Zinssätze (Interest Rates)

Die verschiedenen Bedeutungen der Zinssätze

• Effektiver Jahreszinssatz (reff)
  • Zinssätze werden oft als effektiver Jahreszinssatz angegeben.
  • Der effektive Jahreszinssatz weist den tatsächlichen Zins aus, der am Ende eines Jahres erzielt wird.
• Anpassung des Kalkulationszinssatzes an verschiedene Zeiträume:
  • Eine Verzinsung von 5% p.a. entspricht nicht einer Verzinsung von 2,5% pro Halbjahr.
  • Berechnung: (1,05)^{0,5} – 1 = 1,0247 – 1 = 0,0247 = 2,47% (n = 0,5, da wir die Verzinsung für ein halbes Jahr berechnen wollen).
  • Äquivalenter Kalkulationszinssatz über n Perioden: (1+r)^n -1

Beispiel 5.1: Die Bewertung monatlicher Cashflows

• Sie erhalten eine Gutschrift monatlicher Zinsen auf Ihr Bankkonto, wobei der Zinssatz als effektiver Jahreszinssatz (reff) mit 6% angegeben wird.
• Fragen:
  • Welchen Zinsbetrag erzielen Sie monatlich?
  • Welchen Betrag müssen Sie am Ende jedes Monats auf dem Konto sparen, wenn sich heute kein Geld auf dem Konto befindet und Sie in zehn Jahren USD 100.000 anhäufen möchten?
• Lösung:
  • 6% EAR entspricht einer monatlichen Verzinsung von: (1.06)^{\frac{1}{12}} − 1 = 0.4868\%.
  • Der Sparplan kann als monatliche Rente mit 10 × 12 = 120 monatlichen Zahlungen betrachtet werden.
  • Der Gesamtbetrag, der gespart wird, kann als zukünftiger Wert dieser Rente berechnet werden: FVPV_{\text{annuity}} = C × \frac{1}{r} (1 + r)^n − 1
  • Die monatliche Zahlung C kann mit dem äquivalenten monatlichen Zinssatz r = 0.4868% und n = 120 Monaten berechnet werden.
  • Wenn man $615.47 pro Monat spart und monatlich Zinsen zu einem effektiven Jahreszinssatz von 6% erzielt, hat man in 10 Jahren $100,000.

Einfache Verzinsung

• Der nominale Jahreszinssatz (rnom) gibt die Summe der einfachen Zinsen an, die innerhalb eines Jahres verdient werden.
• Der einfache Zins beinhaltet den Zinseszinseffekt nicht und ist typischerweise kleiner als der effektive Jahreszinssatz.
• Der nominale Jahreszins mit k Zinszahlungsperioden bietet eine Möglichkeit zur Ermittlung der Zinszahlung je Periode:
  • Zinssatz pro Zinszahlungsperiode = \frac{r_{nom}}{k}
• Umwandlung eines nominalen Jahreszinssatzes in einen effektiven Jahreszinssatz:
  • 1 + r{eff} = (1 + \frac{r{nom}}{k})^k
• Der effektive Jahreszinssatz wird mit steigender Anzahl der unterjährigen Zinszahlungen größer.
• Das Konzept der stetigen Verzinsung, bei der die Zinsen in jedem Moment aufgezinst werden, bildet dabei die Grenze.
• Ein nominaler Jahreszinssatz von 6% entspricht bei stetiger Verzinsung einem effektiven Jahreszinssatz von ca. 6,183%.

Beispiel 5.2: Die Umwandlung eines nominalen Jahreszinssatzes in einen Kalkulationszinssatz

