TPP1 Mathe

Mathematik als Tätigkeit

Mathematik ist nicht nur fertiges Wissen, sondern Tun:

• entdecken

• vermuten

• begründen

• darstellen

• Intuition und Kreativität gehören dazu

• Kinder erwerben Mathematik im eigenen Tätigsein (Freudenthal; Spiegel & Selter)

Wissenschaft von Mustern

Mathematik untersucht Muster im weiten Sinn:

• Ordnungen

• Strukturen

• Beziehungen

• Regelmässigkeiten

Muster kann man

• erforschen

• fortsetzen

• ausgestalten

• erzeugen

Bsp.: Quadratzahlen 1, 4, 9, 16 …

Kompetenzbereiche (LP 21)

Die Inhalte (was?):

Zahl und Variable · Form und Raum · Grössen, Funktionen, Daten und Zufall.

Handlungsaspekte (LP 21)

Die Tätigkeiten (wie?):

• Operieren und Benennen

• Erforschen und Argumentieren

• Mathematisieren und Darstellen

Gleichwertig mit den Inhalten

Operieren und Benennen

Zahlen, Begriffe, Formen in Beziehung setzen oder verändern, Ergebnisse festhalten, rechnen, automatisieren
Fachsprache verwenden

Erforschen und Argumentieren

Strukturen erkunden, Vermutungen aufstellen, systematisch variieren, Muster entdecken, verändern, begründen, mit Beispielen und Analogien argumentieren.

Mathematisieren und Darstellen

Situationen in Skizzen, Operationen, Terme übertragen und umgekehrt veranschaulichen
Darstellungsformen wechseln
Lösungswege darstellen

Kompetenz(orientierung)

Fähigkeit und Bereitschaft (Motivation, Einstellung), Wissen, Können und mathematische Tätigkeiten anzuwenden (Weinert)
Unterricht deckt alle Handlungsaspekte ab, nicht nur das Rechnen

Sechs Leitideen (PHZH)

Kompetenzorientierung
Verstehensorientierung
Differenzierung
Aufgabenqualität
Individuelles und gemeinsames Lernen
Diagnose und Förderung

Natürliche Differenzierung

Alle erhalten dasselbe reichhaltige Angebot mit niedriger Eingangsschwelle
Niveau, Weg, Darstellung und Hilfsmittel wählen die Kinder selbst
Bsp.: Zahlenmauern mit vorgegebenem Deckstein

Produktives Üben

Üben, das Strukturen sichtbar macht und Denken anregt
Vier Typen nach Wittmann: gestützt/formal × unstrukturiert/strukturiert («schöne Päckchen» statt «graue Päckchen»)

Spiralprinzip

Fundamentale Ideen werden im Lauf der Schulzeit mit zunehmender Komplexität immer wieder aufgegriffen (Bruner).

Kompetenzorientierung (Leitidee)

Mathematiklernen ist mehr als Rechnen: Wissen, Fertigkeiten und mathematische Tätigkeiten (Operieren, Erforschen, Argumentieren, Darstellen)
Kompetenz zeigt sich in Fähigkeit und Bereitschaft zur Anwendung
Leitfrage: Werden alle Handlungsaspekte berücksichtigt?

Verstehensorientierung (Leitidee)

Hauptanliegen: Ideen, Begriffe und Konzepte verstehen und vernetzen
An Vorwissen anknüpfen
entdecken lassen
geeignete Materialien
Darstellungen vernetzen
sprachlich begleiten
Leitfrage: Was ist der fachliche Kern der Aufgabe?

Differenzierung (Leitidee)

Alle sollen so viel wie möglich lernen
Besonders natürliche Differenzierung: alle bearbeiten dasselbe reichhaltige Angebot mit niedriger Eingangsschwelle
Niveau, Weg, Darstellung und Hilfsmittel wählen die Kinder selbst (z. B. Zahlenmauern)

Aufgabenqualität (Leitidee)

Reichhaltige Aufgaben:
mathematische Tiefe
verschiedene Lösungswege
natürlich differenzierend
Produktives Üben: Strukturen erkennen und nutzen statt graue Päckchen
Aufgaben adaptieren mit «Was wäre, wenn …?»

