Riassunto Gas Perfetto

Gas Perfetto

• Definizione: Gas il cui comportamento è descrivibile da un modello cinetico basato su ipotesi fondamentali:

  • Molecole rappresentabili come sferette rigide di uguale massa in moto di agitazione termica.

  • Molecole soggette alle leggi del moto di Newton.

  • Dimensioni delle molecole trascurabili rispetto agli spazi percorsi tra due urti successivi e il loro volume è trascurabile rispetto a quello del recipiente.

  • Forze gravitazionali e di coesione tra le molecole sono trascurabili.

  • Urti tra molecole e tra molecole e pareti del recipiente si suppongono elastici (si conservano la quantità di moto e l'energia cinetica totale).

Gas Reali e Gas Perfetti

• I gas reali si avvicinano allo stato ideale a densità sufficientemente basse (cioè, quando le molecole sono abbastanza distanziate).

Legge del Gas Perfetto

• Equazione di stato: PV = nRT

  • n = numero di moli

  • R = costante del gas perfetto = 8.31 J/(mol \cdot K)

• Definizione di equazione di stato: un'equazione che mette in relazione le grandezze macroscopiche che descrivono lo stato del sistema.

Equazione di Stato dei Gas Reali

• Equazione di Van der Waals:
  (P + \frac{a}{V^2})(V - b) = nRT

  • a e b sono costanti che dipendono dal gas e che vengono determinate sperimentalmente.

• Esempio:

  • Determinare la pressione di n = 0.85 mol di He che occupano un volume V = 0.012 m^3 alla temperatura T = 273 K.
    P = \frac{nRT}{V} = \frac{0.85 \, mol \cdot 8.31 \, J/(mol \cdot K) \cdot 273 \, K}{0.012 \, m^3} = 160 \times 10^3 \, Pa = 160 \, kPa

  • Il Pascal (Pa) è l'unità di misura della pressione nel S.I. ( 1 Pa = 1 N/m^2 ).

• Determinare il volume del gas mantenendo costante la pressione ma aumentando la temperatura a T_f = 580 K.

  • PiVi = nRT_i

  • PfVf = nRT_f

  • Se Pf = Pi, allora
    Vf = Vi \frac{Tf}{Ti} = 0.012 \, m^3 \cdot \frac{580 \, K}{273 \, K} = 0.025 \, m^3 = 25.5 \, l

    ( 1 l = 10^{-3} m^3 )

Lavoro Svolto da un Gas Ideale a Temperatura Costante (Isoterma)

• In un diagramma P-V, tutti i punti della curva isoterma hanno la stessa temperatura.

• Per un gas perfetto, l'equazione della curva è P = \frac{nRT}{V} = \frac{cost}{V}.

• Il lavoro fatto dal gas è dato da:
  L = \int{Vi}^{Vf} P \, dV = \int{Vi}^{Vf} \frac{nRT}{V} \, dV = nRT \int{Vi}^{Vf} \frac{dV}{V} = nRT [ln V]{Vi}^{Vf} = nRT \, ln \frac{Vf}{Vi}

  • Per un'espansione (Vf > Vi), il lavoro è positivo.

  • Per una compressione (Vf < Vi), il lavoro è negativo.

Lavoro a Volume o Pressione Costanti

• Se il volume varia, vale sempre L = \int{Vi}^{V_f} P \, dV.

  • Se V = cost, allora L = 0.

  • Se P = cost, allora L = P \int{Vi}^{Vf} dV = P(Vf - V_i) = P \Delta V.

Calori Specifici Molari per un Gas Perfetto

• L'energia interna di un gas (monoatomico) è data da:
  E{int} = nNA \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}nRT

  • N_A = Numero di Avogadro = numero di entità elementari contenuto in 1 mole = 6.022 \times 10^{23} mol^{-1}

  • k = Costante di Boltzmann = 1.38 \times 10^{-23} J/K

    k = \frac{R}{N_A}

• L'energia interna dipende solo dalla temperatura.

• Calore specifico molare a volume costante:

  • Dalla I legge della termodinamica: Q = \Delta E{int} + L = nCv \Delta T.

  • Se V = cost, allora L = 0.

  • Quindi Cv = \frac{1}{n} \frac{\Delta E{int}}{\Delta T}.

