Detailed Solutions to Additional Exercises 4.4: Solving Quadratic Inequalities in One Variable

Activités supplémentaires 4.4: La résolution d’une inéquation du second degré à une variable

Question 1

• Fonction: h(x) = 4(x-3)^2 + 10

• a) Trouver les valeurs de x pour lesquelles h(x) ≤ 110

  • 110 = 4(x-3)^2 + 10
  • 100 = 4(x-3)^2
  • 25 = (x-3)^2
  • x-3 = 5 et x-3 = -5
  • x1 = 8 et x2 = -2
  • Donc, x ∈ [-2, 8]

• b) Trouver les valeurs de x pour lesquelles h(x) ≥ 26

  • 26 = 4(x-3)^2 + 10
  • 16 = 4(x-3)^2
  • 4 = (x-3)^2
  • x-3 = 2 et x-3 = -2
  • x1 = 5 et x2 = 1
  • Donc, x ∈ ]-∞, 1] ∪ [5, ∞[

• c) Trouver les valeurs de x pour lesquelles h(x) ≤ 410

  • 410 = 4(x-3)^2 + 10
  • 400 = 4(x-3)^2
  • 100 = (x-3)^2
  • x-3 = 10 et x-3 = -10
  • x1 = 13 et x2 = -7
  • Donc, x ∈ [-7, 13]

Question 2

• a) Résoudre l'inéquation: \frac{1}{25}x^2 - \frac{8}{25}x + \frac{316}{25} > 48

  • Multiplier par 25: x^2 - 8x + 316 > 1200
  • x^2 - 8x - 884 > 0
  • x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-8) ± \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-884)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 ± 60}{2}
  • x1 = 34 et x2 = -26
  • Test avec x = 0: \frac{1}{25} \cdot 0^2 - \frac{8}{25} \cdot 0 + \frac{316}{25} = 12.64
  • 12.64 < 48, donc 0 n'est pas dans la solution.
  • Solution: x ∈ ]-∞, -26[ ∪ ]34, ∞[

• b) Résoudre l'inéquation: 0.3(x+1)(x-7) ≥ 25.2

  • 0.3(x^2 - 6x - 7) = 25.2
  • 0.3x^2 - 1.8x - 2.1 = 25.2
  • 0.3x^2 - 1.8x - 27.3 = 0
  • x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-1.8) ± \sqrt{(-1.8)^2 - 4 \cdot 0.3 \cdot (-27.3)}}{2 \cdot 0.3} = \frac{1.8 ± 6}{0.6}
  • x1 = 13 et x2 = -7
  • Test avec x = 0: 0.3(0+1)(0-7) = -2.1
  • -2.1 < 25.2, donc 0 n'est pas dans la solution.
  • Solution: x ∈ ]-∞, -7] ∪ [13, ∞[

Question 3

• Fonction: f(x) = \frac{1}{4}x^2 - 2x - 3

• a) Quelles valeurs exactes de x vérifient l'inéquation f(x) ≥ -4?

  • (\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3) \cdot 4 = -4 \cdot 4
  • x^2 - 8x - 12 = -16
  • x^2 - 8x + 4 = 0
  • x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-8) ± \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} ≈ \frac{8 ± \sqrt{48}}{2}
  • x1 = \frac{8 + \sqrt{48}}{2} et x2 = \frac{8 - \sqrt{48}}{2}
  • On peut simplifier les racines, ce qui donne 4 + 2\sqrt{3} et 4 - 2\sqrt{3}.
  • Solution: x ∈ [\frac{8 - \sqrt{48}}{2}, \frac{8 + \sqrt{48}}{2}]

• b) Quelles valeurs exactes de x vérifient l'inéquation f(x) > 29?

  • (\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3) \cdot 4 = 29 \cdot 4
  • x^2 - 8x - 12 = 116
  • x^2 - 8x - 128 = 0
  • x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-8) ± \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 ± 24}{2}
  • x1 = 16 et x2 = -8
  • Test avec x = 0: \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3
  • -3 < 29, donc 0 n'est pas dans la solution.
  • Solution: x ∈ ]-∞, -8[ ∪ ]16, ∞[

• c) Quelles valeurs exactes de x vérifient l'inéquation f(x) ≤ 2?

