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Note di Meccanica 1 - Unità Didattica 2

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

  • Definizione: Studia il moto senza indagare le cause. / Etudie le mouvement sans rechercher les causes.
  • Concetti chiave: Posizione, spostamento, velocità media, velocità istantanea, accelerazione media, accelerazione istantanea.
  • Formule principali:
    • Posizione e spostamento
    • Posizione: r(t)
    • Spostamento: \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}2 - \mathbf{r}1
    • Velocita:
    • Velocità media: \bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}
    • Velocità istantanea: \displaystyle v = \frac{ds}{dt}
    • Accelerazione:
    • Accelerazione media: \bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}
    • Accelerazione istantanea: \displaystyle a = \frac{dv}{dt}
  • Tipi di moto (classificazione):
    • MRU: moto rettilineo uniforme
    • MUA: moto uniformemente accelerato
    • Caduta libera
    • Moto parabolico
    • Moto circolare uniforme
    • Moto armonico
  • Note: i concetti di posizione, spostamento e velocità sono fondamentali per descrivere il moto in diversi sistemi di riferimento.

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

  • Obiettivo: studia le cause del moto (loro leggi) – le leggi di Newton.
  • Principi/Leggi fondamentali:
    • Inerzia: un corpo resta fermo o in moto rettilineo uniforme se non agiscono forze esterne. / Principe d\'inerzia.
    • Seconda legge di Newton: \mathbf{F} = m\,\mathbf{a}
    • Azione = reazione: per ogni forza esiste una forza opposita uguale in grandezza e direzione opposta (terza legge di Newton).
  • Forze comuni:
    • Peso (gravità)
    • Elastica (forza elastica)
    • Attrito
    • Tensione
    • Normale
  • Osservazioni pratiche: le forze causano cambiamenti nel moto; la somma vettoriale delle forze determina l\'accelerazione del corpo secondo \mathbf{F}_{tot} = m\mathbf{a}.

LAVORO, ENERGIA E POTENZA

  • Lavoro: lavoro compiuto da una forza lungo uno spostamento; formula:
    • L = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s} = F\,s\cos(\alpha)
  • Energia cinetica: definizione e significato:
    • E_c = \frac{1}{2} m v^{2}
  • Energia potenziale:
    • Gravità: E_p = m g h
    • Rigida elastica (molla): E_p = \frac{1}{2} k x^{2}
  • Potenza:
    • Potenza media: P = \frac{L}{t}
    • Potenza istantanea (continua): P = \frac{dW}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}
  • Osservazioni:
    • Lavoro è trasferimento di energia meccanica tramite forze; l\'energia cinetica varia in base al lavoro compiuto sulle particelle.
    • Le relazioni sono utili per analisi di sistemi energetici reali (trasformazioni tra varie forme di energia).

QUANTITÀ DI MOTO E IMPULSO

  • Quantità di moto (momento lineare):
    • \mathbf{p} = m\mathbf{v}
  • Impulso:
    • \mathbf{J} = \Delta \mathbf{p} = \mathbf{F}\,\Delta t
    • L\'impulso è la variazione di quantità di moto della particella in un intervallo di tempo.
  • Urti:
    • Urti elastici: conservano sia quantità di moto sia energia cinetica. / Conservano p ed Ec.
    • Urti anelastici: conservano solo quantità di moto; energia cinetica non è in generale conservata.
  • In breve: nelle collisioni la quantità di moto totale del sistema è conservata se non ci sono forze esterne durante l\'urto.
  • Esempi mentali: due palle di biliardo che si urtano o una sfera che rimbalza su una parete mostra comportamenti tipici di urti elasticizzati.

SISTEMI DI CORPI E CORPO RIGIDO

  • Centro di massa:
    • x{CM} = \frac{\sumi mi xi}{\sumi mi}
    • Definizione utile per descrivere il movimento complessivo di sistemi di particelle.
  • Momento torcente (torque):
    • \tau = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} (versione semplice) o \boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} (forma vettoriale generica)
  • Momento d\'inerzia e rotazione:
    • Momento di inerzia: resistenza alla rotazione; dipende dalla distribuzione di massa.
    • Angolare: \mathbf{L} = I \boldsymbol{\omega}
  • Modulo di Young:
    • Y = \frac{\sigma}{\varepsilon}
    • dove \sigma è lo sforzo (tensione) e \varepsilon è la deformazione (strain).
  • Osservazioni fondamentali: concetti di centro di massa, momento angolare e inerzia sono essenziali per analizzare sistemi rotanti e dinamica angolare.

MINI-QUIZ (STILE ESAME)

  • 1. Quale grandezza è scalare? (a) Velocità (b) Forza (c) Massa (d) Accelerazione (e) Quantità di moto
  • 2. La seconda legge di Newton si scrive: F = __
  • 3. In un urto anelastico si conserva: (a) Solo energia (b) Solo quantità di moto (c) Entrambe (d) Nessuna (e) Impulso
  • 4. L'energia cinetica è Ec = 1/2 m ___^2
  • Risposte suggerite:
    • 1: (c) Massa
    • 2: ma
    • 3: (b) Solo quantità di moto
    • 4: v^2

NOTE COMPLEMENTARI DI APPROFONDIMENTO

  • Le grandezze vettoriali (velocità, impulso, quantità di moto, forza) richiedono un verso o una direzione; quelle scalari (massa, energia, potenza) hanno solo magnitudine.
  • In contesti pratici, si passa spesso dall\'analisi forfettaria a modelli semplici (es. urti puntiformi) per introdurre concetti chiave in modo graduale.
  • Le formule in questo appunto usano notazioni standard: \cdot per prodotto scalare, \times per prodotto vettoriale quando utile, e \frac{a}{b} per frazione.
  • Connessioni con lezioni precedenti: la dinamica si appoggia alle definizioni di velocità e accelerazione introdotte in kinematic, mentre i concetti di lavoro e energia introducono principi di conservazione utili in analisi di sistemi meccanici reali.