Topologie des espaces vectoriels normés : Limites et Continuité

Flashcards complètes couvrant le cours de topologie des espaces vectoriels normés : voisinages, limites, continuité, fonctions lipschitziennes, continuité uniforme, fonctions polynômes et continuité des applications multilinéaires en dimension finie.

Quelle est la définition d'un voisinage $V$ d'un point $a$ dans un espace vectoriel normé $E$ ?

Une partie $V$ de $E$ est un voisinage de $a$ si $a$ est le centre d'une boule incluse dans $V$, c'est-à-dire s'il existe $r > 0$ tel que $B(a, r) \subset V$.

Quelles sont les trois propriétés fondamentales vérifiées par l'ensemble des voisinages $\mathcal{V}_E(a)$ d'un point $a \in E$ ?

i) Si $V \in \mathcal{V}_E(a)$, alors $\{a\} \subset V$. ii) Tout sur-ensemble d'un voisinage est un voisinage : si $V \in \mathcal{V}_E(a)$ et $V \subset W$, alors $W \in \mathcal{V}_E(a)$. iii) L'intersection d'un nombre fini de voisinages de $a$ est un voisinage de $a$.

Quel est le quatrième axiome vérifié par les voisinages d'un point $a$ ?

Si $V$ est un voisinage de $a$, l'ensemble des points $x \in V$ tels que $V$ soit un voisinage de $x$ est lui-même un voisinage de $a$.

Quelle est la définition avec quantificateurs de $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$, pour $f : A \subset E \to F$, $a \in \overline{A}$ et $\ell \in F$ ?

$\forall \varepsilon > 0$, $\exists \alpha > 0$, $\forall x \in A$, $\|x - a\|_E \le \alpha \implies \|f(x) - \ell\|_F \le \varepsilon$.

Comment s'énonce la définition de la limite $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$ en termes de voisinages ?

$f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell \iff \forall V \in \mathcal{V}_F(\ell)$, $\exists W \in \mathcal{V}_E(a)$, $f(W \cap A) \subset V$.

Si $a \in A$ et $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$, que vaut nécessairement la limite $\ell$ ?

On a nécessairement $\ell = f(a)$, ce qui correspond à la continuité de $f$ en $a$.

Quel est l'énoncé de la caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction $f : A \to F$ en un point $a \in \overline{A}$ ?

$f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$ si, et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ telle que $x_n \to a$, on a $f(x_n) \to \ell$.

À quel ensemble appartient nécessairement la limite $\ell$ si $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$ pour $f : A \to F$ et $a \in \overline{A}$ ?

La limite $\ell$ appartient nécessairement à l'adhérence de l'ensemble image, c'est-à-dire $\ell \in \overline{f(A)}$.

Quel résultat établit la propriété d'unicité de la limite dans un espace vectoriel normé ?

Si $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$ et $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell'$, alors $\ell = \ell'$.

Quelle propriété de bornitude locale possède une fonction $f : A \to F$ admettant une limite $\ell$ en un point $a \in \overline{A}$ ?

Il existe $r > 0$ et $M \ge 0$ tels que pour tout $x \in A \cap B(a, r)$, $\|f(x)\|_F \le M$ (on peut poser par exemple $M = \|\ell\|_F + 1$).

Quelle minoration locale vérifie $\|f(x)\|_F$ lorsque $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$ avec $\ell \neq 0_F$ ?

Il existe $r > 0$ tel que pour tout $x \in A \cap B(a, r)$, $\|f(x)\|_F \ge \frac{\|\ell\|_F}{2}$.

Quel est le comportement de la limite lors d'une restriction du domaine à $A_0 \subset A$ avec $a \in \overline{A_0}$ ?

Si $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$, alors la restriction vérifie également $f_{|A_0}(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$.

Quel est l'énoncé de la proposition relative à la composition des limites ?

Soient $f : A \to F$ et $g : B \to G$ avec $f(A) \subset B$. Si $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b$ et $g(y) \xrightarrow[y \to b]{} \ell$, alors $(g \circ f)(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$.

Que démontre l'exemple de la fonction $h(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ sur l'étude des limites le long des droites ?

Il démontre que l'existence d'une même limite le long de toutes les droites passant par l'origine ne suffit pas à assurer l'existence d'une limite dans le plan, car le long de la parabole $y = t^2$, on a $h(t, t^2) = \frac{1}{2} \neq 0$.

Quelle est la structure algébrique de l'ensemble $\mathcal{L}_a$ des applications $f : A \to F$ ayant une limite en $a \in \overline{A}$ ?

$\mathcal{L}_a$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et l'application $L : \mathcal{L}_a \to F$, $f \mapsto \lim_{x \to a} f(x)$ est linéaire.

Quelle est la limite en $a$ du produit $f(x)g(x)$ lorsque $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} 0$ et que $g$ est bornée au voisinage de $a$ ?

Le produit admet pour limite $0$ en $a$ : $f(x)g(x) \xrightarrow[x \to a]{} 0$.

