb{R}$ \ {$0$} : Mengenabzug
$=$ { $x ∈$$\mathbb{R}$ | $x ≠ 0$ } : Mengenbau
$= (–∞,0) ∪ (0,∞)$ : Intervallschreibweise
$= \mathbb{R}$^*$⊂ \mathbb{R}$ : Teilmengenrelation

Die aufzählende Schreibweise (Aufzählung) ist nicht möglich.

Wie sieht die aufzählende Schreibweise der Menge aller natürlichen Zahlen, die zwischen 2 und 16 aus?

{$3; 4; …; 15$}
$=$ { $x ∈ \mathbb{N}$ | $x$ liegt zwischen 2 und 16}

Sind Mengen und Listen gleich?

Nein, bei einer Menge spielt es keine Rolle, wie oft dieselbe Zahl aufgezählt wird. Auch die Reihenfolge ist egal.

z. B. {$1; 1; 2; 2; 2; 2$} $=$ {$1;2$} $=$ {$2; 1$}

Wie lassen sich mehrere Mengen miteinander kombinieren?

mit der Vereinigung $∪$, dem Durchschnitt $∩$ und der Differenz \.

a) $A∪B =$ { $x$ | $x ∈ A$ oder $x ∈ B$}

b) $A∩B =$ { $x$ | $x ∈ A$ und $x ∈ B$}

c) $A$ \ $B =$ { $x$ | $x ∈ A$ und $x ∉ B$}

Das “oder” und das “und” sich logisch gemeint.

Vereinigung, Durchschnitt und Differenz der beiden Mengen A = {1; 2; 3; 4} und B = {3; 4; 5}

$A∪B =$ {$1; 2; 3; 4; 5$}

$A∩B =$ {$3;4$}

$A$ \ $B =$ {$1;2$}

Was ist eine Gegenzahl?

Für jede natürliche Zahl $1, 2, …$ lässt sich eine Gegenzahl konstruieren, sodass die Summer beider Zahlen gerade Null ergibt. $1$ und $–1$ z. B.

Sie wird mit dem negativen Vorzeichen gebildet.

Regel: Vorzeichenregel

Für die beliebige ganze Zahlen a und b gilt:

$$(–a)×b=a×(–b)=–(a×b)$$

Man kann die letzten Klammern auch weglassen und schreibt $–a×b$. Außerdem ist

$(–a)×(–b)=a×b$.

Entsprechend gelten für die Division

$(–a)÷b=a÷(–b)=–(a÷b)=–a÷b$,

$(–a)÷(–b)=a÷b$.

Definition: Rationale Zahlen

$\mathbb{Q}$ = {$\frac{p}{q}$ | $p,q ∈ \mathbb{Z}, q ≠ 0$}

“Rationale Zahlen sind die Division der Variablen p und q, für die gilt: p und q sind Element der ganzen Zahlen und q ist nicht Null.”

p = Zähler; q = Nenner

Satz: Quadratwurzel

Konstruiert man über dem Einheitsintervall der Zahlengerade von bis ein Quadrat und schlägt um einen Kreis, der durch die rechte obere Ecke des Quadrates geht, so schneidet dieser die Zahlengerade in keinem rationalen Punkt, sondern √2.

Die Quadratwurzel liegt dennoch auf der Zahlengeraden.

Begriffe der Grundrechenarten

• $Addition$ besteht aus Summanden und ergeben eine Summe.

• $Subtraktion$ besteht aus einem Minuend und einem Subtrahend und ergeben eine Differenz.

• $Multiplikation$ besteht aus Faktoren und ergeben ein Produkt.

• $Division$ besteht aus einem Dividend und einem Divisor und ergeben ein Quotient.

Reihenfolge der Rechnung

1. Klammern berechnen

2. Exponenzieren

3. Punktrechenoperationen

4. Strichrechenoperationen

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$2×4+5×(3+2)²$
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1. $$… × (3 + 2)² = … × 5²$$

2. $$…×5²=…×25$$

3. $$2×4+5×25=8+125$$

4. $$8+125=133$$