• Ein Unternehmen kauft ein neues Telefonsystem, dessen Abschreibungswert auf vier Jahre angesetzt wird.
• Das System kann zu Anschaffungskosten von USD 150.000 gekauft oder vom Hersteller für USD 4.000, die zum Ende jedes Monats bezahlt werden, geleast werden.
• Das Unternehmen kann ein Darlehen mit einem nominalen Jahreszinssatz von 5% mit halbjährlicher Zinszahlung aufnehmen.
• Frage: Sollte das Unternehmen das System kaufen oder dieses für USD 4.000 pro Monat leasen? Nutzen Sie den effektiven monatlichen Zins.
• Lösung:
  • Der Barwert der Leasing-Cashflows wird anhand der Rentenformel berechnet: zuerst muss der Diskontsatz berechnet werden, der einer Periodenlänge von einem Monat entspricht wird.
  • Die Fremdkapitalkosten von 5% APR mit halbjährlicher Verzinsung werden in einen monatlichen (effektiven) Diskontsatz umgerechnet.
  • Der APR entspricht einem nominalen Halbjahresdiskontsatz von 5% / 2 = 2.5%.
  • Um einen nominalen Sechsmonatsdiskont in einen effektiven Einmonatsdiskontsatz umzuwandeln, wird der Sechsmonatssatz um 1/6 erhöht:: (1,025)^{\frac{1}{6}} – 1= 0,4124%$.
  • Alternativ könnte man zuerst den APR (nominal) in einen EAR (effektiv) umwandeln: 1 + EAR = (1 + \frac{0.05}{2})^2 = 1.050625.
  • Dann den EAR in einen monatlichen Effektivzinssatz umwandeln: (1.050625)^{\frac{1}{12}} – 1 = 0.4124\%$ pro Monat.
  • Der Barwert der 48 monatlichen Zahlungen kann berechnet werden.
  • Die Zahlung von $4000 pro Monat für 48 Monate entspricht einem Barwert von $173,867.
  • Diese Kosten sind $173,867 − $150,000 = $23,867 höher als die Kosten für den Kauf des Systems, daher ist es besser, $150,000 für das System zu zahlen, anstatt es zu leasen.
  • Das bedeutet, dass ein Unternehmen bei einem APR von 5% mit halbjährlicher Verzinsung durch die Zusage, $4000 pro Monat zurückzuzahlen, heute $173,867 leihen kann. Mit diesem Darlehen könnte es das Telefonsystem kaufen und zusätzlich $23,867 für andere Zwecke verwenden.

Anwendung: Zinssätze und Darlehen

• Die Berechnung von Zahlungen auf Darlehen: Kredite mit Annuitätentilgung
  • Zahlungen erfolgen in bestimmten Intervallen, typischerweise monatlich.
  • Jede erfolgte Zahlung setzt sich aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil zusammen.
  • Alle Zahlungen sind gleich hoch und der Kredit ist mit der letzten Zahlung vollständig getilgt.
  • Beispiel Fahrzeugkredit über EUR 30.000 (BW) mit 60 identischen monatlichen Zahlungen und einem nominalen Jahreszinssatz von 6,75% (monatliche Zinszahlung). (Nominaler Monatszinssatz von 6,75%/12 = 0,5625%).
  • C = \frac{30.000}{\frac{1}{0,005625} (1 - \frac{1}{(1 + 0,005625)^{60}})} = EUR 590,50
• Berechnung des ausstehenden Darlehenssaldos:
  • Man kann die verbleibende Restschuld ermitteln, indem man den Barwert der verbleibenden zukünftigen Darlehenszahlungen berechnet.

Beispiel 5.3: Die Berechnung des ausstehenden Saldos eines Darlehens

• Vor zwei Jahren hat ein Unternehmen für den Kauf eines kleinen Bürogebäudes ein Annuitätendarlehen mit einer Laufzeit von 30 Jahren aufgenommen. Das Darlehen hat bei monatlichen Zahlungen von USD 2.623,33 einen nominalen Jahreszinssatz von 4,80%.
• Frage:
  • Welcher Betrag wird aus dem Darlehen heute noch geschuldet?
  • Wie viel Zinsen hat das Unternehmen im vergangenen Jahr auf das Darlehen gezahlt?
  • Nutzen Sie den nominalen monatlichen Zinssatz.
• Lösung:
  • Nach 2 Jahren verbleiben noch 28 Jahre oder 336 Monate.
  • Der Restbetrag des Darlehens ist der Barwert der verbleibenden Zahlungen unter Verwendung des Darlehenszinssatzes von 4.8% / 12 = 0.4% pro Monat:
  • Saldo nach 2 Jahren = 2623.33 × \frac{1}{0.004} (1 - \frac{1}{1.004^{336}}) = $484,332
  • Im vergangenen Jahr leistete das Unternehmen Gesamtzahlungen von $2623.33 × 12 = $31,480 für das Darlehen.
  • Um den Zinsbetrag zu bestimmen, ist es am einfachsten, zuerst den Betrag zu bestimmen, der zur Tilgung des Kapitals verwendet wurde.
  • Ihr Darlehenssaldo vor einem Jahr, mit 29 Jahren (348 Monaten) Restlaufzeit, betrug $492,354.
  • Saldo nach 1 Jahr = 2623.33 × \frac{1}{0.004} (1 - \frac{1}{1.004^{348}}) = $492,354
  • Daher sank der Saldo im vergangenen Jahr um $492,354 − $484,332 = $8022.
  • Von den geleisteten Gesamtzahlungen wurden $8022 zur Tilgung des Kapitals und die restlichen $31,480 − $8022 = $23,458 zur Zahlung von Zinsen verwendet.

Inflation und reale versus nominale Zinssätze

• Nominaler Zinssatz: Zinssätze, die von Finanzinstituten angegeben werden
• Realer Zinssatz: Die Wachstumsrate der Kaufkraft, nach der Inflationsbereinigung
• Der reale Zinssatz: Realer Zins = Nominaler Zins - Inflation
  • bb_{r} = r − R
• Eine Erhöhung des Zinssatzes wird normalerweise den Kapitalwert einer Investition verringern.
• Betrachten Sie eine Investition, die eine Anfangsinvestition von EUR 10 Mio. erfordert und danach 4 Jahre lang einen Cashflow von EUR 3 Mio. erzeugt.
  • Mit einem Zinssatz von 5% hat die Investition folgenden Kapitalwert:
    • NPV = −10 + \frac{3}{1,05} + \frac{3}{1,05^2} + \frac{3}{1,05^3} + \frac{3}{1,05^4} = EUR 0,638 Millionen
  • Wenn der Zinssatz auf 9% ansteigt, wird der Kapitalwert negativ und somit wäre die Investition nicht mehr rentabel:
    • NPV = −10 + \frac{3}{1,09} + \frac{3}{1,09^2} + \frac{3}{1,09^3} + \frac{3}{1,09^4} = − EUR 0,281 Millionen

Die Zinsstrukturkurve und Abzinsungssätze

• Laufzeitstruktur: Stellt die Abhängigkeit des Zinssatzes von der Laufzeit einer Anlage dar.
• Zinsstrukturkurve: Grafische Darstellung der Laufzeitstruktur.
• Die Zinsstruktur kann benutzt werden, um den Barwert oder den Endwert eines risikolosen Cashflows über verschiedene Anlagehorizonte hinweg zu berechnen.
• Barwert eines Zahlungsstroms unter Verwendung der Zinsstruktur von Kalkulationszinssätzen:
  • PV = \frac{C1}{1 + r1} + \frac{C2}{(1 + r2)^2} + \cdots + \frac{CN}{(1 + rN)^N} = \sum{n=1}^{N} \frac{CN}{(1 + r_n)^n}
• Beispiel 5.5: Die Verwendung der Zinsstrukturkurve zur Berechnung von Barwerten
  • Hier soll der Barwert einer risikolosen endlichen Rente von EUR 1.000 pro Jahr mit einer Laufzeit von fünf Jahren und der gegebenen Zinsstrukturkurve für November 2008 berechnet werden.
  • Um den Barwert zu berechnen, wird jeder Fluss mit dem entsprechenden Zinssatz abgezinst:
  • PV = \frac{1000}{1.0091} + \frac{1000}{1.0098^2} + \frac{1000}{1.0126^3} + \frac{1000}{1.0169^4} + \frac{1000}{1.0201^5} = $4775.25
  • Die Rentenformel kann hier nicht verwendet werden, da die Diskontsätze für jeden Cashflow unterschiedlich sind.