Individuelles und gemeinsames Lernen (Leitidee)

Eigene Wege zulassen, fördern und wertschätzen und austauschen (Rechenkonferenz, Impulse, Sprachspeicher)
Fehler sind normaler Teil des Lernens und Ausgangspunkt zum Weiterlernen

Diagnose und Förderung (Leitidee)

Kontinuierliche, unterrichtsbegleitende Diagnose als Grundlage jeder Förderung:
Stärken und Schwächen erkennen
Ursachenhypothesen bilden
gezielt fördern
Wer typische Vorgehensweisen kennt, kann Schwierigkeiten antizipieren

Vier Übungstypen (Wittmann)

Gestützt-unstrukturiert (Material, Zugang)
Gestützt-strukturiert (Material mit operativer Serie, Verstehen)
Formal-unstrukturiert («graue Päckchen», Geläufigkeit)
Formal-strukturiert («schöne Päckchen», Einsicht in Strukturen)
Merksatz: so lange gestützt wie nötig, so oft strukturiert wie möglich

Innere und äussere Differenzierung

Äussere: Trennung in Gruppen (Schultypen, Niveaus)
Innere, innerhalb der Klasse:
inhaltlich
nach Leistung
Prozess
Produkt
Tempo
nach Repräsentationsform
natürliche Differenzierung

Lernen durch Entdecken vs. Belehrung

Entdecken:
Lehrperson als Lernbegleiter:in
Kinder als Subjekte
Beziehungsreichtum
herausfordernde Aufgaben
Fehler gemeinsam analysieren
Hilfe zum Selberfinden
Belehrung:
Wissensvermittler:in
kleinschrittig
produktorientiert
Fehler vermeiden
Hilfe zur erwarteten Antwort

Vier Repräsentationsebenen (PL 1.3)

Enaktiv (Handlung mit Material)
Ikonisch (Bild)
Symbolisch-Sprache (gesprochen, geschrieben)
Symbolisch-mathematische Zeichen
Verstehen zeigt sich im Wechsel zwischen den Ebenen

Figurierte Zahlen

Anzahlen, die sich aus der Legeordnung der Punkte leicht bestimmen lassen (Quadrat-, Rechteck-, Dreieckszahlen)
Vorgehen:
erkunden
beschreiben
begründen
verallgemeinern (Term in der Figur zeigen)

Muster (Devlin)

Nicht nur sichtbare Zahlenfolgen:
Ordnungen
Strukturen
Beziehungen
Zusammenhänge
Auffälligkeiten
Abhängigkeiten
Regelmässigkeiten
Muster kann man erforschen
fortsetzen
ausgestalten und selbst erzeugen (Wittmann)

EIS-Prinzip (Bruner)

Darstellungsebenen enaktiv (Handlung mit Material)
ikonisch (Bild)
symbolisch (Zeichen, Sprache)
Keine feste Abfolge
entscheidend sind Wechsel und Vernetzung, begleitet von Sprache

Aktiv-entdeckendes Lernen

Lernen als aktiv-konstruktiver Prozess:
Kinder erkennen
beschreiben
begründen Strukturen selbst
statt Vorgemachtes nachzumachen
«Aktiv» meint geistig

Kardinalzahlaspekt

Zahl als Anzahl: «Wie viele?» (5 Kinder)
Auch Anzahl von Ereignissen (dreimal klopfen)
Material: Punktefelder

Ordinalzahlaspekt

Zahl als Position: Zählzahl (1, 2, 3 …) und Ordnungszahl (der fünfte Platz)
Material: Zahlenband, Zahlenstrahl

Masszahl-, Operator-, Rechenzahl-, Codierungsaspekt

Masszahl: mit Einheit (5 Min)
Operator: Vielfaches (fünffache Menge)
Rechenzahl: Objekt einer Rechnung (28+39)
Codierung: Kennzeichen (Tram 5)

Zählprinzipien

Gelman & Gallistel
:
Eindeutigkeit (1-1-Zuordnung)
stabile Ordnung
Kardinalprinzip (letztes Wort = Anzahl)
Abstraktion
Irrelevanz der Anordnung

Erweiterte Zählkompetenz

Ab beliebiger Zahl vor- und rückwärts, in Schritten zählen, Vorgänger/Nachfolger
Entwicklung nach Fuson bis zur vollständig reversiblen Zahlwortreihe

Simultan / quasi-simultan

Simultan: kleine Anzahl (bis ca. 4–5) auf einen Blick
Quasi-simultan: Menge in simultan erfassbare Teile zerlegen und zusammensetzen (8 = 5 + 3)

Kraft der 5

Fünfer- und Zehnergliederung macht Anzahlen quasi-simultan erfassbar und unterstützt Rechenstrategien ohne Zählen (6+7 = 5+5+1+2).

Strukturierte vs. unstrukturierte Darstellung

Unstrukturiert: zufällig verteilt → zählen
Strukturiert: in Fünfer/Zehner geordnet (Zwanzigerfeld) → auf einen Blick erfassen

Zahlbeziehungen

Vorgänger/Nachfolger
mehr/weniger
grösser/kleiner
Verdoppeln/Halbieren
Analogien (3 ↔ 13)
Grundlage für geschicktes Rechnen

Teil-Ganzes-Verständnis

Zahlen in Teile zerlegen und zusammensetzen (8 = 5 + 3)
Tripel → 4 Grundaufgaben
Zentrale Herausforderung, später stellengerechtes Zerlegen

Zahlendreher / inverse Zahlwortbildung

Im Deutschen werden Einer vor Zehnern gesprochen («sechsundachtzig»), aber Zehner zuerst geschrieben → 68 statt 86.

Bündeln, Entbündeln, fortgesetzte Bündelung

Je 10 Einheiten zu einer höheren Einheit zusammenfassen, solange es geht (10 E = 1 Z …)
Entbündeln: umgekehrt (1 Z = 10 E)

Eigenwert (Nennwert) / Stellenwert

Eigenwert: die Ziffer (Anzahl Bündel)
Stellenwert: Wert der Position
Bei 5058 bedeutet die 5 einmal 5000, einmal 50

Bedeutung der Null

Platzhalter für einen unbesetzten Stellenwert (305 ≠ 35)
Auch Zahl mit eigener Position auf dem Zahlenstrahl

Dekadische / nicht-dekadische Systeme

Basis 10 bzw. andere Basen b: Bündel zu b, Stellenwerte als Potenzen von b, Ziffern 0 bis b−1. Bsp.: 104₁₀ = 10212₃.

Didaktische Materialien

Repräsentieren fachliche Konzepte und dienen dem Aufbau mentaler Bilder
Nicht selbsterklärend, also selbst Lernstoff
wenige
gut gewählte
regelmässig genutzt

Funktionen von Veranschaulichungen

Lösungshilfe (davon ablösen)
Lernhilfe (Verständnis, Reflexion)
Kommunikationshilfe (Denkwege zeigen) (Leuders)

Eindeutigkeitsprinzip

Zählprinzip: Jedem gezählten Objekt wird genau ein Zahlwort zugeordnet (Eins-zu-eins-Zuordnung)
Fehler: Objekte überspringen oder doppelt zählen

Prinzip der stabilen Ordnung

Zählprinzip: Die Zahlwörter werden immer in derselben festen Reihenfolge verwendet.

Kardinalzahlprinzip

Zählprinzip: Das zuletzt genannte Zahlwort gibt die Anzahl der ganzen Menge an
Test: «Wie viele sind es?» nach dem Zählen

Abstraktionsprinzip

Zählprinzip: Beliebige, auch verschiedenartige Dinge können gezählt werden (Äpfel, Töne, Sprünge).

Prinzip der Irrelevanz der Anordnung

Zählprinzip
:
Die Reihenfolge
in der Objekte gezählt werden
ändert die Anzahl nicht

Typische Zählfehler (Moser Opitz)

Zeigen ohne Zahlwort
Einmal zeigen, mehrere Zahlwörter
Mehrmals zeigen, ein Zahlwort
Objekte überspringen
Objekte mehrmals zählen
Zeigen und zählen ohne Objekt

Masszahlaspekt

Zahl als Masszahl einer Grösse mit Einheit
:
3 m
5 Fr.
10 Minuten

Operatoraspekt

Zahl als Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs: dreimal klatschen, das Doppelte.

Rechenzahlaspekt

Zahlen als Elemente, mit denen nach Regeln gerechnet wird, algebraisch (Rechengesetze: 3 + 4 = 4 + 3) und algorithmisch (Ziffernrechnen).

Codierungsaspekt

Zahl als Name oder Kennzeichnung ohne Anzahl- oder Reihenfolgebedeutung:
Telefonnummer
Postleitzahl
Busnummer

Schulanfänger sind keine Lernanfänger

Kinder bringen grosse numerische Vorkenntnisse mit
diese sind ein zentraler Prädiktor für spätere Mathematikleistung (Krajewski 2003)
Lehrperson aktiviert Vorwissen, statt Zahlen «einzuführen»

Stellenwertprinzip

Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stelle ab (Stellenwert × Eigenwert)
Pro Stelle steht nur eine Ziffer (0 bis 9)
die Null ist Platzhalter (305)

Drei Komponenten des Operationsverständnisses

Grundvorstellungen (Bedeutungsvielfalt), Darstellungswechsel (Handlung, Bild, Sprache, Symbol) und das Erkennen und Nutzen von Beziehungen und Strukturen (Rechengesetze, Umkehroperation, Netzwerk).

Grundvorstellungen Addition

Hinzufügen (dynamisch)
Zusammenfassen (statisch)
Vergleichen (statisch, «3 mehr als»)

Grundvorstellungen Subtraktion

Abziehen (dynamisch)
Ergänzen (dynamisch, 9 + _ = 12)
Vergleichen (statisch, «wie viel mehr»)

Grundvorstellungen Multiplikation

Wiederholen (zeitlich-sukzessiv)
Zusammenfassen (räumlich-simultan, Rechteck)
Vergleichen («3-mal so viele»)
zusätzlich kombinatorisch

Grundvorstellungen Division

Aufteilen (Gruppengrösse bekannt, Anzahl Gruppen gesucht) und Verteilen (Anzahl Gruppen bekannt, Gruppengrösse gesucht).

Statisch / dynamisch

Dynamisch: Eine Handlung verändert eine Menge (hinzufügen, abziehen)
Statisch: Mengen werden zusammen betrachtet oder verglichen
Kinder bringen meist dynamische Vorstellungen mit

Kommutativgesetz

Vertauschungsgesetz: a + b = b + a, a · b = b · a
Gilt nicht für − und :
Am Punktefeld durch Drehen sichtbar

Assoziativgesetz

Verbindungsgesetz: (a + b) + c = a + (b + c), ebenso bei ·
Erlaubt geschicktes Zusammenfassen (9 · 2 · 5 = 9 · 10)

Distributivgesetz

Verteilungsgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c
Zerlegen in Kern- und kleine Aufgabe: 7 · 9 = 5 · 9 + 2 · 9 (Hunderterfeld mit Malwinkel)

Konstanzsätze

Ergebnis bleibt gleich bei
:
Summe gegensinnig (12 + 8 = 10 + 10)
Differenz gleichsinnig (18 − 13 = 20 − 15)
Produkt gegensinnig verdoppeln/halbieren
Quotient gleichsinnig

Tausch- und Umkehraufgabe

Tauschaufgabe: 3 + 5 → 5 + 3. Umkehraufgabe: 3 + 5 = 8 → 8 − 5 = 3 (Subtraktion als Umkehrung der Addition, Division der Multiplikation).

Nachbar- und Analogieaufgabe

Nachbaraufgabe: unterscheidet sich um 1 (6 + 7 aus 6 + 6)
Analogieaufgabe: stellengerechte Verwandtschaft (16 + 3 aus 6 + 3; 30 + 40 aus 3 + 4)

Schlüsselrechnungen (Kernaufgaben)

Einfache Aufgaben, die zuerst automatisiert werden und als Basis zum Ableiten dienen: Verdopplungen, mit 0, 1, 5, 10, Summe 10
beim 1·1 Aufgaben mit 1, 2, 5, 10 und Quadratzahlen

Entdeckerpäckchen / schöne Päckchen

Aufgabenserien mit operativem Zusammenhang (8 + 9, 6 + 10, 4 + 11 …):
Muster entdecken
beschreiben
fortsetzen
begründen
Gegenstück: graue Päckchen

