Studio delle Funzioni Reali di Variabile Reale

Flashcards di vocabolario sui concetti fondamentali dell'analisi di funzioni: classificazione, dominio, condizioni di esistenza e simmetrie.

Funzione reale di variabile reale

Relazione tra due insiemi $A$ e $B$ (sottoinsiemi di $\mathbb{R}$) che associa a ogni elemento del primo insieme uno e un solo elemento del secondo insieme.

Variabile indipendente

La variabile $x$, appartenente all'insieme di partenza, a cui viene applicata la funzione per determinare il valore corrispondente.

Immagine ($y = f(x)$)

Il valore assunto dalla variabile $y$ corrispondente a un dato valore della variabile $x$ calcolato mediante la funzione $f$.

Funzione algebrica

Funzione in cui compaiono esclusivamente operazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice).

Funzione trascendente

Funzione in cui non figurano solo operazioni algebriche, come nel caso delle funzioni esponenziali e logaritmiche.

Funzione razionale intera

Funzione algebrica espressa mediante un polinomio o una somma algebrica di monomi (ad esempio $y = x^2 - 1$), il cui dominio è sempre $D = \mathbb{R}$.

Funzione razionale fratta

Funzione algebrica in cui la variabile incognita $x$ compare al denominatore, richiedendo la condizione che il denominatore sia diverso da zero ($\neq 0$).

Funzione irrazionale

Funzione algebrica in cui la variabile incognita $x$ si trova sotto il segno di radice (ad esempio $y = \sqrt{x + 6}$).

I 7 punti dello studio di una funzione

I passaggi fondamentali per l'analisi completa: 1. Dominio, 2. Simmetrie, 3. Intersezioni con gli assi cartesiani, 4. Segno della funzione, 5. Asintoti, 6. Crescenza e decrescenza ed eventuali punti di massimo/minimo, 7. Concavità e ricerca di eventuali punti di flesso.

Dominio di una funzione

L'insieme dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente $x$ affinché esista il corrispondente valore reale della variabile dipendente $y$.

Condizioni di Esistenza (C.E.)

L'insieme dei vincoli e delle limitazioni matematiche necessari da imporre affinché l'espressione analitica della funzione abbia significato nei numeri reali.

Codominio

L'insieme di tutti i valori reali assunti dalla variabile dipendente $y$ tramite la funzione.

Dominio di un'irrazionale con indice pari

L'insieme ottenuto ponendo il radicando maggiore o uguale a zero ($\ge 0$), come nel caso di $y = \sqrt{x + 4}$, che impone $x + 4 \ge 0 \implies D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -4\}$.

Funzione pari

Funzione geometricamente simmetrica rispetto all'asse delle ordinate ($y$) per cui vale l'identità $f(x) = f(-x)$.

Funzione dispari

Funzione geometricamente simmetrica rispetto all'origine degli assi cartesiani per cui vale la relazione $f(-x) = -f(x)$.

Procedimento per lo studio delle simmetrie

Metodo che consiste nel calcolare e confrontare tre elementi: la funzione di partenza $f(x)$, la funzione $f(-x)$ (sostituendo $-x$ al posto di $x$) e l'opposto $-f(x)$ (cambiando tutti i segni di $f(x)$).

Funzione né pari né dispari

Funzione che non presenta alcuna simmetria rispetto all'asse $y$ né rispetto all'origine, verificandosi contemporaneamente $f(-x) \neq f(x)$ e $f(-x) \neq -f(x)$ (come per $y = 3x^3 + 2x - 1$).