Polynome

Was ist ein Polynom? Wie ist es allgemein aufgebaut?

Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck aus einer Summe von Potenzen einer Variablen, die mit Koeffizienten multipliziert werden.

Allgemeine Form:

\[ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \]

Dabei gilt:

• \(a_0,\dots,a_n\) sind die Koeffizienten.

• \(x\) ist die Variable.

• \(n\) ist der Grad des Polynoms, sofern \(a_n\neq 0\).

Beispiel:

\[ p(x)=3x^3-2x^2+5x-7 \]

Dieses Polynom hat den Grad \(3\), weil die höchste vorkommende Potenz \(x^3\) ist.

Merksatz: Der Grad eines von null verschiedenen Polynoms ist der größte Exponent mit einem Koeffizienten ungleich null.

Welchen Grad hat das Polynom

\[ p(x)=4x^5-3x^2+7x^2-9 \]

und warum?

Zunächst fasst man gleichartige Terme zusammen:

\[ p(x)=4x^5+4x^2-9 \]

Die höchste vorkommende Potenz mit einem Koeffizienten ungleich null ist \(x^5\).

Daher gilt:

\[ \boxed{\deg(p)=5} \]

Wichtig: Der Grad wird durch den höchsten verbleibenden Exponenten bestimmt, nicht durch die Anzahl der Terme.

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Berechne die Polynomdivision:

\[ \frac{x^2+5x+6}{x+2} \]

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