Comment s'exprime le caractère local de la limite par rapport à un voisinage relatif $A_0$ de $a$ dans $A$ ?

Si $A_0 \subset A$ est un voisinage de $a$ dans $A$ (il existe $r > 0$ tel que $A \cap B(a, r) \subset A_0$), alors $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell \iff f_{|A_0}(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$.

Si $A = A_1 \cup A_2$ avec $a \in \overline{A_1} \cap \overline{A_2}$, à quelle condition $f : A \to F$ admet-elle une limite $L$ en $a$ ?

$f$ admet la limite $L$ en $a$ si, et seulement si, $\lim_{x \to a} f_{|A_1}(x) = L$ et $\lim_{x \to a} f_{|A_2}(x) = L$.

Quelle est la définition avec quantificateurs de la continuité en un point $a \in A$ pour $f : A \subset E \to F$ ?

$\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, $\forall x \in A$, $\|x - a\|_E < \delta \implies \|f(x) - f(a)\|_F < \varepsilon$.

Quel est l'énoncé du théorème du prolongement continu ?

Soient $f : A \to F$, $a \in \overline{A}$ et $\ell \in F$. En posant $B = A \cup \{a\}$ et $\widetilde{f}(x) = f(x)$ si $x \in A \setminus \{a\}$, $\widetilde{f}(a) = \ell$, on a $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell \iff \widetilde{f} \text{ est continue en } a$.

Que peut-on déduire pour deux applications continues $f, g : A \to F$ vérifiant $f = g$ sur une partie $D$ dense dans $A$ ?

On a $f = g$ sur $A$ tout entier, ce qui assure en particulier l'unicité d'un éventuel prolongement continu.

Quelle est la nature topologique de l'image réciproque $f^{-1}(B)$ d'un fermé $B \subset F$ par une application continue $f : E \to F$ ?

$f^{-1}(B)$ est un ensemble fermé de $E$.

À quelle condition une application $f : A \to F_1 \times \dots \times F_p$ est-elle continue en un point $a \in A$ ?

$f$ est continue en $a$ si, et seulement si, toutes ses fonctions coordonnées $f_i = \pi_i \circ f$ sont continues en $a$.

Quelles propriétés de continuité possèdent les opérations vectorielles dans un e.v.n. $E$ ?

L'addition $(x, y) \mapsto x + y$ de $E \times E$ dans $E$ est $2$-lipschitzienne (donc continue) et la multiplication par un scalaire $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ de $\mathbb{K} \times E$ dans $E$ est continue.

Quelle est la définition d'une application $f : A \subset E \to F$ uniformément continue sur $A$ ?

$\forall \varepsilon > 0$, $\exists \alpha > 0$, $\forall x, y \in A$, $\|x - y\| \le \alpha \implies \|f(x) - f(y)\| \le \varepsilon$.

Quelle est la définition d'une application $f : A \subset E \to F$ dite $k$-lipschitzienne sur $A$ ($k \ge 0$) ?

$\forall x, y \in A$, $\|f(x) - f(y)\| \le k \|x - y\|$.

Quelles sont les implications liant les notions d'application lipschitzienne, uniformément continue et continue sur une partie $A$ ?

$f \text{ lipschitzienne sur } A \implies f \text{ uniformément continue sur } A \implies f_{|A} \text{ continue sur } A$.

Quel est le critère séquentiel équivalent à la continuité uniforme de $f : A \to F$ ?

Pour toutes suites $(u_n)_{n \ge 1}$ et $(v_n)_{n \ge 1}$ d'éléments de $A$, $\lim_{n \to \infty} \|u_n - v_n\|_E = 0 \implies \lim_{n \to \infty} \|f(u_n) - f(v_n)\|_F = 0$.

Quel type de majoration vérifie toute fonction $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ uniformément continue ?

Elle croît au plus linéairement : il existe deux constantes $a, b \ge 0$ telles que pour tout $x \ge 0$, $|f(x)| \le ax + b$.

Quelle est la régularité des fonctions polynômes de plusieurs variables sur un e.v.n. de dimension finie ?

Les fonctions polynômes sont continues.

En exploitant la continuité du déterminant, quelle est la nature topologique de $GL_n(\mathbb{K})$, $SL_n(\mathbb{K})$ et $O_n(\mathbb{R})$ ?

$GL_n(\mathbb{K}) = \det^{-1}(\mathbb{K} \setminus \{0\})$ est ouvert ; $SL_n(\mathbb{K}) = \det^{-1}(\{1\})$ et $O_n(\mathbb{R}) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_n\}$ sont fermés.

Quel résultat caractérise la continuité des applications linéaires lorsque l'espace de départ est de dimension finie ?

Si $E$ est de dimension finie, alors toute application linéaire $f : E \to F$ est continue (et lipschitzienne).

Quel résultat assure la continuité des applications multilinéaires en dimension finie ?

Si $E_1, \dots, E_k, F$ sont des e.v.n. de dimensions finies, toute application $f \in \mathcal{L}_k(E_1 \times \dots \times E_k; F)$ est polynomiale, donc continue.