Подготовка к экзамену по математике: Модули и неравенства

Обсуждение неравенств с модулем

1. Понимание модуля
   Модуль числа $|x|$ определяется как:

   • $|x| = x$, если $x \geq 0$
   • $|x| = -x$, если $x < 0$

2. Общие шаги решения неравенств с модулем
   Решение неравенств с модулем требует разбития их на два отдельных случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

   • Случай 1: Если выражение под модулем положительное.
   • Случай 2: Если выражение под модулем отрицательное.

3. Пример решения неравенства
   Рассмотрим неравенство:
   6 - 3x + 1 > 0

   a. Преобразуем неравенство:
   6 - 3x + 1 > 0 \ \ 7 - 3x > 0

   b. Разделим на два случая:

   • Случай 1: $7 - 3x \geq 0$

     • Решаем:
       3x \leq 7 \Rightarrow x \leq \frac{7}{3}

   • Случай 2: $7 - 3x < 0$

     • Преобразуем модуль:
       |7 - 3x| = -(7 - 3x) = -7 + 3x
       -7 + 3x > 0 \Rightarrow 3x > 7 \Rightarrow x > \frac{7}{3}

4. Определение ключевых точек
   На числовой прямой ключевые точки находятся путем решения условий:

   • $x = \frac{7}{3}$

5. Графическое изображение решений
   Сравниваем решения, отмечая на числовой оси. Ключевые точки позволяют определить области, где выражение выполняется.

6. Итоги решения неравенств
   Итоговое решение обозначает возможные значения $x$ на графике. Упоминаются также ключевые значения как $-1/3$ и $5/3$.