  • Sostituendo \Delta E{int} = \frac{3}{2} n R \Delta T, si ha Cv = \frac{3}{2}R

    (gas monoatomico)

    C_v = \frac{5}{2}R

    (gas biatomico)

    C_v = 3R

    (gas poliatomico)

  • In generale, \Delta E{int} = n Cv \Delta T. Valida per gas ideale.

Calore Specifico Molare a Pressione Costante

• Dalla I legge della termodinamica, si trova sperimentalmente che Q = n C_p \Delta T.

  • Cp > Cv (ci vuole energia sia per variare T sia per sollevare il pistone).

  • \Delta E{int} = Q - L = Q - P \Delta V = n Cp \Delta T - nR \Delta T

  • n Cv \Delta T = n Cp \Delta T - nR \Delta T \implies Cv = Cp - R
    quindi
    Cp = Cv + R

• \gamma = \frac{Cp}{Cv} = 1.67

Espansione Adiabatica di un Gas

• PV^\gamma = cost (si dimostra).

  • Oppure TV^{\gamma - 1} = cost.

• Se il volume aumenta, la pressione e la temperatura diminuiscono.

Dimostrazione di PV^\gamma = cost

• Se rimuoviamo i sol paccino e il volume varia di poco e supponiamo P = cost, allora dL = P dV.

• dE = Q - P dV

• Q = 0 (adiabatica) \implies nC_v dT = -P dV

  • Dalla legge dei gas perfetti (PV = nRT), si ha:
    P dV + V dP = nR dT

    P dV + V dP = n(Cp - Cv) dT
    n dT = \frac{P dV + V dP}{Cp - Cv}

  • Quindi, sostituendo,
    n C_v dT = -P dV

Cv(\frac{PdV + VdP}{Cp - Cv}) = -PdV Cv(PdV + VdP) = -(Cp - Cv)PdV
CvPdV + CvVdP = -CpPdV + CvPdV
CvVdP = -CpPdV

\frac{dP}{P} + \frac{Cp}{Cv} \frac{dV}{V} = 0
\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0
\int \frac{dP}{P} + \gamma \int \frac{dV}{V} = cost
ln P + \gamma ln V = cost
ln (PV^\gamma) = cost
PV^\gamma = cost

Esercizi

• Esercizio 1:

  • 1 mol di ossigeno si espande isotermicamente (T = 310 K) da un volume iniziale Vi = 12 l ad un volume finale Vf = 19 l. Calcolare il lavoro.

  • Calcolare la temperatura finale se l'espansione è adiabatica.

  • Calcolare la pressione finale se la pressione iniziale è Pi = 2.0 Pa e l'espansione è libera.

  • Soluzione:

    • L = nRT \, ln \frac{Vf}{Vi} = 1 \, mol \cdot 8.31 \, J/(mol \cdot K) \cdot 310 \, K \cdot ln \frac{19 \, l}{12 \, l} = 1180 \, J

    • Se il gas è biatomico, \gamma = \frac{Cp}{Cv} = 1.4
      TiVi^{\gamma - 1} = TfVf^{\gamma - 1}

      Tf = Ti(\frac{Vi}{Vf})^{\gamma - 1} = 310 \, K \cdot (\frac{12 \, l}{19 \, l})^{1.4 - 1} = 258 \, K

    • La temperatura è diminuita perché il gas compie lavoro.

    • Per una espansione libera, Ti = Tf e PiVi = PfVf

      Pf = Pi \frac{Vi}{Vf} = 2.0 \, Pa \cdot \frac{12 \, l}{19 \, l} = 1.3 \, Pa

• Esercizio 2:

  • Calcolare la quantità di calore scambiata nelle seguenti trasformazioni in funzione dei parametri caratteristici dello stato iniziale A e di quello finale B, di n, Cv e Cp, supponendo il gas perfetto e i processi reversibili.

    • Isocora

    • Isobara

    • Isoterma

  • Soluzione:

    • Isocora: L = \int P dV = 0 e dQ = n Cv dT \implies Q = n Cv (TB - TA).