  • (\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3) \cdot 4 = 2 \cdot 4
  • x^2 - 8x - 12 = 8
  • x^2 - 8x - 20 = 0
  • x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-8) ± \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 ± 12}{2}
  • x1 = 10 et x2 = -2
  • Test avec x = 0: \frac{1}{4} \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3
  • -3 < 2, donc 0 n'est pas dans la solution.
  • Solution: x ∈ ]-∞, -2] ∪ [10, ∞[

Question 4

• Modélisation de la superficie d'une moisissure: s(x) = -1.5(x-8)^2 + 100, où x est le nombre de jours et s(x) est la superficie en cm². Déterminer l'intervalle de temps où la superficie ne dépasse pas 76 cm².
  • On cherche s(x) ≤ 76.
  • -1.5(x-8)^2 + 100 = 76
  • -1.5(x-8)^2 = -24
  • (x-8)^2 = 16
  • x-8 = 4 et x-8 = -4
  • x1 = 12 et x2 = 4
  • Test avec x = 3: -1.5(3-8)^2 + 100 = 62.5
  • 62.5 < 76, donc 3 fait partie de la solution.
  • Solution: x ∈ [0, 4] ∪ [12, 16.16] jours. Le domaine de la fonction est [0, 16.16] jours.

Question 5

• Trajectoire d'une fusée miniature: La fusée atteint une hauteur maximale de 54 m après 3.75 secondes. Déterminer pendant combien de temps la fusée se trouve à 30 m ou plus de hauteur.
  • Sommet: (3.75, 54)
  • Forme de la fonction: h(x) = a(x-h)^2 + k
  • h(x) = a(x-3.75)^2 + 54
  • 0 = a(0-3.75)^2 + 54
  • 0 = 14.0625 \cdot a + 54
  • a = -3.84
  • h(x) = -3.84(x-3.75)^2 + 54
  • On cherche h(x) ≥ 30
  • -3.84(x-3.75)^2 + 54 = 30
  • -3.84(x-3.75)^2 = -24
  • (x-3.75)^2 = 6.25
  • x-3.75 = 2.5 et x-3.75 = -2.5
  • x1 = 6.25 et x2 = 1.25
  • 6.25 - 1.25 = 5
  • La fusée se trouve à 30 m ou plus pendant 5.0 secondes.

Question 6

• Trajectoire d'un ballon de volleyball: La hauteur du filet est de 2.24 m. Déterminer l'intervalle de la distance horizontale pour lequel le ballon est à une hauteur supérieure à celle du filet.
  • Sommet: (9, 4)
  • Forme de la fonction: f(x) = a(x-h)^2 + k
  • f(x) = a(x-9)^2 + 4
  • 1.8 = a(0-9)^2 + 4
  • -2.2 = 81a
  • a = - \frac{11}{405}
  • f(x) = - \frac{11}{405}(x-9)^2 + 4
  • On cherche f(x) > 2.24
  • - \frac{11}{405}(x-9)^2 + 4 = 2.24
  • - \frac{11}{405}(x-9)^2 = -1.76
  • (x-9)^2 = 64.8
  • x-9 = \sqrt{64.8} et x-9 = - \sqrt{64.8}
  • x1 ≈ 17.05 et x2 ≈ 0.95
  • Solution: x ∈ ]0.95, 17.05[ m

Question 7

• Parabole: L'équation de la parabole est y = -2x^2 + 24x - 40. Déterminer l'aire du trapèze formé par les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses et par les points A et B de la parabole, sachant que l'ordonnée des points A et B est inférieure à 24 mais supérieure à 14.
  • Grande base (intersection avec l'axe des abscisses, y = 0):
    • -2x^2 + 24x - 40 = 0
    • x^2 - 12x + 20 = 0
    • (x-10)(x-2) = 0
    • x1 = 10 et x2 = 2
    • Longueur de la grande base: 10 - 2 = 8 u
  • Petite base (ordonnée < 24):
    • -2x^2 + 24x - 40 = 24
    • -2x^2 + 24x - 64 = 0
    • x^2 - 12x + 32 = 0
    • (x-4)(x-8) = 0
    • x1 = 4 et x2 = 8
    • Longueur de la petite base: 8 - 4 = 4 u
  • Petite base (ordonnée > 14):
    • -2x^2 + 24x - 40 = 14
    • -2x^2 + 24x - 54 = 0
    • x^2 - 12x + 27 = 0
    • (x-3)(x-9) = 0
    • x1 = 3 et x2 = 9
    • Longueur de la petite base: 9 - 3 = 6 u
  • Aire du trapèze:
    • A_{trapèze} = \frac{(B+b) \cdot h}{2}
    • A_{max}= \frac{(8+4) \cdot 24}{2} = 144 u^2
    • A_{min}= \frac{(8+6) \cdot 14}{2} = 98 u^2
  • L'aire est de ]98, 144[ unités carrées.