Integration Formulas

Integration Formulas

The Power Rule

  • Basic Integration Formulas:

    • ∫ 𝒂 𝒅𝒙 = π‘Žπ‘₯ + 𝑐

    • ∫ 𝒙ⁿ 𝒅𝒙 = π‘₯ⁿ⁺¹ / (𝑛 + 1) + 𝐢 (where n β‰  -1)

    • ∫(𝒂𝒙 + 𝒃)ⁿ 𝒅𝒙 = 1/π‘Ž βˆ— (π‘Žπ‘₯ + 𝑏)ⁿ⁺¹ / (𝑛 + 1) + 𝐢

Rational Functions

  • Integration of Rational Functions:

    • ∫ 1/π‘₯ 𝒅𝒙 = ln |π‘₯| + 𝐢

    • ∫ 1/(π‘Žπ‘₯ + 𝑏) 𝒅𝒙 = 1/π‘Ž ln |π‘Žπ‘₯ + 𝑏| + 𝐢

Exponential Functions

  • Integration of Exponential Functions:

    • ∫ eΛ‘Λ£ 𝒅𝒙 = eΛ‘Λ£ + 𝐢

    • ∫ e^(π‘Žπ‘₯ + 𝑏) 𝒅𝒙 = 1/π‘Ž e^(π‘Žπ‘₯ + 𝑏) + 𝐢

    • ∫ π‘Ž^𝑏π‘₯ + 𝑑 𝒅𝒙 = π‘Žπ‘π‘₯ + 𝑑/𝑏 ln π‘Ž + 𝐢

Trigonometric Functions

  • Integration of Trigonometric Functions:

    • ∫ sin π‘₯ 𝒅𝒙 = -cos π‘₯ + 𝐢

    • ∫ sin(π‘Žπ‘₯ + 𝑏) 𝒅𝒙 = -1/π‘Ž cos(π‘Žπ‘₯ + 𝑏) + 𝐢

    • ∫ cos π‘₯ 𝒅𝒙 = sin π‘₯ + 𝐢

    • ∫ cos(π‘Žπ‘₯ + 𝑏) 𝒅𝒙 = 1/π‘Ž sin(π‘Žπ‘₯ + 𝑏) + 𝐢

    • ∫ csc π‘₯ cot π‘₯ 𝒅𝒙 = -csc π‘₯ + 𝐢

    • ∫ sec π‘₯ tan π‘₯ 𝒅𝒙 = sec π‘₯ + 𝐢

    • ∫ tan π‘₯ 𝒅𝒙 = ln |sec π‘₯| + 𝐢 = -ln |cos π‘₯| + 𝐢

    • ∫ cot π‘₯ 𝒅𝒙 = ln |sin π‘₯| + 𝐢 = -ln |csc π‘₯| + 𝐢

    • ∫ sec π‘₯ 𝒅𝒙 = ln |sec π‘₯ + tan π‘₯| + 𝐢

    • ∫ csc π‘₯ 𝒅𝒙 = ln |csc π‘₯ - cot π‘₯| + 𝐢

Integration By Parts

  • Formula for Integration by Parts:

    • ∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝑒𝑣 - ∫ 𝑣 𝒅𝑒

    • Extended case: ∫ 𝒖𝒗 π’…π’˜ = 𝑒𝑣𝑀 - ∫ 𝑣𝑀 𝒅𝑒 - ∫ 𝒖𝑀 𝒅𝑣


Integration By Parts - Related Formulas

  • ∫ e^(π‘Žπ‘₯) sin(𝑏π‘₯) 𝒅𝒙 = (e^(π‘Žπ‘₯)/(π‘ŽΒ² + 𝑏²)) [π‘Ž sin(𝑏π‘₯) - 𝑏 cos(𝑏π‘₯)] + 𝐢

  • ∫ e^(π‘Žπ‘₯) cos(𝑏π‘₯) 𝒅𝒙 = (e^(π‘Žπ‘₯)/(π‘ŽΒ² + 𝑏²)) [π‘Ž cos(𝑏π‘₯) + 𝑏 sin(𝑏π‘₯)] + 𝐢

