Appunti sulla Teoria Ondulatoria e l'Atomo

Dualità Onda-Particella

• Domanda chiave: Se la luce ha proprietà sia ondulatorie che corpuscolari, perché non possono le particelle di materia (elettroni) essere trattate allo stesso modo? (De Broglie, 1924)

Moto Ondulatorio in Sistemi Ristretti

• Possibili solo certe frequenze (lunghezze d'onda) di vibrazione.
• Condizione: $2\pi r = n\lambda$, dove:
  • $r$ è il raggio
  • $n$ è un numero intero
  • $\lambda$ è la lunghezza d'onda.
• Un elettrone legato al nucleo si comporta come un'onda stazionaria.

Teoria Ondulatoria dell'Atomo

• Sviluppata a partire dalla teoria quantistica di Bohr, grazie alle intuizioni di De Broglie.
• Equazioni di Einstein sulla natura corpuscolare-ondulatoria della luce:
  • $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ (energia del fotone secondo Planck), dove:
    • $E$ è l'energia
    • $h$ è la costante di Planck
    • $\nu$ è la frequenza
    • $c$ è la velocità della luce
    • $\lambda$ è la lunghezza d'onda.
  • $E = pc$ (relatività di Einstein), dove $p$ è la quantità di moto del fotone.
• Ricaviamo: $p = \frac{h}{\lambda}$
• Quindi: $\lambda = \frac{h}{p}$ (dove $p$ è la quantità di moto del fotone).
• Per il fotone: $E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$

Lunghezza d'Onda di De Broglie

• De Broglie dimostrò che ad ogni corpo materiale di massa $m$ in moto con velocità $v$ è associata un'onda con lunghezza d'onda:
  • $\lambda = \frac{h}{mv}$
• De Broglie pensava che un elettrone si comportasse come un'onda stazionaria attorno al nucleo.
• Onda stazionaria: $2\pi r = n\lambda$
• Le onde stazionarie sono esempi di quantizzazione.

Esempi di Calcolo della Lunghezza d'Onda

• Elettroni liberi ($v = 3 \cdot 10^8 m/s$):
  • $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} Js}{9.1 \cdot 10^{-31} kg \cdot 3 \cdot 10^8 ms^{-1}} = 2.4 \cdot 10^{-12} m$
• Palla da tennis ($m = 30.0 g$, $v = 68 m/s$):
  • $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} Js}{30 \cdot 10^{-3} kg \cdot 68 ms^{-1}} = 3.25 \cdot 10^{-34} m$
• Elettroni ($v = 68 m/s$):
  • $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} Js}{9.1 \cdot 10^{-31} kg \cdot 68 ms^{-1}} = 1.1 \cdot 10^{-5} m = 1.1 \cdot 10^4 nm$ (lunghezze d'onda misurabili).

Importanza del Comportamento Ondulatorio

• Il comportamento ondulatorio non è rilevante per particelle macroscopiche.
• Il moto di tali particelle può essere spiegato tramite la meccanica classica.

Confronto Teoria Classica vs. Teoria Quantistica

• Teoria Classica
  • Materia: Particellare, massiva
  • Energia: Continua, ondulatoria
  • Osservazioni:
    • Radiazione del corpo nero
    • Effetto fotoelettrico
    • Spettri a righe atomici
  • Teorie:
    • Planck: L'energia è quantizzata (solo certi valori permessi).
    • Einstein: La luce ha comportamento particellare (fotoni).
    • Bohr: L'energia degli atomi è quantizzata; l'elettrone emette un fotone cambiando orbita.
• Teoria Quantistica
  • Materia: Ondulatoria
  • Energia: Particellare.
  • Osservazioni:
    • Davisson/Germer: diffrazione degli elettroni da cristalli metallici.
    • Compton: La lunghezza d'onda di un fotone aumenta dopo l'urto con un elettrone.
  • Teorie:
    • De Broglie: Tutta la materia ha moto ondulatorio, quantizzazione dell'energia atomica dovuta al moto ondulatorio degli elettroni.
    • Einstein/De Broglie: Massa ed energia sono equivalenti; le particelle hanno una lunghezza d'onda e i fotoni hanno quantità di moto.
• Nella teoria quantistica, energia e materia sono particellari, massive e ondulatorie.

Esperimento di Davisson-Germer

• Dimostra la diffrazione degli elettroni, confermando la natura ondulatoria della materia.
• Analogo alla diffrazione dei raggi X.

Principio di Indeterminazione di Heisenberg

• Serve a descrivere il moto di una particella conoscendo posizione e velocità.
• Nel 1927, Heisenberg dimostrò l'impossibilità di determinare contemporaneamente con precisione velocità e posizione di una particella di massa molto piccola.
• $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$, dove:
  • $\Delta x$ è l'incertezza nella posizione.
  • $\Delta p = \Delta (mv)$ è l'incertezza nella quantità di moto.

Esempio del Principio di Indeterminazione

• Elettrone: Se $\Delta x = 0.1 Å = 10^{-9} cm$, allora:
• $\Delta v \geq \frac{h}{4\pi \cdot \Delta x \cdot m} \geq 5.8 \cdot 10^8 cm/s$
• Palla da tennis (30g): Se $\Delta x = 1 \cdot 10^{-3} cm$, allora:
  • $\Delta v \geq \frac{h}{4\pi \cdot \Delta x \cdot m} \geq \frac{6.626 \cdot 10^{-27} (erg \cdot s)}{4\pi \cdot 1 \cdot 10^{-3} (cm) \cdot 30 (g)} = 1.7 \cdot 10^{-26} cm/s$

Conseguenze del Principio di Indeterminazione

• È impossibile descrivere il comportamento dell'elettrone attorno al nucleo secondo il modello classico (traiettoria definita).
• Necessità di un nuovo modello che consideri l'elettrone come un'onda.
• L'elettrone perde la sua individualità e si delocalizza in un'onda di probabilità (nube carica negativa).
• Schrödinger descrisse il comportamento dell'elettrone come un'onda stazionaria, proponendo un'equazione d'onda.

Equazione di Schrödinger

• Descrive il comportamento e l'energia dell'elettrone nell'atomo di idrogeno.
• $\Psi(x,y,z)$ (funzione d'onda) deve:
  • Essere continua e finita.
  • Avere un solo valore in ogni punto dello spazio.
  • Tendendere a zero all'infinito.
  • Soddisfare la condizione di normalizzazione: $\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2 dV = 1$, dove $|\Psi|^2dV$ è la probabilità di trovare l'elettrone nel volume infinitesimo dV.

Equazione di Schrödinger per l'atomo di idrogeno

• $[-\frac{h^2}{8\pi^2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}) + V(x,y,z)] \Psi = E \Psi$
  con potentiale
  *. $V = -\frac{e^2}{r}$
  L'equazione di Schrodinger diventa
• $[-\frac{h^2}{8\pi^2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}) - \frac{e^2}{r}] \Psi = E \Psi$

Funzione d'Onda

• Descrizione matematica del moto della materia-onda associata all'elettrone in termini di posizione.
• L'informazione completa sullo stato di una particella quantica è contenuta in $\Psi(x, y, z)$.
• La probabilità di trovare una particella (elettrone) in una regione dello spazio è proporzionale al quadrato della funzione d'onda, $\Psi^2(x, y, z)$.

Orbitali Atomici

• Ogni soluzione dell'equazione di Schrödinger (ogni stato energetico dell'atomo) è associata a una data funzione d'onda, detta orbitale atomico.
• La funzione d'onda stessa non ha significato fisico, ma il suo quadrato, $\Psi^2$, esprime la probabilità di trovare l'elettrone in un piccolo volume entro l'atomo.
• Espressione generale:
  • $[ -\frac{h^2}{8\pi^2 m} (\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}) + Ep] \Psi = E \Psi$
  • Dove:
    • $E$ è l'energia totale quantizzata del sistema atomico.
    • $Ep$ è l'energia potenziale nel punto (x, y, z).
    • $m$ è la massa dell'elettrone.
      Area sottesa alla curva
• $P = \int_a^b |\Psi(x)|^2 dx$

Numeri Quantici e Orbitali Atomici

• Ogni funzione d'onda è caratterizzata da tre numeri quantici, $\Psi_{n,l,m}$, e viene chiamata orbitale.
  • n: numero quantico principale (dimensione e energia), assume valori da 1 a ∞.
  • l: numero quantico secondario o azimutale (forma), assume valori interi da 0 a n-1.
  • ml: numero quantico magnetico (orientazione), assume valori interi da -l a +l, incluso 0.

