Topologie des Espaces Vectoriels Normés

Flashcards complètes sur le cours de topologie des espaces vectoriels normés : normes, distances, boules, suites convergentes et extraites, comparaison de normes, convexité, adhérence, densité et parties fermées.

Quels sont les quatre axiomes définissant une norme $N$ sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ ?

Pour tous $x, y \in E$ et tout $\alpha \in \mathbb{K}$ :

1. Positivité (N-P) : $N(x) \in \mathbb{R}^+$
2. Séparation (N-S) : $N(x) = 0 \implies x = 0_E$
3. Homogénéité (N-H) : $N(\alpha x) = |\alpha| N(x)$
4. Inégalité triangulaire (N-IT) : $N(x + y) \le N(x) + N(y)$

Quelle est l'expression de la seconde inégalité triangulaire pour une norme $N$ sur un espace vectoriel $E$ ?

Pour tous $x, y \in E$ : $|N(x) - N(y)| \le N(x - y)$ En remplaçant $y$ par $-y$, on obtient également $|N(x) - N(y)| \le N(x + y)$.

Comment est définie la distance $d_N$ associée à une norme $N$ sur un espace vectoriel $E$, et quelle propriété d'invariance vérifie-t-elle ?

Elle est définie par $d_N(x, y) = N(x - y)$ pour tous $x, y \in E$. Elle est invariante par translation : pour tout $a \in E$, $d_N(x + a, y + a) = d_N(x, y)$.

Comment est définie la distance discrète (ou grossière) sur un ensemble $X$ quelconque ?

Pour tous $x, y \in X$ : $d(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y \\ 1 & \text{si } x \neq y \end{cases}$

Soient $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, $N_F$ une norme sur $F$ et $T : E \rightarrow F$ une application linéaire. À quelle condition $x \mapsto N_F(T(x))$ définit-elle une norme sur $E$ ?

L'application $x \mapsto N_F(T(x))$ est une norme sur $E$ si, et seulement si, $T$ est injective (c'est-à-dire $\ker(T) = \{0_E\}$).

Quelle est la définition d'une partie bornée $A$ dans un espace vectoriel normé $E$ ?

Une partie $A \subset E$ est bornée s'il existe $a \in E$ et $r > 0$ tels que $A \subset B(a, r)$ (ou de façon équivalente, s'il existe $R > 0$ tel que $A \subset B(0_E, R)$).

Quelles sont les relations de comparaison optimales entre les trois normes standard $N_1$, $N_2$ et $N_\infty$ sur $\mathbb{K}^d$ ($d \ge 1$) ?

Pour tout $x \in \mathbb{K}^d$ :

• $N_\infty(x) \le N_1(x) \le d N_\infty(x)$
• $N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{d} N_\infty(x)$
• $N_2(x) \le N_1(x) \le \sqrt{d} N_2(x)$

Sur ce schéma représentant les boules ouvertes de rayon $1$ centrées en $0$ dans $\mathbb{R}^2$, à quelles normes ($N_1$, $N_2$, $N_\infty$) correspondent respectivement les losanges, les disques et les carrés ?

• Le losange orange correspond à la boule pour la norme $N_1$.
• Le disque bleu correspond à la boule pour la norme $N_2$.
• Le carré vert correspond à la boule pour la norme $N_\infty$.

Quelle est la définition de la convergence d'une suite $(u_n)$ vers $\ell$ dans un espace vectoriel normé $(E, N)$ ?

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in E$ si $N(u_n - \ell) \rightarrow 0$, c'est-à-dire si : $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \ge n_0, N(u_n - \ell) < \varepsilon$

Quelles sont les conséquences immédiates de la convergence d'une suite $(u_n)$ vers $\ell$ dans un e.v.n. ?

1. La limite $\ell$ est unique.
2. La norme converge : $N(u_n) \rightarrow N(\ell)$.
3. Toute suite convergente est bornée.

Quelle condition nécessaire et suffisante portant sur les termes de rang pair et impair assure la convergence d'une suite $(u_n)$ vers $\ell$ ?

Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ si, et seulement si, les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent toutes deux vers la même limite $\ell$.

Dans un espace vectoriel de dimension finie $\mathbb{K}^d$ muni d'une norme standard, quelle est la caractérisation de la convergence d'une suite $(x_n)$ ?

Une suite $(x_n)$ converge vers $x$ si, et seulement si, chacune de ses suites coordonnées converge vers la coordonnée correspondante de $x$.

Quelles sont les définitions et les inégalités de comparaison des normes $N_1$, $N_2$ et $N_\infty$ sur $C^0([a, b], \mathbb{K})$ avec $a < b$ ?

Pour $f \in C^0([a, b], \mathbb{K})$ :

• $N_1(f) = \int_a^b |f(t)|\,dt$
• $N_2(f) = \left(\int_a^b |f(t)|^2\,dt\right)^{1/2}$
• $N_\infty(f) = \sup_{t \in [a, b]} |f(t)|$ Elles vérifient : $N_1 \le (b - a)N_\infty$, $N_2 \le \sqrt{b - a}N_\infty$ et $N_1 \le \sqrt{b - a}N_2$.

Pour une suite de fonctions continues sur $[a, b]$, quelles implications existent entre la convergence uniforme, la convergence en moyenne quadratique et la convergence en moyenne ?

1. La convergence uniforme entraîne la convergence en moyenne quadratique et la convergence en moyenne.
2. La convergence en moyenne quadratique entraîne la convergence en moyenne. Les réciproques sont en général fausses (comme le montrent les suites de fonctions pics).

Comment est définie la norme produit standard sur $E = E_1 \times \dots \times E_p$, où les $(E_i, N_i)$ sont des e.v.n. ?

Pour tout $x = (x_1, \dots, x_p) \in E$ : $N(x) = \max_{1 \le i \le p} N_i(x_i)$

Pour la norme produit $N(x) = \max_{1 \le i \le p} N_i(x_i)$ sur $E_1 \times \dots \times E_p$, que valent les boules ouvertes et fermées de centre $a = (a_1, \dots, a_p)$ et de rayon $r$ ?

Les boules sont les produits des boules de même rayon dans les espaces facteurs : $B_E(a, r) = \prod_{i=1}^p B_{E_i}(a_i, r)$ et $\overline{B}_E(a, r) = \prod_{i=1}^p \overline{B}_{E_i}(a_i, r)$.

Quelle est la définition d'une partie convexe $A$ d'un espace vectoriel réel $E$ ?

Une partie $A \subset E$ est convexe si pour tous $a, b \in A$ et tout $t \in [0, 1]$, $(1 - t)a + tb \in A$, c'est-à-dire que le segment $[a, b] \subset A$.

Dans un espace vectoriel normé réel, les boules ouvertes et fermées sont-elles convexes ?

Oui, pour tout centre $a \in E$ et tout rayon $r > 0$, les boules ouvertes $B(a, r)$ et fermées $\overline{B}(a, r)$ sont toujours des parties convexes de $E$.

Comment définit-on l'enveloppe convexe $\operatorname{Conv}(A)$ d'une partie $A \subset E$ ?

L'enveloppe convexe de $A$, notée $\operatorname{Conv}(A)$, est le plus petit convexe contenant $A$. Elle est égale à l'intersection de tous les convexes de $E$ qui contiennent $A$.

Quelle est la définition de deux normes équivalentes $N_1$ et $N_2$ sur un même espace vectoriel $E$ ?

Deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes s'il existe des réels $\alpha, \beta > 0$ tels que : $N_1 \le \alpha N_2$ et $N_2 \le \beta N_1$ (ou de façon équivalente, s'il existe $\alpha_1, \alpha_2 > 0$ tels que $\alpha_1 N_1 \le N_2 \le \alpha_2 N_1$).

Quel résultat fondamental caractérise les normes sur un espace vectoriel normé de dimension finie ?

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Pourquoi les normes $A(P) = \sum_{k \ge 0} |a_k|$ et $W(P) = \sum_{k \ge 0} \frac{|a_k|}{k + 1}$ sur $\mathbb{R}[X]$ ne sont-elles pas équivalentes ?

Pour les monômes $P_n = X^n$, on a $A(P_n) = 1$ et $W(P_n) = \frac{1}{n + 1}$. Comme $\frac{A(P_n)}{W(P_n)} = n + 1 \rightarrow +\infty$, il n'existe aucune constante $C > 0$ telle que $A \le CW$.

Quelle est la définition d'un point adhérent à une partie $A$ d'un e.v.n. $E$ ?

Un point $x \in E$ est adhérent à $A$ si toute boule centrée en $x$ rencontre $A$ : $\forall r > 0, B(x, r) \cap A \neq \varnothing$

Quelle est la caractérisation séquentielle de l'adhérence d'une partie $A \subset E$ ?

Un point $x \in E$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $x$.

Quelles sont les relations vérifiées par l'adhérence pour l'inclusion, l'idempotence, la réunion et l'intersection ?

Pour toutes parties $A, B \subset E$ :

1. Monotonie : si $A \subset B$, alors $\overline{A} \subset \overline{B}$
2. Idempotence : $\overline{\overline{A}} = \overline{A}$
3. Réunion : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
4. Intersection : $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$ (l'inclusion peut être stricte)

Quelle est l'adhérence d'une boule ouverte $B(a, r)$ dans un espace vectoriel normé ?

L'adhérence d'une boule ouverte $B(a, r)$ est la boule fermée de même centre et de même rayon : $\overline{B(a, r)} = \overline{B}(a, r)$

Quelle est la définition d'une partie dense $A$ dans un espace vectoriel normé $E$ ?

Une partie $A \subset E$ est dite dense dans $E$ si son adhérence est l'espace tout entier : $\overline{A} = E$ (c'est-à-dire si tout point de $E$ est la limite d'une suite d'éléments de $A$).

Quelles sont les principales parties denses remarquables dans $\mathbb{R}$ ?

• L'ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$
• L'ensemble des irrationnels $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
• L'ensemble des nombres décimaux $\mathbb{D}$
• L'ensemble des réels binaires $\mathbb{D}_2$

Quelle propriété remarquable de densité vérifie l'ensemble des matrices inversibles $GL_n(\mathbb{K})$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ?

$GL_n(\mathbb{K})$ est dense dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ : toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est la limite d'une suite de matrices inversibles ($\overline{GL_n(\mathbb{K})} = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$).

Quelle est la définition d'une partie fermée $A$ dans un e.v.n. $E$ ?

Une partie $A$ est fermée si elle est égale à son adhérence : $\overline{A} = A$. Séquentiellement : pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $A$, si $u_n \rightarrow x \in E$, alors $x \in A$.

Quelles sont les règles de stabilité pour les intersections et réunions de parties fermées dans un e.v.n. ?

1. L'intersection d'une famille quelconque de fermés est un fermé.
2. La réunion d'une famille finie de fermés est un fermé.
3. $\varnothing$ et $E$ sont des fermés.

Si une suite de fonctions continues $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$, que peut-on affirmer sur la fonction $f$ ?

La fonction limite $f$ est continue sur $[a, b]$. Autrement dit, $C^0([a, b], E)$ est une partie fermée de l'espace $\mathcal{B}([a, b], E)$ muni de la norme uniforme $N_\infty$.

Quelles sont les propriétés topologiques des sous-espaces vectoriels d'un e.v.n. $E$ concernant la dimension finie, les boules ouvertes et les hyperplans ?

1. Tout sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé.
2. Tout sous-espace vectoriel contenant une boule ouverte est égal à $E$.
3. Tout hyperplan est soit fermé, soit dense dans $E$.

Quel est l'énoncé du théorème de Bolzano–Weierstrass dans un espace vectoriel normé ?

Toute suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie admet au moins une sous-suite (suite extraite) convergente.

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite $(u_n)$ converge ?

La suite $(u_n)$ converge si, et seulement si, elle est bornée et possède une unique valeur d'adhérence.