Appunti sulla struttura atomica e la meccanica quantistica

Modello Atomico di Rutherford (1911)

• Nucleo centrale:
  • Contiene quasi tutta la massa dell'atomo.
  • Presenta cariche elementari positive in numero costante per ogni specie atomica (numero atomico).
• Elettroni:
  • Ruotano attorno al nucleo.
  • Il numero di elettroni è uguale al numero di cariche elementari positive nel nucleo.
• Neutralità:
  • L'atomo è elettricamente neutro nel suo complesso.

Fondamenti del Modello Classico

1. Variabili dinamiche:
   • Lo stato fisico di un sistema è descritto da un set di quantità chiamate variabili dinamiche.
   • Queste variabili assumono valori ben precisi in ogni istante.
2. Determinismo:
   • Lo stato futuro di un sistema può essere perfettamente determinato se è noto lo stato iniziale.
3. Energia continua:
   • L'energia di un sistema può variare in modo continuo su un intervallo di valori permessi.

Instabilità del Modello Classico

• Problema:
  • Il modello di Rutherford prevedeva un atomo instabile.
• Elettrodinamica classica:
  • Un elettrone in rotazione attorno al nucleo avrebbe dovuto disperdere energia sotto forma di radiazione elettromagnetica.
  • Questo avrebbe causato la caduta dell'elettrone sul nucleo in breve tempo.
• Soluzione:
  • Abbandonare le teorie della fisica classica.
  • Utilizzare i concetti della meccanica quantistica.

Interazione Materia-Radiazione

• La maggior parte delle nostre conoscenze sulla struttura degli atomi e delle molecole si basa su studi sperimentali dell’interazione della materia con radiazioni elettromagnetiche.

Onde Elettromagnetiche

• Velocità della luce: c = 2.998 \times 10^8 \text{ m/s}
• Lunghezza d'onda: \lambda (m)
• Frequenza: v = numero di cicli al secondo, v = \frac{c}{\lambda} (s-1 o Hz)
• Ampiezza: A rappresenta l'altezza di un massimo ed è indicativa dell'intensità dell'onda.

Spettro Elettromagnetico

• Descrive l'intervallo di tutte le possibili frequenze della radiazione elettromagnetica.
• Include:
  • Raggi gamma
  • Raggi X
  • Ultravioletto
  • Visibile
  • Infrarossi
  • Microonde
  • Onde radio
• Esempi di applicazioni:
  • Lampada solare (radiazione UV, Visibile, Infrarossi)
  • Forni a microonde
  • Radar della polizia
  • Stazioni satellitari
  • Telefoni cellulari
  • Radio AM/FM

Interferenza

• Interazione fra due onde.

Interferenza Costruttiva

• Onde perfettamente in fase e con la stessa \lambda.
• L'onda risultante ha un'ampiezza doppia rispetto alle onde originali.

Interferenza Distruttiva

• Onde completamente sfasate.
• Le due onde si eliminano a vicenda.

Interferenza Parzialmente Distruttiva

• Onde parzialmente sfasate
• Le due onde originali si sommano per dare un'onda intermedia.

Dualismo Onda-Particella della Luce

• La luce può comportarsi sia come onda che come particella (fotoni).

Diffrazione

• La figura di diffrazione generata dalla luce che attraversa due fenditure adiacenti mostra regioni chiare (interferenza costruttiva) e regioni oscure (interferenza distruttiva).

Fenomeni Sconcertanti per la Fisica Classica

• Tre fenomeni principali:
  1. Radiazione del corpo nero
  2. Effetto fotoelettrico
  3. Spettri atomici

Radiazione del Corpo Nero

• Ogni corpo emette energia sotto forma di radiazione elettromagnetica a causa della sua temperatura.
• Emissione di luce da parte di solidi caldi è nota come radiazione del corpo nero (un corpo ideale capace di assorbire tutte le radiazioni incidenti su di esso).

Fallimento della Fisica Classica

• La fisica classica non riusciva a spiegare lo spettro di emissione del corpo nero.
• La curva teorica divergeva da quella sperimentale nella regione dell'ultravioletto (catastrofe ultravioletta).

Definizione di Corpo Nero

• Un corpo nero è un oggetto teorico che assorbe il 100% della radiazione incidente, non riflette nulla e appare perfettamente nero.
• Se riscaldato, emette radiazione isotropa che dipende solo dalla temperatura.

Quantizzazione dell'Energia (Planck, 1900)

• Per spiegare la radiazione del corpo nero, Planck ipotizzò che gli atomi o le molecole possono emettere o assorbire solo quantità discrete di energia (quanti).
• L'energia dei singoli atomi non è continua, ma può assumere solo valori multipli interi di una quantità minima finita \epsilon (quanto di energia).
• \epsilon = h \nu, dove h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s} (costante di Planck) e \nu è la frequenza.

Effetto Fotoelettrico

• Descritto dall'equazione: E{\text{max}} = h\nu - h\nu0

Natura Dualistica della Luce

• La luce si comporta sia come onda sia come fascio di particelle (fotoni), a seconda dell'esperimento.
• La teoria quantistica di Planck e la teoria fotonica di Einstein attribuirono all'energia proprietà riservate alla materia.

Spettri Atomici

• Ogni sostanza ha uno spettro atomico di emissione (o a righe) caratteristico.
• Si ottiene facendo passare la luce emessa da una sorgente attraverso una fenditura e un prisma, impressionando poi una lastra fotografica.

Spettro di Emissione dell'Idrogeno

• Nel visibile, presenta righe a specifiche lunghezze d'onda: violetto (410,10 nm), azzurro (434,05 nm), verde-azzurro (486,13 nm), rosso (656,28 nm).

Spettri a Righe

• Gli atomi eccitati emettono uno spettro discontinuo, formato da righe corrispondenti a un insieme discreto di frequenze.
• Tali spettri sono caratteristici per ogni elemento.

Equazione di Rydberg

• Rydberg formulò un'equazione empirica per le frequenze delle linee nello spettro dell'idrogeno:
• Numero d'onda: \tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = RH \left( \frac{1}{ns^2} - \frac{1}{n^2} \right)

Serie Spettrali dell'Idrogeno

• Costante di Rydberg: R_H = 1.09737 \times 10^7 \text{ m}^{-1}
• \textit{n}s = 1, 2, 3, …
• \textit{n} = \textit{n}s + 1, \textit{n}s + 2, …
• Serie di Lyman (ultravioletto lontano): \textit{n}s = 1
• Serie di Balmer (visibile): \textit{n}s = 2
• Serie di Paschen (ultrarosso): \textit{n}s = 3

Modello di Bohr dell'Atomo di Idrogeno

• Applica il concetto di quantizzazione dell'energia al modello classico di Rutherford.
• Postulati:
  1. L'elettrone descrive orbite circolari attorno al nucleo senza irradiare energia.
  2. L'elettrone non irradia quando si trova in un'orbita permessa (stato stazionario a energia costante); le emissioni avvengono solo durante le transizioni tra orbite.

Frequenza della Radiazione Emessa

• La frequenza della radiazione emessa quando l'elettrone passa da un'orbita più esterna a una più interna è data da: \nu = \frac{E2 - E1}{h}

• Sono permesse solo le orbite per le quali il momento angolare dell’elettrone (\text{mvr}) è un multiplo di \frac{h}{2\pi}. Il momento angolare è quantizzato.

• \textit{n} è il numero quantico principale (\textit{n} = 1, 2, 3, …)

Energia dell'Elettrone nell'Atomo di Idrogeno (Bohr)

• I valori di energia che un elettrone può avere in un atomo di idrogeno sono quantizzati:
• En = -RH \frac{1}{n^2}
• \textit{n} è il numero quantico principale (\textit{n} = 1, 2, 3, …)
• \textit{n} è associato al raggio di un'orbita dell'elettrone (\text{r}_\text{n} \sim \text{n}^2).

Diagramma dei Livelli Energetici (Atomo di Idrogeno)

• Mostra i livelli energetici permessi per l'elettrone.
• Transizioni elettroniche (salti quantici) da stati più eccitati a stati meno eccitati o allo stato fondamentale causano l'emissione di radiazioni elettromagnetiche caratteristiche.

Legge di Bohr

• L'energia del fotone emesso è uguale alla differenza di energia tra i livelli energetici iniziale e finale:
• E{nf} - E{ni} = {h\nu}
• La frequenza può essere calcolata come: \nu = \frac{E{nf} - E{ni}}{h}
• \Delta E = h\nu = RH \left( \frac{1}{ni^2} - \frac{1}{n_f^2} \right)

Riepilogo del Modello Atomico di Bohr

1. L'energia dell'elettrone è quantizzata (può avere solo alcuni valori).
2. Viene emessa radiazione quando l'elettrone passa da un livello energetico a uno inferiore.

• \epsilon{\text{fotone}} = {h\nu} = \Delta E = E{n2} - E{n_1}
• En = - \frac{Z^2 e^4 me}{8 h^2 \epsilon_0^2 n^2}

Transizioni e Lunghezze d'Onda

• Transizioni diverse corrispondono a lunghezze d'onda differenti nello spettro (es: 434 nm, 486 nm, 657 nm).

• Serie di Lyman (UV):

  • Transizioni che terminano con n=1, nello spettro ultravioletto

• Serie di Balmer (Visibile):

  • Transizioni che terminano con n=2, nello spettro del visibile

• Serie di Paschen (IR):

  • Transizioni che terminano con n=3, nello spettro infrarosso

Limiti del Modello di Bohr

• Era un tentativo provvisorio.
• Valido per l'atomo di idrogeno, ma con lacune quando applicato all'atomo di elio.
• Non spiegava lo sdoppiamento delle righe spettrali (multipletti) negli spettri polielettronici.