    • Isobara: dQ = nC_vdT + P dV

      Dall'equazione dei gas perfetti: P dV + V dP = nRdT

      P = cost
      \implies PdV = nRdT
      dQ = nCv dT + nR dT = n(Cv + R) dT = nCp dT Q = \int nCp dT = nCp(TB - T_A)

    • Isoterma: \Delta E{int} = n Cv dT = 0 e dQ = n C_v dT + P dV \implies dQ = P dV.

      P = \frac{nRT}{V}
      \implies dQ = \frac{nRT}{V} dV

      Q = \int \frac{nRT}{V} dV = nRT \, ln \frac{VB}{VA}

• Esercizio 3:

  • Calcolare il lavoro compiuto da n moli di un gas perfetto nelle seguenti trasformazioni reversibili:

    • Adiabatica

    • Isobara

    • Isoterma

  • Soluzione:

    • Isoterma: L = nRT \, ln \frac{VB}{VA}.

    • Adiabatica: dQ = 0 \implies dL = -dE{int} = -nCv dT \implies L = -nCv(TB - T_A).

    • Isobara: L = P(VB - VA).

• Esercizio 4:

  • Un cilindro munito di un pistone contiene un volume V1 = 1 m^3 di gas perfetto alla pressione P1 = 1 atm. Il gas viene compresso molto lentamente isotermicamente fino al volume V_2 = 0.4 m^3. Calcolare il lavoro compiuto "sul" gas.

    • Soluzione:

      • Espansione lenta = processo reversibile

      • L = nRT \, ln \frac{V2}{V1}, ma PV = nRT \implies L = P1V1 \, ln \frac{V2}{V1} = 1 atm \cdot 1 m^3 \cdot ln \frac{0.4 m^3}{1 m^3} = -0.9 \times 10^3 l \cdot atm

      • 1 l \cdot atm = 10^{-3} m^3 \cdot 1.01 \times 10^5 N/m^2 = 101.3 J

        L = -90900 J

      • \Delta E_{int} = Q - L \implies Q = L

      • Se L < 0, è l'ambiente esterno che compie lavoro sul gas.

        L_{ext} = 90900 J

• Esercizio 5:

  • Una pompa per biciclette è usata per gonfiare lentamente una ruota alla pressione Pi = 3.4 atm partendo da aria a pressione atmosferica P0 e temperatura t_0 = 20°C. Se per l'aria (biatomico) e trascurando le perdite di calore, a quale temperatura l'aria uscirà dalla pompa?

  • Soluzione:

    • Trascurando le perdite di calore, il processo è adiabatico (dQ = 0).

    • \gamma = 1.4

    • PV^\gamma = cost

      TV^{\gamma - 1} = cost
      Equazione di Poisson
      P^{1-\gamma}T^\gamma = cost

      \frac{Pi^{1/\gamma}}{Ti} = \frac{P0^{1/\gamma}}{T0}

      T1 = T0(\frac{P1}{P0})^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}

      Con T0 = t0 + 273 = 293 K e P_0 = 1 atm,

      T1 = 293 K \cdot (3.4)^{0.4/1.4} = 416 K t1 = 416 - 273 = 143°C

II Principio della Termodinamica

• Prima evidenza sperimentale:

  • Esistono limitazioni alla trasformazione di calore in lavoro in un ciclo.

    [Immagine di una macchina termica che lavora tra due sorgenti a temperatura Tz e Tc]

  • Sperimentalmente si verifica sempre questa situazione con Tz > Tc.

  • Calore totale scambiato: Q = QA + Qc, con QA = calore assorbito e Qc = calore ceduto.

    • Q_c < 0 sempre.

  • QA non viene mai integralmente trasformato in lavoro L, ma parte di esso è ceduto alla sorgente a temperatura minore (Tc).

  • Dal primo principio: \Delta E = 0 (processo ciclico) \implies L = QA + Qc

    • Ma L < QA poiché Qc \neq 0.

    • La trasformazione di calore in lavoro è sempre accompagnata da cessione di calore (con un numero di sorgenti > 1).

• Se il processo non è ciclico:

  • [Immagine di un processo di trasformazione di calore in lavoro]

  • Possibile, però non è l'unico risultato del processo, perché si verifica sempre una variazione dello stato termodinamico del sistema.

    • Esempio: espansione isoterma di un gas ideale: \Delta E_{int} = 0 e L = Q.

