(P): ARGOMENTO 6: Vettori Aleatori, Indipendenza e Trasformazioni

(D16) Definizione di indipendenza tra v.a.

• Definizione Generale (CDF): X e Y sono indipendenti ⟺FX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y) ∀(x,y)∈R2

• Caso Continuo (PDF): fX,Y(x,y)=fX(x)⋅fY(y)quasi ovunque. (Condizione necessaria: il supporto SX,Y​ deve essere un rettangolo cartesiano A×BA×B).

• Caso Discreto (PMF): pX,Y(xi,yj)=pX(xi)⋅pY(yj)∀i,j

• Proprietà chiave:

  1. E[XY]=E[X]⋅E[Y]

  2. Cov(X,Y)=0(Indipendenza ⟹⟹ Incorrelazione, ma NON viceversa).

  3. g(X) e h(Y) sono indipendenti per qualsiasi funzione g,h

(D22) Definizione di densità congiunta di un vettore aleatorio (X1 ,…,Xn )

• Definizione: Funzione f:Rn→[0,+∞) tale che P(X∈B)=∫_Bf(x)dx

• Proprietà obbligatorie:

  1. f(x1,…,xn)≥0

  2. ∫Rnf(x)dx=1

• Marginale di X1​: Si ottiene integrando la congiunta rispetto a tutte le altre variabili (x2,…,xn​).

• Indipendenza: fX1,…,Xn(x1,…,xn)=fX1(x1)⋯fXn(xn)

(T18) La funzione di ripartizione congiunta di due v.a. e deduzione delle marginali dalla congiunta (marginalizzazione)

• Definizione: F_X,Y(x,y)=P(X≤x,Y≤y) funzione F_X,Y:R2→[0,1]

• Tesi: FY(y)=lim⁡_x→+∞FX,Y(x,y) per ogni y∈R

• Insiemi: Posto xn→+∞, la successione En′={X≤xn,Y≤y} è crescente.

• Continuità P: Per σ-additività, lim⁡n→∞P(En′)=P(⋃nEn′)

• Unione: ⋃En′=(⋃{X≤xn})∩{Y≤y}=Ω∩{Y≤y}={Y≤y}

• Esito: lim⁡_x→+∞FX,Y(x,y)=P(Y≤y)=FY(y) ■

(T19) Densità discreta della somma di v.a. discrete

• Tesi: Per Z=X+Y, f_Z(z)=∑_t∈S1f_XY(t,z−t) per z∈S_Z, altrimenti 0.

• Dimostrazione: {Z=z}=⋃x+y=z {X=x,Y=y}(unione disgiunta).

• Vincolo: Si impone y=z−x, riducendo la doppia somma a ∑_x∈S1 f_XY(x,z−x)

• Indipendenza: Se X⊥⊥Y⟹
  f_Z(z)=(fX∗fY(z)=∑_x∈S1 f_X(x)f_Y(z−x)■

(T20) V.a. di Poisson e derivazione della distribuzione della somma di due Poisson indipendenti

• Tesi: Se X∼Poi(λ1)⊥⊥Y∼Poi(λ2)⟹X+Y∼Poi(λ1+λ2)

• Convoluzione:
  f_X+Y(n)=k=0∑ⁿ e^−λ₁ λ1^k/k! * e^−λ2 λ2^n−k/(n−k)!

• Raccoglimento:
  f_X+Y(n)=e^−(λ1+λ2)/n! ∑n!/k!(n−k)!λ1^kλ2^n−k

• Binomio Newton: La somma algebrica interno-somma vale (λ1+λ2)ⁿ(

• Conclusione: f_X+Y(n)=e^−(λ1+λ2)/n!
  ⟹Poi(λ1+λ2)

(T15) Variabili aleatorie Multinomiale

• Cos'è: Generalizzazione della Binomiale per M>2esiti distinti in n prove i.i.d. (estrazioni con reinserimento).

• Vettore V.A. e Parametri: (X1,…,XM) con ∑Xi=n; parametri n∈Ne probabilità p1,…,pM(con ∑pi=1).

• Densità Discreta (PMF): P(X1=k1,…,XM=kM)=n!/x₁!…x_M! *p₁^x₁…p_M^x_M per ∑ki=n

• Marginale Singola: La marginale di ciascuna componente Xi​ è una Binomiale Bin(n,pi)

(T21) v.a. Ipergeometrica multivariata

• Cos'è: Generalizzazione dell'Ipergeometrica per M>2 tipi di oggetti estratti senza reinserimento da popolazione finita N.

• Vettore V.A. e Parametri: (X1,…,XM) con ∑Xi=n∑Xi​=n; parametri N=∑Ri, conteggi iniziali R1,…,RM ed estrazioni n.

• Densità Discreta (PMF): P(X1=k1,…,XM=kM)=(R1 k1)…(RM kM)/(N n) con ki≤Rii​ e ∑ki=n

• Marginale e Limite: La marginale di Xi è H(N,Ri,n); per N→∞ converge alla Multinomiale (se fossero fatte con rimpiazzo.