grafici deducibili (1)

Grafici e Trasformazioni

• Dalla funzione f(x), si possono ottenere nuovi grafici applicando diverse trasformazioni:

  • Simmetria rispetto all'asse x: y = -f(x)

    • Mantiene le parti positive e riflette quelle negative rispetto all'asse x.

  • Valore assoluto: y = |f(x)|

    • Trasforma le parti negative in positive mantenendo le parti positive.

  • Traslazione in alto: y = f(x) + k

    • Sposta il grafico verticalmente di k unità.

  • Traslazione a destra: y = f(x - 1)

    • Sposta il grafico a destra di 1 unità.

  • Simmetria rispetto all'asse y: y = f(|x|)

    • Considera solo x >= 0 e simmetrico sul lato negativo.

  • Dilatazione lungo l'asse y: y = kf(x)

    • Allunga o accorcia il grafico in verticale di un fattore k.

  • Dilatazione lungo l'asse x: y = f(x/k)

    • Allunga o accorcia il grafico in orizzontale.

Derivata di una Funzione

• Costruire il grafico della derivata f'(x) da un grafico di f(x) seguendo:

  • Quando f(x) è crescente, f'(x) > 0; quando f(x) è decrescente, f'(x) < 0.

  • Punti di massimo/minimo:

    • Massimo: f'(x) = 0 (corte sull'asse x)

    • Minimo: f'(x) = 0 (corte sull'asse x)

  • Punti di flesso: se f''(x) = 0 allora f'(x) ha tangente orizzontale in quel punto.

• Considerazioni sulla concavità:

  • Concavità verso l'alto (f''(x) > 0): f'(x) crescente.

  • Concavità verso il basso (f''(x) < 0): f'(x) decrescente.

• Proprietà delle funzioni:

  • Se f(x) è pari (simmetrica rispetto all'asse y), f'(x) è dispari (simmetrica rispetto all'origine).

  • Se f(x) è dispari, f'(x) è pari.

Esercizi

• Esercizio 1: Dato il grafico in rosso di f(x), determinare a quale corrisponde f(|x|).

• Esercizio 2: Dato il grafico in rosso di f(x), determinare a quale corrisponde |f(x)| - 1.

• Esercizio 3: Dato un grafico f(x), identificare quello della derivata f'(x).

• Costruire grafici per le seguenti funzioni:

  1. f(x) = x³ + x

  2. f(x) = x - 1/x² + 4

  3. f(x) = x³ - 2x

  4. f(x) = x/(x² + 1)

• Continuare con esercizi simili per altre funzioni come f(x) = x³ - 3x, sin x, cos x, etc.

• Utilizzare i grafici dati per costruire quelli delle relative derivate.