lineare algebra I Grundlagen

Kapitel 4: Lineare Algebra

4.1 Lineare Gleichungen (LG)

• Definition: Eine lineare Gleichung in n Variablen ist eine Gleichung der Form: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.

• Spezielle Fälle:

  • n = 1 → ax = b

  • n = 2 → ax + by = c

  • n = 3 → ax + by + cz = d

4.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

• Definition: Ein linearer Gleichungssystem ist ein System von linearen Gleichungen.

• Struktur eines LGS mit zwei Variablen:

  1. a11x1 + a12x2 = b1

  2. a21x1 + a22x2 = b2

• Example: Ein System mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.

4.3 Gauß-Verfahren

• Grundsätzlich für die Lösung von LGS angewendet werden.

• Schritte:

  1. Zeilenumformungen, um eine obere Dreiecksform herzustellen.

  2. Rückwärtseinsetzen zur Lösung der Variablen.

4.4 Lineare Ungleichungen

• Definition: Ungleichungen, die linear sind, teilen den Raum in Halbebenen.

• Beispiele:

  • y ≤ mx + b

  • ax + by ≤ c

Beispiel: Budgetgerade

• Gleichung: pXx + pYy = b mit Budget b

• Achsenabschnittsform: x = b/pX und y = b/pY.

4.5 Nichtlineares

• Nichtlineare Gleichungen:

  • Definition: Eine Gleichung, die nicht linear ist. Beispiel: x² + y = 4

  • Es können verschiedene Formen auftreten in höheren Dimensionen.

4.5.1 NLG (Nichtlineare Gleichungen)

• Beispiele und deren graphische Darstellung.

4.5.2 NLGS (Nichtlineare Gleichungssysteme)

• Entsprechende Lösungsmethoden und deren Anwendbarkeit.

4.5.3 NLUG und NLUGS (Nichtlineare Ungleichungen)

• Linear und nichtlinear mit ihren relevanten Bedingungen.

4.5.4 Anwendung in der Wirtschaft

• Verwendung von NDGs in wirtschaftlichen Modellen und deren mathematische Grundlagen.

4.6 Ökonomische Anwendungen

• Ein Marktgleichgewicht wird durch die Gleichungen von Angebot und Nachfrage abgebildet:

  • Nachfrage: x = a - bp

  • Angebot: x = cp

• Maximierung von Umsatz etc. durch LGS oder entsprechende wirtschaftliche Rückschlüsse.