    • Però lo stato finale del sistema è diverso da quello iniziale (Vf > Vi e Pf < Pi).

    • Se volessimo ripristinare lo stato iniziale, dovremmo assorbire lavoro e cedere calore, ricadendo nel caso precedente.

• Altra evidenza sperimentale:

  • [Immagine di due corpi a temperature diverse Tz e Tc]

  • Il calore non passa mai spontaneamente da un corpo freddo ad uno caldo.

    • Nelle macchine frigorifere è possibile, ma bisogna compiere lavoro sul gas che compie il ciclo.

• Enunciati del II principio:

  • Kelvin-Planck: è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato la trasformazione in lavoro del calore fornito da una sorgente a temperatura uniforme.

  • Clausius: è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato il trasferimento di una quantità di calore da un corpo ad un altro a temperatura maggiore.

    • Sono necessarie due sorgenti per produrre lavoro in un ciclo (Q_c \neq 0).

Equivalenza tra i Due Enunciati

• Supponiamo per assurdo di poter realizzare un processo che trasformi integralmente calore in lavoro, in contrasto con Kelvin-Planck.

• Utilizziamo questo lavoro per far funzionare una macchina frigorifera!

  [Immagine di una macchina che produce lavoro e di una macchina frigorifera]

• La macchina 2 preleva calore Q1 da T1 e cede Q2 a Tz.

  • L'insieme delle due macchine scambia solo calore Q1 a T1 e ccede Q2 - Q1 a T_2
    La violazione dell'enunciato di Clausius implica la violazione dell'enunciato di Kelvin-Planck.
    Il lavoro totale sarò zero!

• Provare a negare Clausius:
  Dimensione questa macchina in modo tale che Q1=Q!
  la sorgente Q2 + Q0L.L'unico risultato è la trasformazione integrale.

Il Teorema di Carnot

• Fissa la massima % di Q assorbito da una macchina termica che può essere trasformata in lavoro.

• È una rappresentazione quantitativa dell'enunciato di Kelvin-Planck
  Q e il lavoro ottenuto
  Se non è reversibile non saprei nulla
  Definiamo rendimento!

• Sfruttando il lavoro ottenuto da 1
  Costruiamo una macchina frigorifero*
  Quindi tutto è compatibile conMx=Mr tutte le macchine reversibili hanno lo stesso rendimento
  Quindi quelle macchine reversibili che lavorano tra le stesse sorgenti hanno lo stesso rendimento.

Ciclo di carnot

Espansione reversible!
Compressone reversibile
Quindi tutto quello che è reversible corrisponde!
Basta quindi sostituirti! Per ottenere gli altri!

Teoremi di Clausius

Possiamo quindi dire che il ciclo lavorativo è reversible!
lavoro è dato dalla formula inversa la sostituzione
non è reversibile.

La funzione stato entropia

percorso per i senosi inversi!
questa trasformazione sempre uguale! E non dipende dalla reversibilità
ha una variazione uguale!
Per una variazione ho 0=Ds=(DQ/t )rev
la reversible dipende quindi da Q

Ciclo di carnot

Calcola facilmente e basta sostituire!
As=q
dalla reversible Isotermia!= tutto è reversible

Principio di Aumenta dell'Entropia

Questo è un sistema termicamente isolato q=D quindi il sistema è costantemente
Se invece ha as=D il valore rimane costante!. Nel secodno caso è l'entropia che resta costante

L'Universo termodinamix

è un esempio di sistema isolato composto dal sistema e l'ambiente.

Entropia gas ideale

Basta mettere i gas nel equazione giusta! E integrare!

Esercizi

-Se i gas il rubinetto raddoppia. As=?
-calcolare la temperatura di una reversibilita.As ren(v+) quindi l'acqua reversibile.
Quindi in questo modo trovero la reversible= irreer
-la trasff e reversibile 2 reversible es DA e poi A
è isolante
-Solletvioma e arriviamo nel termometro. Determinare AS!
-Dunque il procewwo deww essere reversible

Esercizi Termina

Una maccchina termica di carnot opera due sorgenti.
Terminare il rendito e la potenza e calcolare il quatitata di calotde assorbito dacce.macnhina!
A=l/n=-/vabene! L/n è la costante bassa
per una macchina a 75 termica
quindi un risultato più basso