Filtre de Kalman linéaire

Quelle est l’intuition centrale du filtre de Kalman ?

Fusionner la prévision du modèle et la nouvelle observation en donnant davantage de poids à la source la plus précise.

Si deux estimations mesurent la même quantité, laquelle reçoit le plus de poids ?

Celle dont la variance d’erreur est la plus faible.

Quelle formule gaussienne est à l’origine de la mise à jour de Kalman ?

E[X | Y] = μₓ + Σₓᵧ · Σᵧᵧ⁻¹ · (Y − μᵧ)

Quelle est la variance conditionnelle gaussienne ?

V(X | Y) = Σₓₓ − Σₓᵧ · Σᵧᵧ⁻¹ · Σᵧₓ

Quelles sont les deux grandes étapes du filtre de Kalman ?

1. Prédiction. 2. Mise à jour après observation.

Quelle est la prédiction de l’état ?

xₜ|ₜ₋₁ = Mₜ·xₜ₋₁|ₜ₋₁ + Cₜ

Quelle est la prédiction de la covariance de l’état ?

Pₜ|ₜ₋₁ = Mₜ·Pₜ₋₁|ₜ₋₁·Mₜᵀ + Qₜ

Quelle est la prédiction de l’observation ?

yₜ|ₜ₋₁ = Oₜ·xₜ|ₜ₋₁ + Dₜ

Quelle est la variance prédictive de l’observation ?

Vₜ|ₜ₋₁ = Oₜ·Pₜ|ₜ₋₁·Oₜᵀ + Hₜ

Que représente Qₜ ?

L’incertitude de la dynamique de l’état.

Que signifie un Qₜ élevé ?

On fait moins confiance à la transition et l’état latent est autorisé à bouger davantage.

Que représente Hₜ ?

L’incertitude ou le bruit de la mesure.

Que signifie un Hₜ élevé ?

On fait moins confiance à l’observation courante.

Qu’est-ce que l’innovation ?

ηₜ = yₜ − yₜ|ₜ₋₁. C’est la surprise : observation réelle moins observation prédite.

Quelle est la formule du gain de Kalman ?

Kₜ = Pₜ|ₜ₋₁·Oₜᵀ·Vₜ|ₜ₋₁⁻¹

Quelle est la mise à jour de l’état ?

xₜ|ₜ = xₜ|ₜ₋₁ + Kₜ·ηₜ

Quelle est la mise à jour de la covariance ?

Pₜ|ₜ = Pₜ|ₜ₋₁ − Kₜ·Vₜ|ₜ₋₁·Kₜᵀ

Quelle est l’interprétation du gain Kₜ ?

Il mesure la fraction de la surprise ηₜ injectée dans l’estimation de l’état.

Si Hₜ diminue fortement, que se passe-t-il ?

L’observation est plus précise, le gain augmente généralement et la correction de l’état devient plus forte.

Si Hₜ devient très élevé, que se passe-t-il ?

Le filtre reste davantage proche de sa prédiction et corrige peu avec la nouvelle observation.

Pourquoi la variance a posteriori diminue-t-elle généralement ?

Parce qu’on a incorporé une information supplémentaire.