Algebra lineare

Relazione di Equivalenza

una relazione R si dice di Equivalenza (X, ~) se rispetta 3 propietà:

(Riflessiva) xRx per ogni x appartenente a X
(Simmetrica) xRy <=> yRx
(Transitiva) xRy e yRz => xRz

Relazione di Ordine

una relazione R si dice di ordine (X, <=) se rispetta 3 propietà:

(Riflessiva) xRx per ogni x appartenente a X
(Antisimmetrica) xRy, yRx => y=x
(Transitiva) xRy e yRz => xRz

Operazione

una legge di composizione (operazione) interna ad X è una mappa:

XxX → X

Spazio vettoriale

Si chiama K-spazio vettoriale un insieme V munito di due operazioni:

una di composizione interna tale che (V, +) è gruppo commutativo (rispetta Associativa, Neutro, Opposto, Commutativa)

una di composizione esterna come il prodotto per scalari.

Infine lo spazio vettoriale deve rispettare altre 4 propietà:

Distributiva 1, Distributiva 2, Pseudoassociativa e Unità

Combinazione lineare

una combinazione lineare è una espressione che si ottiene sommando tra loro vettori moltiplicati per scalari così da creare un nuovo vettore nello spazio vettoriale

Dimostra l’unicità di elemento neutro e di inverso

neutro: presi e, e’ appartenenti ad X ed entrambi elementi neutri

e’=e*e’=e

inverso: presi y e y’ inversi di x e tutto appartenente ad X

(y*x)*y’ = y*(x*y’) → e*y’=y*e → y’=y

Sottospazio vettoriale

sia V un K-spazio vettoriale, un sottospazio vettoriale di V è un sottoinsieme W di V tale che:

1. W non è vuoto

2. se w1, w2 appartengono a W allora w1 + w2 appartiene a W

3. se k parte di K e w membro di W allora kw appartiene a W

Linearmente dipendente e indipendente

Un vettore si definisce linearmente indipendente se la combinazione lineare da cui è formato risulta zero solo nel caso specifico in cui tutti i coefficienti sono uguali a zero.

un vettore si definisce linearmente dipendente se la combinazione lineare da cui è formato risulta zero anche in casi in cui almeno 1 coefficiente è diverso da zero

Base

Si dice che beta è una base di V se beta genera V ed è linearmente indipendente

Teorema di esistenza di una base

ogni K-spazio vettoriale ammette una base + dim

massimo, maggiorante e massimale

un massimo di X è un elemento:

M appartiene a Y tale che a<=M per ogni a appartenente a Y

un maggiorante di Y è un elemento:

M appartiene a X tale che a<=M per ogni a appartenente a Y

un massimale di Y è un elemento:

M appartiene a Y tale che [ se M<=a, a appartiene a Y allora m=a]

minimo, minorante e minimale

un minimo di X è un elemento:

m appartiene a Y tale che a>=m per ogni a appartenente a Y

un minorante di Y è un elemento:

m appartiene a X tale che a>=m per ogni a appartenente a Y

un minimale di Y è un elemento:

m appartiene a Y tale che [se m>=a, a appartiene a Y allora m=a]

Lemma di Zorn

Sia (X, >=) un insieme ordinato:

IPOTESI: se ogni catena in X ammette un maggiorante

TESI: allora X ha un elemento massimale

Insieme generatore

Sia gamma un insieme di vettori vi.

si dice che gamma è insieme generatore di V se ogni vettore di V diverso da zero si può scrivere come combinazione lineare di gamma