Chapitre 1 : Vers une nouvelle théorie en physique - Dualité onde-corpuscule et mécanique quantique

Flashcards de vocabulaire et définitions couvrant le premier chapitre du cours : la transition de la physique classique à la mécanique quantique, la dualité onde-corpuscule, l'effet photoélectrique, le modèle atomique, la fonction d'onde, le principe d'Heisenberg et l'équation de Schrödinger.

Onde (physique classique)

Objet physique occupant plusieurs points de l'espace à chaque instant, gouverné par une équation de propagation (équation d'onde) et caractérisé par deux grandeurs périodiques : la longueur d'onde $\lambda$ et la période $T$.

Équation de propagation à une dimension

Équation aux dérivées partielles vérifiée par la fonction d'onde $\psi(x,t)$, donnée par $\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} = 0$, où $v$ est une grandeur ayant la dimension d'une vitesse ($[v] = L\,T^{-1} \equiv \text{m\,s}^{-1}$).

Longueur d'onde ($\lambda$)

Période spatiale d'une onde telle que $\psi(x+\lambda, t) = \psi(x,t)$ à $t = \text{constante}$, dont la dimension physique est une longueur ($[\lambda] = [\text{longueur}] = L \equiv \text{m}$).

Période ($T$)

Période temporelle d'une onde vérifiant $\psi(x, t+T) = \psi(x,t)$ à $x = \text{constante}$, de dimension physique égale au temps ($[T] \equiv \text{s}$).

Fréquence ($\nu$)

Grandeur physique relative à la période $T$, définie par la relation $\nu = \frac{1}{T}$.

Pulsation ($\omega$)

Grandeur temporelle reliée à la fréquence par l'expression $\omega = 2\pi\nu$.

Particule (physique classique)

Objet modélisé par un point matériel, caractérisé par des grandeurs scalaires (masse, charge électrique, énergie) et vectorielles (position, vitesse, quantité de mouvement).

Continuité (postulat classique)

Postulat classique selon lequel l'énergie d'une particule est une fonction continue pouvant prendre n'importe quelle valeur (par exemple l'énergie cinétique $E_c(v) = \frac{1}{2}m v^2$).

Localité et certitude (physique classique)

Postulats classiques affirmant qu'un objet peut être précisément localisé dans l'espace et le temps (localité), et que l'on peut déterminer (mesurer) exactement ses grandeurs physiques (certitude).

Ordres de grandeur des échelles de longueur

Dimensions physiques caractérisant l'infiniment petit : échelle moléculaire ($\sim 10^{-9}\,\text{m}$), échelle atomique ($\sim 10^{-10}\,\text{m}$), échelle d'un quark ($\sim 10^{-18}\,\text{m}$), et échelle de Planck ($\sim 10^{-35}\,\text{m}$).

Émission et absorption atomiques

Deux phénomènes de l'atome d'hydrogène où les interactions électromagnétiques se font par la lumière : l'atome émet de l'énergie (émission) ou en reçoit (absorption).

Énergie absorbée ou émise ($\Delta E$)

Énergie associée à une transition atomique donnée par $\Delta E = E_f - E_i = h\nu = \frac{h\,c}{\lambda}$, où $h$ est la constante de Planck.

Constante de Planck ($h$)

Constante fondamentale valant $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\,\text{J\,s}$, de dimension $[h] = [\text{temps}]\cdot[\text{énergie}] = [\text{quantité de mouvement}]\times[\text{longueur}]$.

Énergie des niveaux de l'atome d'hydrogène ($E_n$)

Énergie quantifiée donnée par $E_n = -\frac{13{,}6}{n^2}\,\text{eV}$, où le signe négatif indique que l'électron est lié au noyau et $n$ est le nombre quantique. Quand $n \rightarrow \infty$, $E \ge 0$ et l'électron devient libre.

Travail de sortie ($W_s$)

Énergie caractéristique minimale d'une surface métallique (comme le zinc ou l'or) nécessaire pour éjecter des électrons sous un éclairement lumineux d'énergie $E > W_s$.

Équation d'Einstein de l'effet photoélectrique

Loi de conservation de l'énergie ($E_{\text{avant}} = E_{\text{après}}$) décrivant l'éjection d'un électron : $E_c = \frac{1}{2}m_e v_{\max}^2 = E - W_s$, ce qui conduit à $h\nu = \frac{1}{2}m_e v_{\max}^2 + W_s$.

Relation de Louis de Broglie

Relation fondamentale matérialisant la dualité onde-particule : $p\lambda = h$, où $p$ est la quantité de mouvement et $\lambda$ est la longueur d'onde de de Broglie.

Constante de Planck réduite ($\hbar$)

Constante lue « h barre », définie par $\hbar = \frac{h}{2\pi} \sim 10^{-34}\,\text{J\,s}$, possédant la même dimension que $h$.

Vecteur d'onde ($\vec{k}$)

Vecteur caractérisant la propagation d'une onde plane dont la norme est $k = \|\vec{k}\| = \frac{2\pi}{\lambda}$, relié à l'impulsion par $\vec{p} = \hbar\vec{k}$.

Onde plane associée à une matière

Fonction décrivant une particule d'énergie $E$ et d'impulsion $\vec{p}$ sous la forme $\psi(\vec{r},t) = \psi_0 \exp(i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t))$, avec $E = \hbar\omega$ et $\vec{p} = \hbar\vec{k}$.

Action caractéristique ($A$)

Grandeur propre à un système physique ayant la dimension de $h$ ($[A] = [h]$). Si $A \gg \hbar$, la physique classique suffit ; si $A \ll h$, la mécanique quantique est nécessaire.

Fonction d'onde ($\psi(\vec{r},t)$)

Vecteur d'un espace vectoriel de type Hilbert représentant l'état d'une particule en mécanique quantique ; cette fonction n'est pas une probabilité directe.

Densité de probabilité ($\rho(\vec{r},t)$)

Probabilité de présence par unité de volume définie par le module au carré de la fonction d'onde : $\rho(\vec{r},t) = |\psi(\vec{r},t)|^2 = \psi(\vec{r},t)\overline{\psi(\vec{r},t)}$, où $\overline{\psi}$ est le complexe conjugué.

Condition de normalisation

Condition imposée à la fonction d'onde d'une particule à une dimension assurant que la probabilité totale vaut 1 : $\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2\,dx = 1$.

Principe d'incertitude de Heisenberg

Principe affirmant l'impossibilité de mesurer simultanément et avec une précision absolue la position et la vitesse d'une particule : $\Delta x\,\Delta p \sim \frac{\hbar}{2}$ et $\Delta t\,\Delta E \sim \frac{\hbar}{2}$.

Commutateur position-impulsion ($[x, p]$)

Relation algébrique issue du principe d'incertitude de Heisenberg liant la position et l'impulsion : $[x, p] = i\hbar$.

Principe de correspondance

Principe quantique associant des opérateurs différentiels aux grandeurs classiques : $x \rightarrow x$, $p \rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ et $E \rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$.

Équation de Schrödinger dépendante du temps

Équation fondamentale de la mécanique quantique obtenue à partir de l'énergie totale $E = \frac{p^2}{2m} + V(x)$ : $i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right)\psi(x,t)$.

Équation de Schrödinger stationnaire

Forme de l'équation de Schrödinger pour un régime indépendant du temps : $\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right)\psi(x) = E\psi(x)$.