Erros e Representação de Números

• Arredondamento:

  • Última casa considerada deve sofrer um acréscimo se a primeira casa eliminada for um número igual ou maior que cinco

  • Exemplos (4 casas decimais):

    • 325,598678 = 325,5987

    • -251,256897 = -251,2569

    • 0,24955 = 0,250

• Truncamento:

  • Considera-se um certo número de casas após a vírgula e as que veem depois dessas são eliminadas sem qualquer alteração nas que ficaram

    • Exemplos (4 casas decimais):

      • 325,598678 = 325,5986

      • -251,256897 = -251,2568

      • 0,24955 = 0,2495

• Ponto Flutuante:

  • Números reais, pequenos ou grandes, são escritos no sistema de ponto flutuante

  • Forma: ±0, d₁d₂d₃ … d^_n x b^exp

  • Componentes:

    • Mantissa: ±0, d₁d₂d₃ … d^_n

    • Expoente: exp

    • Base: b

  • Exemplo:

    • 38,729 = 0,38729 × 10²

    • Mantissa = 0,38729

    • Expoente = 2

    • Base = 10

  • Outros exemplos:

    • 12542,78587 = 0,1254278587 × 10⁵

    • 0,002356 = 0,2356 × 10⁻²

    • Número para a direita o expoente aumenta

    • Número para a esquerda o expoente diminui

  • Operações com ponto flutuante:

    • 𝑥 = 0,287 × 10⁵

    • 𝑦 = 0,2734 × 10³

    • 𝑥 + 𝑦 = 0,287 × 10⁵ + 0,002734 × 10⁵ = 0,289734 × 10⁵

      • Pega o menor expoente (3) e converte para o maior (5)

    • 𝑥 ∙ 𝑦 = 0,287 × 10⁵ × 0,2734 × 10³ = 0,0784658 × 10⁸

      • Só mantém a base e soma os expoentes

• Conversão de bases:

  • Decimal para binário:

    • 1010.01 = 10,25

    • Valores de cada bit:

      

    • 8 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0,25 = 10,25

    • Decimal para binário:

      • 25 = 11001

      • Equação:

        

      • 25,1875 = 11001.0011

      • Conversão da parte decimal:

        

    • Binária em ponto flutuante:

      • Conversão do número 50:

        

      • 2⁵ foi escolhido pois é a potência de 2 que mais se aproxima de 50 sem ultrapassar

• Armazenamento de número na memória do computador:

  • Na precisão dupla os números são armazenados em uma cadeia de 64 bits

  • Exemplo:

    

Teoria dos Conjuntos

• Representação:

  • A = {a,e,i,o,u} → Por elementos

  • A = {x | x é vogal} → Pela propriedade

  • Digrama de Venn:

    

• Pertinência:

  • a ∈ A → elemento “a” pertence ao conjunto “A“

  • a ∉ A → elemento “a” não pertence ao conjunto “A“

• Tipos:

  • Vazio:

    • Não tem elementos

    • Representado por {} ou ∅

  • Unitário:

    • Somente um elemento

  • Universo:

    • Representado por U

    • Contém todos os conjuntos de um determinado contexto

• Conjuntos numéricos:

  • Explicação:

    

• Subconjunto:

  • Explicação:

    

• Operações com conjuntos:

  • Explicação:

    

• Produto cartesiano:

  • Explicação:

    

Relações e Funções

• Relação:

  • Relação é uma comparação entre dois objetos

  • Estes objetos estão ou não relacionados de acordo com alguma regra

  • Uma relação é um conjunto de pares ordenados

  • Domínio e imagem:

    • O domínio (D) é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado

    • Imagem (Im) é o conjunto dos segundos elementos

    • Exemplo:

      • 𝑅 = {(1, 𝑦), (1, 𝑧), (3, 𝑦)}

      • D(R) = {1, 3}

      • Im(R) = {y, z}

  • Representações:

    • 𝐴 = {1, 2, 3} , 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} e seja 𝑅 = {(1, 𝑦), (1, 𝑧), (3, 𝑦)}

      

    • 𝐴 = {1, 2, 3,4} e seja 𝑅 = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3)}

      

• Função:

  • Toda função é uma relação

  • Transforma elementos de um conjunto origem em elementos de um conjunto saída

  • “CADA ELEMENTO DE UM CONJUNTO DE ENTRADAS DEVE ESTAR RELACIONADO A UM ÚNICO ELEMENTO DO CONJUNTO DE SAÍDAS”

  • Se não seguir a regra acima a relação não é função

  • Tipos:

    • Injetora:

      • Não há elemento em B com mais de um componente em A

        

    • Sobrejetora:

      • Qualquer elemento de B é imagem de, pelo menos, um elemento de A

        

    • Bijetora:

      • Se ela for injetora e sobrejetora

        

  • Função inversa:

    • A inversa de uma função f pode ser denotada por f^-1

      

    • Para encontrar a inversa, deve-se trocar x por y

      • Exemplos:

        • f(x) = x + 5

        • y = x + 5

        • x = y + 5

        • x - 5 = y

        • f(x) = 2x – 3

        • y = 2x - 3

        • x = 2y - 3

        • x + 3 = 2y

        • x/2 + 3/2 = y

  • Função composta:

    • Genericamente, escrevemos h(x) = g(f(x)) ou (g ○ f)(x)

    • Exemplo:

      • f(x) = 2x + 2

      • g(x) = 5x

        

  • Função valor inteiro:

    • INT(x) converte x em um inteiro apagando a parte fracionária

    • Exemplos:

      • INT (42,98) = 42

      • INT (-42,98) = -42

      • INT (42) = 42

      • INT (-42) = -42

  • Função valor absoluto:

    • É o maior dos valores entre x e –x

    • ABS(x) ou |x|

    • Exemplos:

      • |-72,53| = 72,53

      • |72,53| = 72,53

  • Função floor:

    • Definição:

      

    • Exemplos:

      

  • Função ceiling:

    • Definição:

      

    • Exemplos:

      

  • Função resto:

    • Seja k inteiro qualquer e M positivo, então k(modM)

    • Se k é negativo divida k por M para obter o resto r:

      • k (modM)=M-r

    • Exemplos: