2. Regresión Lineal Simple - Elementos de Econometría Aplicada

Introducción

• Este capítulo considera el caso más simple de una regresión lineal: una ecuación lineal con una variable dependiente (Y) y una sola variable independiente (X).

• El modelo básico se representa como: Y = β₀ + β₁X + u, donde β₀ y β₁ son los parámetros respectivos, y u es el término de error.

• En econometría, las relaciones entre variables no son funcionales exactas, sino aproximaciones.

Método de Mínimos Cuadrados

• En un análisis de regresión, se busca responder dos preguntas básicas:

  1. ¿Cuál es la relación estadística entre la variable dependiente (Y) y la variable independiente (X)? Esto implica obtener estimaciones de los parámetros de la recta de regresión: β₀ y β₁.

  2. ¿Qué porcentaje de la variación total en la variable dependiente se puede atribuir a la variación en la variable independiente?

• El método de estimación más comúnmente empleado es el método de mínimos cuadrados.

• Para visualizar la relación entre las variables, se elabora un diagrama de dispersión.

• El objetivo es encontrar la recta que "mejor" se ajusta a los datos observados, minimizando la suma de los errores cuadrados.

• Los estimadores de los coeficientes β₀ y β₁, denotados por b₀ y b₁, minimizan la variable:

  Q = ∑(Yi - b₀ - b₁Xi)²

• Aplicando cálculo para minimizar Q, se calculan las derivadas parciales respecto de b₀ y b₁ e igualando a 0, obteniendo las ecuaciones normales:

  ∑(Yi - b₀ - b₁Xi) = 0 ∑Xi(Yi - b₀ - b₁Xi) = 0

• Resolviendo este sistema, se obtienen los valores de b₀ y b₁, que definen la recta de regresión:

  Ŷ = b₀ + b₁X

  • b₁ es el estimador de la pendiente, indicando el cambio promedio en Y por cada unidad adicional de X.

  • b₀ es la ordenada en el origen, también llamado el costo fijo en el ejemplo dado.

• Es importante distinguir entre Ŷ (valor calculado de Y según la recta de regresión) e Y (valor observado de la variable dependiente).

Coeficiente de Determinación (R²)

• El coeficiente de determinación (R²) mide la proporción de la variación total en Y que puede ser "explicada" por la variación en X.

• La variación total en Y se descompone en la variación "explicada" y la variación "no-explicada" (errores de la regresión).

• Por definición de la recta de regresión: Yi = Ŷi + ei, donde ei es el error para la observación i.

• Esto implica que ∑Yi = ∑Ŷi y que el promedio de las Ŷ es igual al promedio de las Y.

• La variación total se puede expresar como:

  ∑(Yi - Ȳ)² = ∑(Ŷi - Ȳ)² + ∑eᵢ²

• El coeficiente de determinación se calcula como:

  R² = ∑(Ŷi - Ȳ)² / ∑(Yi - Ȳ)² = 1 - ∑eᵢ² / ∑(Yi - Ȳ)²

• R² representa la proporción de la variabilidad en la variable dependiente que es explicada por el modelo, con valores entre 0 y 1. Un R² más cercano a 1 indica un mejor ajuste del modelo.

• El texto también menciona que en una regresión por el origen, la suma algebraica de los errores, ∑eᵢ ya no es igual a cero, y R² puede ser negativa.