  • ∫ π‘₯ⁿ ln(π‘₯) 𝒅𝒙 = (π‘₯ⁿ⁺¹ / (𝑛 + 1)) ln(π‘₯) - (π‘₯ⁿ⁺¹ / (𝑛 + 1)Β²) + 𝐢 (𝑛 β‰  1)

  • ∫ π‘₯ⁿ e^(π‘Žπ‘₯) 𝒅𝒙 = (π‘₯ⁿ e^(π‘Žπ‘₯)/π‘Ž) - (𝑛/π‘Ž) ∫ π‘₯ⁿ⁻¹ e^(π‘Žπ‘₯) 𝒅π‘₯


Trig Substitution

  • **For Trig Substitution: **

    • ∫ √(π‘ŽΒ² - 𝑒²) 𝒅𝑒 = (𝑒/2) √(π‘ŽΒ² - 𝑒²) + (π‘ŽΒ²/2) sin⁻¹(𝑒/π‘Ž) + 𝐢Substitution: 𝑒 = π‘Ž sin(πœƒ) , 𝒅𝑒 = π‘Ž cos(πœƒ) π’…πœƒ

    • ∫ √(π‘ŽΒ² + 𝑒²) 𝒅𝑒 = (𝑒/2) √(𝑒² + π‘ŽΒ²) + (π‘ŽΒ²/2) ln |𝑒 + √(𝑒² + π‘ŽΒ²)| + 𝐢Substitution: 𝑒 = π‘Ž tan(πœƒ) , 𝒅𝑒 = π‘Ž secΒ²(πœƒ) π’…πœƒ

    • ∫ √(𝑒² - π‘ŽΒ²) 𝒅𝑒 = (𝑒/2) √(𝑒² - π‘ŽΒ²) - (π‘ŽΒ²/2) ln |𝑒 + √(𝑒² - π‘ŽΒ²)| + 𝐢Substitution: 𝑒 = π‘Ž sec(πœƒ) , 𝒅𝑒 = π‘Ž sec(πœƒ) tan(πœƒ) π’…πœƒ


Reduction Formulas

  • ∫ sinΒ²(π‘₯) 𝒅π‘₯ = (1/2) π‘₯ - (1/4) sin(2π‘₯) + 𝐢 = (1/2)(π‘₯ - sin π‘₯ cos π‘₯) + 𝐢

  • ∫ cosΒ²(π‘₯) 𝒅π‘₯ = (1/2) π‘₯ + (1/4) sin(2π‘₯) + 𝐢 = (1/2)(π‘₯ + sin π‘₯ cos π‘₯) + 𝐢

  • ∫ tanΒ²(π‘₯) 𝒅π‘₯ = tan π‘₯ - π‘₯ + 𝐢

  • ∫ cotΒ²(π‘₯) 𝒅π‘₯ = -cot π‘₯ - π‘₯ + 𝐢

  • General Case for n:

    • ∫ sinⁿ(π‘₯) 𝒅π‘₯ = -(1/n) sinⁿ⁻¹(π‘₯) cos(π‘₯) + ((𝑛-1)/𝑛) ∫ sinⁿ⁻²(π‘₯) 𝒅π‘₯

    • ∫ cosⁿ(π‘₯) 𝒅π‘₯ = (1/n) cosⁿ⁻¹(π‘₯) sin(π‘₯) + ((𝑛-1)/𝑛) ∫ cosⁿ⁻²(π‘₯) 𝒅π‘₯

    • ∫ tanⁿ(π‘₯) 𝒅π‘₯ = (1/(𝑛-1)) tanⁿ⁻¹(π‘₯) - ∫ tanⁿ⁻²(π‘₯) 𝒅π‘₯ (for n β‰  1)


Integration of Logs

  • Logarithmic Integrals:

    • ∫ logd(π‘Žπ‘₯ + 𝑏) 𝒅π‘₯ = (π‘Žπ‘₯ + 𝑏)/π‘Ž logd |π‘Žπ‘₯ + 𝑏| + 𝐢


Inverse Trig Functions - Related Formulas

  • ∫ 1/(π‘ŽΒ² + 𝑒²) 𝒅𝑒 = (1/π‘Ž) tan⁻¹(𝑒/π‘Ž) + 𝐢 = -(1/π‘Ž) cot⁻¹(𝑒/π‘Ž) + 𝐢

  • ∫ 1/√(π‘ŽΒ² - 𝑒²) 𝒅𝑒 = sin⁻¹(𝑒/π‘Ž) + 𝐢 = -cos⁻¹(𝑒/π‘Ž) + 𝐢

  • ∫ 1/(𝑒 √(𝑒² - π‘ŽΒ²)) 𝒅𝑒 = (1/π‘Ž) sec⁻¹(𝑒/π‘Ž) + 𝐢 = -(1/π‘Ž) csc⁻¹(𝑒/π‘Ž) + 𝐢


Inverse Trigonometric Formulas

  • ∫ sin⁻¹(𝑒) 𝒅𝑒 = 𝑒 sin⁻¹(𝑒) + √(1 - 𝑒²) + 𝐢

  • ∫ cos⁻¹(𝑒) 𝒅𝑒 = 𝑒 cos⁻¹(𝑒) - √(1 - 𝑒²) + 𝐢

  • ∫ tan⁻¹(𝑒) 𝒅𝑒 = 𝑒 tan⁻¹(𝑒) - ln(√(1 + 𝑒²)) + 𝐢

  • ∫ cot⁻¹(𝑒) 𝒅𝑒 = 𝑒 cot⁻¹(𝑒) + ln(√(1 + 𝑒²)) + 𝐢

  • ∫ sec⁻¹(𝑒) 𝒅𝑒 = 𝑒 sec⁻¹(𝑒) - ln|𝑒 + √(𝑒² - 1)| + 𝐢

  • ∫ csc⁻¹(𝑒) 𝒅𝑒 = 𝑒 csc⁻¹(𝑒) + ln|𝑒 + √(𝑒² - 1)| + 𝐢


Table of Integrals

  • Formulas for Integrals (uΒ² Β± aΒ²):

    • ∫ 1/(𝑒² - π‘ŽΒ²) 𝒅𝑒 = (1/2π‘Ž) ln|𝑒 - π‘Ž)/(𝑒 + π‘Ž)| + 𝐢 ( |𝑒 - π‘Ž| = |π‘Ž - 𝑒| )

    • ∫ 1/(π‘ŽΒ² - 𝑒²) 𝒅𝑒 = (1/2π‘Ž) ln|𝑒 + π‘Ž)/(𝑒 - π‘Ž)| + 𝐢

    • ∫ 1/√(𝑒² Β± π‘ŽΒ²) 𝒅𝑒 = ln|𝑒 + √(𝑒² Β± π‘ŽΒ²)| + 𝐢

    • ∫ √(𝑒² Β± π‘ŽΒ²)/𝑒² 𝒅𝑒 = -√(𝑒² Β± π‘ŽΒ²)/𝑒 + ln|𝑒 + √(𝑒² Β± π‘ŽΒ²)| + 𝐢

    • ∫ 𝑒²/√(𝑒² Β± π‘ŽΒ²) 𝒅𝑒 = (1/2)[π‘’βˆš(𝑒² Β± π‘ŽΒ²) βˆ“ (π‘ŽΒ²/2) ln|𝑒 + √(𝑒² Β± π‘ŽΒ²)|] + 𝐢

    • ∫ 1/(𝑒² √(𝑒² Β± π‘ŽΒ²) 𝒅𝑒 = βˆ“(√(𝑒² Β± π‘ŽΒ²)/(π‘ŽΒ²π‘’)) + 𝐢

    • ∫ 1/(𝑒² Β± π‘ŽΒ²)Β³/Β² 𝒅𝑒 = ±𝑒/(π‘ŽΒ² √(𝑒² Β± π‘ŽΒ²)) + 𝐢

    • ∫ √(π‘ŽΒ² - 𝑒²) 𝒅𝑒 = βˆ’(𝑒/2)√(π‘ŽΒ² - 𝑒²) + (π‘ŽΒ²/2) sin⁻¹(𝑒/π‘Ž) + 𝐢

    • ∫ 1/β„Ž + b𝑒 𝒅𝑒 gives the integrals above depending on the choice.

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