Die Zinsstrukturkurve und die Volkswirtschaft

• Die Bestimmung des Zinssatzes:

  • Kurzfristige Zinssätze werden durch den Leitzins beeinflusst.
  • Zinserwartungen: Der Verlauf der Zinsstrukturkurve wird durch Zinserwartungen beeinflusst.
    • Eine steile Zinsstrukturkurve bedeutet, dass für die Zukunft steigende Zinsen erwartet werden.
    • Eine inverse Zinsstrukturkurve bedeutet, dass für die Zukunft fallende Zinsen erwartet werden.
  • Da Zinssätze oft aufgrund einer Abschwächung der Wirtschaft fallen, wird eine inverse Kurve oft als negative Prognose des Wirtschaftswachstums interpretiert.
  • Jeder der sieben Rezessionen in den USA ging eine Periode mit inverser Zinsstrukturkurve voraus.
  • Die Zinsstrukturkurve ist nach einer Rezession meist steil und die Erwartung steigender Zinssätze bestand.

• Beispiel 5.6: Der Vergleich von kurz- und langfristigen Zinssätzen

  • Der aktuelle Zinssatz für Investitionen mit einer Laufzeit von einem Jahr beträgt 1%.

  • Wie gestalten sich die Zinssätze r1, r2 und r3 der Zinsstrukturkurve heute, wenn mit Sicherheit bekannt ist, dass der Zinssatz für Anlagen mit einer Laufzeit von einem Jahr im nächsten Jahr 2% und im darauffolgenden Jahr 4% beträgt? Verläuft die Zinsstrukturkurve flach, steigend oder invers?

  • Die einjährige Rate r1 = 1%.

  • Um die zweijährige Rate zu ermitteln, wird $1 für ein Jahr zum aktuellen einjährigen Zinssatz angelegt und dann im nächsten Jahr zum neuen einjährigen Zinssatz reinvestiert, nach zwei Jahren werden $1 × (1.01) × (1.02) = $1.0302 verdient.

  • Man sollte die gleiche Auszahlung erzielen, wenn man für zwei Jahre zum aktuellen zweijährigen Zinssatz r2 investiert: $1 × (1 + bb_2)^2 = $1.0302.

  • Ansonsten gäbe es eine Arbitrage-Möglichkeit: wenn die Investition zum zweijährigen Zinssatz zu einer höheren Auszahlung führen würde, könnten Anleger für zwei Jahre investieren und sich jedes Jahr zum einjährigen Zinssatz Geld leihen. Wenn die Investition zum zweijährigen Zinssatz zu einer niedrigeren Auszahlung führen würde, könnten Anleger jedes Jahr zum einjährigen Zinssatz investieren und sich zum zweijährigen Zinssatz Geld leihen.

  • Auflösen nach r2 ergibt, dassr_2 = (1.0302)^{\frac{1}{2}} − 1 = 1.499\%.

  • In ähnlicher Weise sollte die Investition für drei Jahre zu den einjährigen Zinssätzen die gleiche Auszahlung haben wie die Investition zu den aktuellen dreijährigen Zinssätzen:

    • (1.01) x (1.02) x (1.04) = 1.0714 = (1+r_3)^3

  • Daher hat die aktuelle Zinskurve r1 = 1%, r2 = 1.499% und r3 = 2.326%.

  • Die Zinskurve steigt aufgrund höherer Zinsen für längere Laufzeiten.

Risiko und Steuern

• Risiko und Zinssatz
  • US-amerikanische Schatzpapiere gelten in der Regel als risikolos.
  • Alle anderen Darlehensnehmer haben ein gewisses Ausfallrisiko, weshalb Investoren eine höhere Verzinsung fordern.
• Zinssatz nach Steuern
  • Steuern verringern den Zinsbetrag, den ein Investor behalten kann.
  • Der Zinssatz nach Steuern wird wie folgt berechnet:
    • r − (𝜏 × r) = r (1 − 𝜏)
• Beispiel 5.8: Vergleich von Zinssätzen nach Steuern
  • Sie haben:
    • Eine Kreditkarte mit einem rnom von 14% mit monatlicher Zinszahlung
    • ein Sparkonto mit reff von 5%
    • ein Wohnungsbaudarlehen mit rnom von 7% mit monatlicher Zinszahlung
  • Ihr Einkommensteuersatz beträgt 40%.
  • Die Zinsen auf das Sparkonto sind steuerpflichtig.
  • Fragen:
    • Wie gestaltet sich der effektive Zinssatz nach Steuern jedes Instrumentes als reff ausgedrückt?
    • Sie möchten ein neues Auto kaufen und Ihnen wird ein Darlehen mit rnom = 4,8% und monatlicher Zinszahlung (die nicht steuerlich absetzbar ist) angeboten. Sollten Sie das Fahrzeugdarlehen aufnehmen?
• Lösung:
  • Da Steuern in der Regel jährlich gezahlt werden, wandeln Sie zuerst jeden Zinssatz in einen EAR um, um den tatsächlichen Zinsbetrag zu bestimmen, der während des Jahres verdient oder gezahlt wird.
  • Das Sparkonto hat einen 5% EAR.
  • Der EAR der Kreditkarte ist
    • Kreditkarte 14.93%
    • Sparkonto 5%
    • Wohnungsbaudarlehen
    • Autokredit 4.91%

Aufgabe 1

• Ihre Bank bietet Ihnen ein Konto, auf das für eine Einlage mit einer Laufzeit von zwei Jahren insgesamt 20% Zinsen gezahlt werden. Bestimmen Sie den äquivalenten Kalkulationszinssatz für eine Periode mit einer Dauer von:
  • sechs Monaten
  • einem Jahr
  • einem Monat
• Lösung:
  • a. Da 6 Monate 1/4 von 2 Jahren sind, verwenden wir unsere Regel (1+0,2)^{\frac{1}{4}} = 1,0466
    • Somit beträgt der äquivalente Zinssatz für 6 Monate 4,66 %.
  • b. Da ein Jahr die Hälfte von zwei Jahren ist, erhalten wir (1,2)^{\frac{1}{2}} = 1,0954
    • Somit beträgt der äquivalente Zinssatz für ein Jahr 9,54 %.
  • c. Da ein Monat 1/24 von zwei Jahren ist, erhalten wir anhand unserer Regel (1+0,2)^{\frac{1}{24}} = 1,00763
    • Somit beträgt der äquivalente Zinssatz für einen Monat 0,763 %.

Aufgabe 2

• Capital One bewirbt einen Motorradkredit mit einer Laufzeit von 60 Monaten und einem nominalen Jahreszinssatz von 5,99 %. Wie hoch ist ihre monatliche Zahlung, wenn sie 8.000 € aufnehmen müssen, um ihren Traum von einer Harley-Davidson wahr zu machen?
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• Lösung:
  • Der nominale Jahreszinssatz von 5,99 impliziert einen Diskontsatz von \frac{5,99}{12} = 0,499167 %
  • Anhand der Formel für die Berechnung der Raten eines Kredits:
    • 8.000 = \frac{C}{\frac{1}{0,00499167} (1 - \frac{1}{(1,00499167)^{60}})}
    • C = EUR 154,63

Aufgabe 3

• Es sei angenommen, dass der Leihzinssatz von Wal Mart für fünf Jahre 3,1 % und der entsprechende Leihzinssatz von GE Capital 10 % beträgt. Was würden Sie bevorzugen?
  • 500 €, die Wal Mart bzw. GE Capital heute zahlt, oder ein Versprechen, dass das Unternehmen in fünf Jahren 700 € zahlen wird?
  • Welche Variante würden Sie für das Angebot jeder Firma jeweils wählen?
• Lösung:
  • Wir können die Zinssätze, die diese Unternehmen auf einen 5-Jahreskredit zahlen, als Diskontsatz verwenden.
  • BW bei GE Capital = 700 : 1,10^5 = EUR 434,64 < EUR 500
    • Daher sollte das Geld jetzt in Anspruch genommen werden.
  • BW bei Wal-Mart = 700 : 1,031^5 = EUR 600,90 < EUR 500
    • Daher sollte man sich für das Versprechen entscheiden.

Aufgabe 4

• Sie kaufen ein neues Eigenheim und müssen dafür EUR 325.000 Kredit von einer Bank aufnehmen. Die Bank bietet Ihnen an reff =6,5% Festzins für 30 Jahre (Zahlungen am Ende des Monats).
• Die Bank bietet Ihnen zusätzlich eine weitere Variante an. Wenn Sie bereit sind „einen Punkt“ zu zahlen, dann kann die Bank Ihnen einen niedrigeren Zins von reff =6,25% Festzins für 30 Jahre anbieten. „Ein Punkt“ entspricht 1% des Kreditvolumens. Das bedeutet, dass Sie zusätzliche EUR 3.250 aufnehmen müssen, um den Punkt zu zahlen.
• Es wird angenommen, dass Sie keine vorzeitigen Tilgungen beim Kredit leisten.
• Frage: Welche Variante ist von Vorteil für Sie: sollten Sie die erste Variante mit reff =6,5% nehmen oder die zweite mit einem Punkt und reff =6,25%?
• Lösung:
  • Zahlen Sie die Punkte!
  • Punkte (6.25% reff)
    • Zuerst benötigen wir den monatlichen Zinssatz = (1.0625)^{\frac{1}{12}}-1 = 0.00506 = 0.506\%.
    • PV = 328,250 ( 325,000 + 1 Punkt)
    • I = .506
    • FV = 0
    • N = 360 (30 Jahre × 12 Monate)
    • PMT = $1984.47
  • Keine Punkte
    • Zuerst benötigen wir den monatlichen Zinssatz = (1.065)^{\frac{1}{12}}-1 = 0.00526 = 0.526\%.
    • PV = 325,000 (keine Punkte)
    • I = .526
    • FV = 0
    • N = 360 (30 Jahre × 12 Monate)
    • PMT = $2014.64
  • Da $1984.47 < $2014.64, zahlen Sie die Punkte!

Anleiheterminologie

• Fälligkeitstermin: Endgültiger Rückzahlungstermin
• Laufzeit: Verbleibende Zeit bis zum Rückzahlungstermin
• Kupon: Versprochene Zinszahlungen
• Nennwert (Nominalwert): Nominaler Betrag, der zur Berechnung der Zinszahlungen verwendet wird
• Kuponzins: Der Kuponbetrag als Prozentsatz des Nennwertes
• Kuponzahlung: K = \frac{\text{Kuponzins × Nennwert}}{\text{Anzahl der Kuponzahlungen pro Jahr}}

Nullkuponanleihen

• Nullkuponanleihe (Zerobond): Es gibt keine Kuponzahlungen.
• Treasury Bills, US-amerikanische Staatsanleihen mit einer Laufzeit von bis zu einem Jahr, sind Nullkuponanleihen.
• Nullkuponanleihen werden unter pari (zu einem niedrigeren Preis als dem Nennwert) gehandelt und werden auch als Diskontanleihen bezeichnet.
• Angenommen, eine einjährige risikolose Nullkuponanleihe mit einem Nennwert von EUR 100.000 hat einen Anfangspreis von EUR 96.618,36. Die Cashflows wären:
• Obwohl auf die Anleihe keine direkten „Zinsen“ gezahlt werden, wird der Investor für den Zeitwert seines Geldes entschädigt, indem er die Anleihe mit einem Abschlag auf ihren Nennwert kauft.

Effektivverzinsung

• Die Effektivverzinsung einer Anleihe entspricht dem Kalkulationszinssatz, zu dem der Barwert der versprochenen Zahlungen aus der Anleihe dem aktuellen Marktpreis der Anleihe gleichgesetzt wird.
• Für die einjährige Nullkuponanleihe gilt:
  • 1 + r_{eff,1} = \frac{100.000}{96.618,36} = 1,035
  • 96.618,36 = \frac{100.000}{(1 + r_{eff,1})}
• Die Effektivverzinsung für diese Anleihe beträgt somit 3,5%.
• Es ergibt sich mit Hilfe der Effektivverzinsung reff,n für eine Nullkuponanleihe mit n Perioden bis zur Fälligkeit, dem aktuellen Preis P und dem Nennwert NOM folgender Zusammenhang:
  • P = \frac{NOM}{(1 + r_{eff,n})^n}
• Effektivverzinsung einer n-jährigen Nullkuponanleihe:
  • r_{eff,n} = (\frac{NOM}{P})^{\frac{1}{n}} − 1
• Beispiel 6.1: Renditen für verschiedene Fälligkeiten
  • Die folgenden Nullkuponanleihen werden zu den unten angegebenen Preisen pro EUR 100 Nennwert gehandelt. Bestimmen Sie die entsprechende Effektivverzinsung für jede Anleihe.
    • Fälligkeit 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre
    • Preis EUR 96,62 EUR 92,45 EUR 87,63 EUR 83,06
  • Lösung:
    • r1 = YTM1 = \frac{100}{96.62} − 1 = 3.50\%.
    • r2 = YTM2 = (\frac{100}{92.45})^{\frac{1}{2}} − 1 = 4.00\%.
    • r3 = YTM3 = (\frac{100}{87.63})^{\frac{1}{3}} − 1 = 4.50\%.
    • r4 = YTM4 = (\frac{100}{83.06})^{\frac{1}{4}} − 1 = 4.75\%.