Ableitungsstrategie

Ein unbekanntes Ergebnis aus einer bekannten einfachen Aufgabe herleiten (Verdoppeln ±1, über die 10, Nachbaraufgabe, gegensinnig verändern)
Weg vom zählenden Rechnen

Wissensnetz (schnelles Kopfrechnen)

Statt isoliertem Auswendiglernen: wenige auswendig gewusste einfache Aufgaben + Ableitungsstrategien + Zusammenhänge zwischen Operationen
Ableiten ist der Übergang vom Zählen zum Auswendigwissen
Beispiel: 7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 15, Tauschaufgabe 8 + 7, Umkehraufgabe 15 − 8

Typische Fehler beim schnellen Kopfrechnen

Zählfehler um ±1
Perseveration
Kippfehler (Richtungswechsel nach dem Zehner)
Abruffehler
bei 1·1: falscher Ausgleich (6 · 7 = 5 · 7 + 6), additive Deutung (7 · 7 = 14)
bei 1:1: Zählbeginn beim zweiten Zahlwort (36 : 6 = 5)

Netzwerk (Nutzung von Beziehungen)

Rechnungen sind mit anderen Rechnungen verbunden
diese Beziehungen bilden ein Netzwerk
Schlüsselrechnungen (Kern-, Königsaufgaben) bilden das Gerüst, schwierige bzw. weniger geläufige Rechnungen werden abgeleitet
Dritte Teilkomponente des Operationsverständnisses (Lernen am Netzwerk, Rechenstrategien; Selter & Zannetin 2018)

Warum Netzwerk vor Auswendiglernen?

Festigen und Auswendiglernen erst später: Gelerntes kann man vergessen, ohne Netzwerk kann Vergessenes nicht wieder hergeleitet werden
Auswendiglernen führt in eine Sackgasse, weil Rechnungen mit grossen Zahlen so nicht lösbar sind
Netzwerk aufbauen heisst, die Operation von allen Seiten durchleuchten und im Kern verstehen

Nicht-zählende Rechenstrategien (Gaidoschik 2009)

Von Anfang an, genügen für den Zahlenraum bis 10:
Tauschaufgabe (8 + 1 / 1 + 8)
um 1 mehr (1 + 6 / 2 + 6)
Kraft der Fünf (3 + 5 / 8 − 5)
Umkehraufgabe (8 + 1 / 9 − 8)
Minus-Nachbarn (8 − 5 / 8 − 6)

Schlüsselaufgaben Einspluseins (Seminar KW 45)

Aufgaben mit 0 (0 + 9), mit 1 (7 + 1), mit 5 (5 + 3), mit 10 (4 + 10, 7 + 10), Aufgaben mit Summe 10 (2 + _ = 10) und Verdoppelungsaufgaben (6 + 6, 7 + 7, 8 + 8).

Ableitungsstrategien Einspluseins (Seminar KW 45)

Tauschaufgabe (3 + 4 = 4 + 3)
Nachbaraufgaben (3 + 6 aus 3 + 7, 3 + 5, 4 + 6, 2 + 6)
Analogie-Aufgaben (3 + 8 → 13 + 8)
Teilschrittverfahren (4 + 7 = 4 + 6 + 1)
Konstanz der Summe (4 + 7 = 5 + 6)

Netzwerk um 4 + 8

Tauschaufgabe 8 + 4 · Schlüsselaufgabe 4 + 10 (über 4 + 9) · Nachbaraufgaben 3 + 8, 4 + 9, 5 + 8, 4 + 7 · gleiches Resultat (Konstanz der Summe) 3 + 9, 5 + 7 · enaktiv am Zwanzigerfeld mit der Kraft der Fünf.

Teilschrittverfahren

Ein Summand wird so zerlegt, dass zuerst eine bekannte Aufgabe entsteht: 4 + 7 = 4 + 6 + 1.

Minus-Nachbarn

Subtraktionsaufgaben, deren Subtrahend sich um 1 unterscheidet: 8 − 5 / 8 − 6. Aus der bekannten Aufgabe wird die Nachbaraufgabe abgeleitet.

Konstanz der Summe am Zwanzigerfeld

5 + 7 = 6 + 6: Ein Plättchen wechselt die Reihe, aus der Aufgabe wird eine Verdopplungsaufgabe
Übertragbar: 23 + 17 = 20 + 20 = 40 (Systemholz auf zwei Tellern)

Rechengesetze zwischen Aufgaben (PIKAS)

Kommutativgesetz 4 · 3 = 3 · 4 · Assoziativgesetz (2 · 5) · 3 = 2 · (5 · 3) · Konstanz des Produkts 6 · 5 = 3 · 10 · Distributivgesetz 7 · 13 = 7 · 10 + 7 · 3, je am Punktefeld bzw. Quader.

Hinzufügen (Addition, dynamisch)

Zu einer Menge kommt durch eine Handlung etwas dazu: «Emilian hat 4 Bauklötze und holt 5 dazu.»

Zusammenfassen (Addition, statisch)

Zwei Mengen werden gemeinsam betrachtet, ohne Handlung: «Paul hat 2 Riegel, Melly 3. Wie viele haben sie zusammen?»

Vergleichen (Addition)

Eine Menge ist um eine Anzahl grösser: «Evrim hat 4 Sticker, Joey 3 mehr. Wie viele hat Joey?»

Abziehen (Subtraktion, dynamisch)

Von einer Menge wird durch eine Handlung etwas weggenommen: «Torben hat 6 Eier, eines fällt herunter.»

Ergänzen (Subtraktion, dynamisch)

Gesucht ist, wie viel bis zur Zielmenge fehlt: «9 von 12 Puzzleteilen liegen. Wie viele fehlen?» 9 + _ = 12. Später zentrale halbschriftliche Strategie.

Vergleichen (Subtraktion, statisch)

Unterschied zwischen zwei Mengen: «Jan hat 9 Äpfel, Paula 6. Wie viele hat Jan mehr?»

Wiederholen (Multiplikation, zeitlich-sukzessiv)

Die gleiche Handlung passiert mehrmals nacheinander: «Peter isst jeden Tag 4 Äpfel. Wie viele in 3 Tagen?»

Zusammenfassen (Multiplikation, räumlich-simultan)

Gleich grosse Gruppen sind gleichzeitig sichtbar, z. B. als Rechteck: «Ein Kasten hat 3 Reihen mit je 4 Flaschen.» Macht Kommutativ- und Distributivgesetz sichtbar.

Vergleichen (Multiplikation)

Multiplikativer Vergleich: «Theo hat 4 Bonbons, Mila dreimal so viele.»

Aufteilen (Division)

Die Gruppengrösse ist bekannt, gesucht ist die Anzahl Gruppen: «12 Kinder bilden Vierergruppen. Wie viele Gruppen?» Sprache: 12 aufgeteilt in Dreier.

Verteilen (Division)

Die Anzahl Gruppen ist bekannt, gesucht ist die Grösse jeder Gruppe: «12 Orangen in 4 Körbe. Wie viele pro Korb?» Sprache: 12 verteilt auf 3.

Kippfehler

Ableitungsfehler: Das Kind rechnet bis zum Zehner und wechselt dann die Rechenrichtung (8 + 5: 8 + 2 = 10, dann 10 − 3 = 7).

Perseverationsfehler

Eine Zahl aus der Aufgabe oder der vorherigen Aufgabe wird ins Ergebnis übernommen (z. B. 7 + 5 = 7 oder das Ergebnis der Vorgängeraufgabe).

Rechenmethoden

Kopfrechnen
halbschriftliches Rechnen (Rechnen mit Notizen)
schriftliches Rechnen (Algorithmen)
Taschenrechner

Halbschriftliches Rechnen

Gestütztes Kopfrechnen: Zwischenschritte werden notiert
Weg und Notation sind frei
mit Zahlganzheiten unter Nutzung von Zahlbeziehungen und Rechengesetzen

Stellenweise (Stellenwerte extra)

Beide Zahlen nach Stellenwerten zerlegen und stellenweise verrechnen: 498 + 263 = 600 + 150 + 11.

Schrittweise

Nur eine Zahl zerlegen und Schritt für Schritt verrechnen: 637 − 300 − 90 − 5.

Mischform

Kombination, meist stellenweise und schrittweise: 300 − 80 = 220, 220 − 3 = 217.