(P): ARGOMENTO 4: Variabili Aleatorie Discrete e Modelli Notevoli

(D7) Schema di n prove di Bernoulli

• Condizioni necessarie (ipotesi):

  • Omogeneità: Ciascuna prova ha la stessa probabilità di successo P(Ei​)=p.

  • Indipendenza stocastica: Gli esiti delle prove sono reciprocamente indipendenti.

• Calcolo della probabilità dell'esito elementare ω:

  Per l'indipendenza, la probabilità della stringa si ottiene moltiplicando le singole probabilità:

  P({ω})=pk(1−p)n−k

  (dove k=∑ωi​ è il numero totale di successi 1, e n−k è il numero di fallimenti 0).

(D11) Definizione di variabile aleatoria discreta

Sia X:Ω→R una variabile aleatoria reale. X si dice discreta se esiste un sottoinsieme S⊆R (finito o al più numerabile) tale che:

1. L'evento in cui X assume valori in S è certo (ha probabilità 1):

   {ω∈Ω∣X(ω)∈S}=Ω⟺P(X∈S)=1

2. Ciascun valore x appartenente a S ha una probabilità strettamente positiva:

   P(X=x)>0∀x∈S

L'insieme S viene chiamato supporto della variabile aleatoria X.

(D12) Definizione di densità discreta (o funzione di massa di probabilità)

• Sia X:Ω→R una variabile aleatoria discreta con supporto S⊆R Si chiama Funzione di Massa di Probabilità (PMF) (o densità discreta) la funzione pX:R→[0,1] definita come:

  pX(x)=P(X=x)

  dove pX(x)>0 se x∈S, e pX(x)=0 per ogni x∉S

• Proprietà fondamentali (Assiomi):

  • Non-negatività: pX(x)≥0 per ogni x∈R

  • Normalizzazione: ∑x∈SpX(x)=1 (la probabilità totale concentrata sul supporto è pari a 1).

(T12) Variabili aleatorie di Bernoulli, Binomiale e relazioni tra esse.

• Variibile di Bernoulli Ber(p): Modella una singola prova con supporto S={0,1}. PMF: P(X=1)=p, P(X=0)=1−p (con p∈[0,1]) Varianza Var(X)=p(1−p); nei casi limite p=0 o p=1 la variabile è degenere.

• Variibile Binomiale Bin(n,p): Modella il numero di successi in n prove indipendenti con supporto S={0,1,…,n}. PMF: pX​(x)=(xn​)p^x(1−p)^n−x per x∈Sx∈S. La CDF presenta n+1 punti di discontinuità (salti).

• Relazione tra di esse: La distribuzione di Bernoulli è il caso elementare della Binomiale con n=1, (Ber(p)=Bin(1,p)). Viceversa, una variabile Binomiale Bin(n,p) è la somma di n variabili di Bernoulli indipendenti e identicamente distribuite.

(T13) Variabili aleatorie Binomiale e Binomiale negativa

• Definizione e Supporto: Modella il numero di prove XX necessarie per ottenere rr successi in prove di Bernoulli indipendenti. Il supporto è S={r,r+1,r+2,…}

• Struttura della sequenza (X=k): L'ultima prova (k-esima) è un successo fisso; nei primi k−1 tentativi si devono posizionare esattamente r−1 successi e k−r insuccessi.

• PMF (Densità Discreta): P(X=k)=(k−1r−1)pr(1−p)k−rn per k∈S, dove il coefficiente binomiale conta le possibili disposizioni delle prove.

(T17) V.a. ipergeometrica

• Contesto: Estrazione di N palline senza rimpiazzo da un'urna con R rosse e B bianche.

• Variabile X: Conta il numero di palline rosse estratte (X∼Ipergeo(R,B,N).

• PMF (Casi favorevoli / Casi totali): P(X=k)=(R k)(B N−k)/(R+B N)

• Supporto: Numeri interi compresi tra max⁡(N−B,0)e min⁡(R,N)

(T14) Variabili aleatorie Geometrica e Binomiale negativa

• Contesto: Prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo pp. Ci si ferma al 1∘successo.

• Geo Standard X∼Geo(p): Conta gli insuccessi (S={0,1,2,…}
  . P(X=x)=p(1−p)^x

• Geo Modificata Y: Conta i tentativi totali (S={1,2,3,…}). Y=X+1,
  P(Y=y)=p(1−p)^y−1.

• Probabilità di Coda: P(X≥k)=(1−p)^k (ossia fare almeno k insuccessi di fila).

• Assenza di Memoria: P(X=k+m∣X≥k)=P(X=m) (i fallimenti passati non alterano le probabilità future).

(T16) V.a. di Poisson (giustificazione come approssimazione della binomiale)

• Contesto: Modella il numero di eventi rari e indipendenti che si verificano in un intervallo continuo (tempo/spazio).

• Supporto & PMF: S={0,1,2,…} Densità discreta: f_X(k)=P(X=k)=λ^k/k! e^−λ

• Parametro λ>0: Rappresenta la frequenza / il numero medio di eventi nell'intervallo (E[X]=λ, Var(X)=λ).

• Limite della Binomiale: Approssima Bin(n,p) quando n→+∞ (grande) e p→0 (piccolo), ponendo λ=n⋅p

• Proprietà chiave: Media e Varianza coincidono entrambe con il parametro λ.