equation complex

Comment résoudre une équation du premier degré az+b=0 dans ℂ ?

Si a ≠ 0, l’unique solution est z = −b/a. Si a=0, l’équation n’a aucune solution lorsque b≠0 et tous les complexes sont solutions lorsque b=0.

Comment résoudre une équation du second degré az²+bz+c=0 dans ℂ, avec a≠0 ?

On calcule Δ=b²−4ac. Si Δ≠0, les deux racines sont z₁=(-b−√Δ)/(2a) et z₂=(-b+√Δ)/(2a), en choisissant une racine carrée complexe de Δ. Si Δ=0, il y a une racine double z₀=−b/(2a).

Pourquoi tout complexe non nul possède-t-il une racine carrée ?

Si z=re^{iθ} avec r>0, alors w=√r e^{iθ/2} vérifie w²=z. Les deux racines carrées sont w et −w.

Comment factoriser un trinôme du second degré dans ℂ ?

Si Δ≠0 et si z₁,z₂ sont ses racines, alors az²+bz+c=a(z−z₁)(z−z₂). Si Δ=0, az²+bz+c=a(z−z₀)².

Comment résoudre zⁿ=a dans ℂ lorsque a≠0 ?

Écrire a=re^{iθ}, puis utiliser les racines n-ièmes : z_k=r^{1/n}e^{i(θ+2kπ)/n}, pour k=0,…,n−1.

Comment résoudre zⁿ=1 dans ℂ ?

Les solutions sont les racines n-ièmes de l’unité : z_k=e^{2ikπ/n}, pour k=0,…,n−1.

Comment résoudre une équation de la forme z²=u, avec u∈ℂ ?

Si u=0, l’unique solution est z=0. Si u≠0, écrire u=re^{iθ} : les solutions sont z=±√r e^{iθ/2}.

Quelle propriété permet de factoriser zⁿ−aⁿ ?

Pour n∈ℕ*, zⁿ−aⁿ=(z−a)(z^{n−1}+z^{n−2}a+…+za^{n−2}+a^{n−1}).

Comment résoudre une équation contenant z̄ ?

Poser z=x+iy avec x,y∈ℝ, remplacer z̄ par x−iy, puis identifier les parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel.

Comment résoudre une équation de la forme z+z̄=a, avec a∈ℂ ?

Comme z+z̄=2Re(z) est réel, il n’y a aucune solution si a∉ℝ. Si a∈ℝ, les solutions sont les complexes de partie réelle a/2.

Comment résoudre une équation de la forme z−z̄=ib, avec b∈ℝ ?

On a z−z̄=2i Im(z). Les solutions sont donc les complexes de partie imaginaire b/2.

Comment interpréter géométriquement |z−a|=r ?

C’est le cercle de centre le point d’affixe a et de rayon r, avec r≥0. Si r=0, il s’agit du seul point d’affixe a.

Comment interpréter géométriquement |z−a|=|z−b| ?

C’est la médiatrice du segment reliant les points d’affixes a et b, lorsque a≠b.

Comment interpréter géométriquement arg((z−a)/(z−b))=θ modulo 2π ?

Cela signifie que l’angle orienté entre les vecteurs de directions B→M et A→M vaut θ modulo 2π, lorsque les expressions sont définies.

Comment montrer que deux complexes sont alignés ou que trois points sont alignés ?

Pour des points d’affixes a,b,c avec a≠b, ils sont alignés si et seulement si (c−a)/(b−a) est réel.

Comment montrer que deux vecteurs du plan sont orthogonaux à l’aide des affixes ?

Pour deux vecteurs d’affixes u et v, avec u,v non nuls, ils sont orthogonaux si et seulement si u/v est un imaginaire pur, ou encore Re(ūv)=0.