Esempio di Orbitale

• $\Psi_{100}$ rappresenta l'orbitale con $n=1$, $l=0$, $m=0$ e corrisponde allo stato energetico più basso (stato fondamentale) dell'elettrone nell'atomo di idrogeno.

Significato dei Numeri Quantici

• n (numero quantico principale): determina la dimensione relativa dell'orbitale e il livello di energia dell'elettrone. All'aumentare di n, aumenta l'energia.
• l (numero quantico secondario o del momento angolare): determina la forma dell'orbitale e contribuisce, in piccola parte (per atomi polielettronici), all'energia.
• ml (numero quantico magnetico): determina l'orientazione dell'orbitale nello spazio attorno al nucleo.

Gerarchia dei Numeri Quantici

Simboli degli Orbitali

| l | Simbolo |
| - | ------- |
| 0 | s |
| 1 | p |
| 2 | d |
| 3 | f |

• I livelli energetici sono dati dal valore di n (minore n = minore energia).
• La combinazione permessa dei valori n, l, ml specifica un orbitale atomico.

Stati Quantici Possibili nell'Atomo di Idrogeno

Energia degli Orbitali nell'Atomo di Idrogeno

• Orbitali diversi con energia uguale sono detti degeneri.
• $E = -\frac{E<em>0}{n^2} (J)$, dove $E</em>0 = 2.18 \cdot 10^{-18} J$

Forma degli Orbitali

• Superficie limite: superficie che contiene il 90% della densità elettronica totale ($\Psi^2$).
• Orbitale s ($l=0$): forma sferica con il nucleo al centro.

Orbitali p

• Non hanno simmetria sferica.
• Definiti dalla parte angolare della funzione d'onda.
• La lettera in pedice indica l'asse lungo il quale sono orientati.
• Contengono un piano nodale perpendicolare all'asse di orientamento.

Orientazione degli Orbitali p ($l=1$)

• Ogni orbitale p possiede un piano nodale passante per il nucleo.

Orbitali d

• Contengono due piani nodali.
• Il pedice contiene informazioni sulla forma e l'orientazione.

Significato dei numeri quantici

• (a) Il numero quantico principale n è in relazione con le dimensioni e l’energia dell’orbitale
• (b) Il numero quantico secondario l è in relazione con la forma dell’orbitale (per l = 0, orbitale di forma sferica, per l = 1, orbitali con forma di otto,…)
• (c) Il numero quantico magnetico ml è in relazione con l’orientazione dell’orbitale: per l = 0, ml = 0 (nessuna orientazione) per l = 1, ml = +1, 0, -1 (3 orbitali degeneri in tre direzioni)

Atomi polielettronici

• L’equazione di Schrodinger non fornisce soluzioni esatte per gli atomi polielettronici ma soluzioni approssimate.
• Queste mostrano che gli orbitali atomici degli atomi polielettronici sono simili a quelli dell’atomo di idrogeno.
• Si possono usare gli stessi numeri quantici.
• L’esistenza di più di un elettrone in un atomo impone:
  • la necessità di un quarto numero quantico
  • un limite di elettroni permessi in un dato orbitale
  • un più complesso insieme di livelli energetici

Spin elettronico

• Lo spin elettronico risulta quantizzato l’elettrone durante il suo moto attorno al nucleo ruota anche su se stesso, in senso orario o antiorario, generando un secondo campo magnetico nell’atomo (momento magnetico di spin).
• Esperimento di Stern-Gerlach
• Lo spin non è una proprietà dell’orbitale e diventa importante quando è presente più di un elettrone
• Fascio di atomi di idrogeno gassoso attraversa un campo magnetico non uniforme

Numero quantico di spin

• Allo spin elettronico “quantizzato” sono associati numeri quantici di spin ms = +1/2 e ms = -1/2

Principio di esclusione di Pauli

• “Un orbitale non può contenere più di due elettroni e questi devono avere direzioni di spin opposte” .
• I due elettroni a spin opposto si dicono accoppiati
• Principio di esclusione di Pauli è la chiave dell’interpretazione della configurazione elettronica degli atomi

Pauli

• Due elettroni non possono essere descritti dalla stessa quaterna di numeri quantici (n, l, ml, ms).