Risikolose Zinssätze

• Eine Nullkuponanleihe ohne Ausfallrisiko, die zu Zeitpunkt n fällig wird, bietet über den gleichen Zeitraum eine risikolose Rendite.
• Daher garantiert das Gesetz des einheitlichen Preises, dass der risikolose Zinssatz gleich der Rendite einer solchen Anleihe bis zu ihrer Fälligkeit ist.
• Risikoloser Zinssatz mit Laufzeit n:
  • rn = r{eff,n}
• Spotzins: Andere Bezeichnung für die Effektivverzinsung von Nullkuponanleihen ohne Ausfallrisiko.
• Nullkuponzinsstrukturkurve: Grafische Darstellung der Effektivverzinsung einer risikolosen Nullkuponanleihe als Funktion der Restlaufzeit der Anleihe.

Kuponanleihen

• Nennwert wird bei Fälligkeit gezahlt.
• Regelmäßige Kuponzinszahlungen.
• Treasury Note: Kuponanleihen des US-amerikanischen Finanzministeriums mit einer Laufzeit von einem bis zu zehn Jahren.
• Treasury Bond: Kuponanleihen des US-amerikanischen Finanzministeriums mit einer Laufzeit von mehr als 10 Jahren.
• Beispiel 6.2: Die Cashflows einer Kuponanleihe
  • Das US-amerikanische Finanzministerium hat gerade eine USD 1.000-Anleihe mit fünfjähriger Laufzeit, einem jährlichen Kuponzins von 5% und halbjährlichen Kuponzahlungen begeben. Welche Cashflows erhält der Investor, wenn er diese Anleihe bis zu ihrer Fälligkeit hält?
  • Der Nennwert dieser Anleihe beträgt $1000. Da diese Anleihe halbjährliche Kupons (CPN) zahlt, erhalten Sie alle sechs Monate eine Kuponzahlung.
    • Timeline, basierend auf einem Zeitraum von sechs Monaten:
    • CPN = $1000 x (5% / 2)= $25
    • Die letzte Zahlung erfolgt fünf Jahre (10 Halbjahresperioden) ab jetzt und setzt sich sowohl aus einer Kuponzahlung von $25 als auch aus der Nennwertzahlung von $1000 zusammen.

Kuponanleihen: Effektivverzinsung

• Die Effektivverzinsung einer Anleihe ist gleich dem internen Zinsfuß (IZF) der Investition in die Anleihe und des Besitzes dieser bis zu ihrer Fälligkeit.
  • P = C × \frac{1}{y} (1 - \frac{1}{(1 + y)^N}) + \frac{NOM}{(1 + y)^N}
• Beispiel 6.3: Berechnung der Effektivverzinsung einer Kuponanleihe
  • Wir betrachten die in Beispiel 6.2 bereits beschriebene Anleihe von USD 1.000 mit einem Kuponzins von 5% und halbjährlichen Kuponzahlungen. Wie hoch ist die Effektivverzinsung der Anleihe, wenn sie aktuell zu einem Preis von USD 957,35 gehandelt wird?
  • Da die Anleihe noch 10 Kuponzahlungen hat, wird ihre Rendite y berechnet, indem wir folgende Gleichung lösen:
    • 957.35 = 25 × \frac{1}{y} (1 - \frac{1}{(1 + y)^{10}}) + \frac{1000}{(1 + y)^{10}}
    • Excel:
      • NPER RATE PV PMT FV
      • Gegeben 10 blank −957.35 25 1,000
      • Lösen Rate blank 3.00% blank blank blank
  • Daher ist y = 3%. Da die Anleihe halbjährliche Kupons zahlt, gilt diese Rendite für einen Zeitraum von sechs Monaten. Wir wandeln sie in einen jährlichen EAR um, indem wir Folgendes berechnen:
    • 1,